Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В новой авгуре сказанные две касательные будут между собою параллельны, третья же касательная будет параллельна прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть йс, Ы вЂ” сказанные две параллельные касательные, Й вЂ” третья касательная, йо — прямая, ей параллельная, проходящая через Задачи, врииодящие к уравнениям второй степени, построение коих выполнимо при ион«щи пересечений кругов и прямых линяй (циркулем и линейкой), иазывзлись «зздачамя плоскиии» вЂ” «ргоыешата р1ана».
Задачи жег пршюдившне к уравненяям третьей я чезвертоа степени, требовавшяе построения коняческях сеченяа н определения их пересечений, иазыватясь «задачами простраяственнымн» вЂ” «ргоюеша1а ео!жаж Ньютон псльзуетси втою термизотогяею, в переводе она заменена современною. — 135— те две точки а в Ь, через которые требуется провести коннческое сечение ва преобразованной авгуре. Пусть Ьг, й, Ы рассекаются точками с, И, е так, что Ьс: 1ГаЬ ° ЬЬ = б: И = Ье: Ьгг = (Ьг -г- Ы): (й -г- 1~аЬ ° ЬЬ -г- у гй, гЬ), тогда точки с, д, е в будут точки касания. Действительно, по свойству конвческвх сечений будет Ьсг:аЬ ° ЬЬ=сг:Иг" = Ьег И'=ер:аг ° гЬ следовательно будет взяв отношение суммы предыдущих (Ье -+- -+- сг -+- Ье -+- е1) равной (Ьг -+- Ы) к сумме последующих, получим, что рассматриваемые отношенвя равны отношенвю (Ьг'-+-Ы):г(й-г- 1~аЬ ° ЬЬ-+- г~а1 'гЬ .
Воспользовавшись этою пропорцвей, определвм положение точек касания на новой авгуре; перенеся вх обратным преобразованием на первоначальную, пользуясь зада- Фиг. 55. чею Х1 ч и определим искомую кривую. Необходимо вметь в виду, что когда точки а, Ь лежат обе между точкамв Ь в 1, то точки с, И, е надо брать между точками Ь, г, Ь, 1; когда же онв лежат зне Ь н 1, то в с, д, е надо брать вне. Кслв же одна вз точек а илв Ь лежит между точкамн Ь в 1, другая же — вне, то задача невозможна. Предложение ХХТ1. Задача ХгШ 11рооестн коническое сечение, нроходяигее через заданную нигчку и касаюгаееся четырех заданных ио ноложению нрямых. Через точку пересечения любых двух нз заданных касательных н через точку пересечевяя двух другах проводятся неограниченная прямая, которан в првнвмается за ось ординат первоначальной авгуры, которая затем в преобразуется в новую.
В этой новоя касательные, пересекавшвеся на старой в точках, лежащих на осв ординат, станут попарно — 136— параллельными; пусть они будут И и Ы, й и я1 (фиг. 56), образуя параллелограим ЬгИ, и пусть р есть точка этой новой Фигуры, соответствующая заданной точке старой. Через центр параллелограмма 0 проводится прямая ро, и по ней откладывается оо = ор, точна й будет также лежать на искомом коническом сечения. Обратным преобразованием эта точка переносится на первоначальную Фигуру, на которой тогда будут известны две точки, и сма определнтся как показано в задаче ХУП.
Лемма ХХИ1 ВЫи по данным по положению прямым АС и ВЭ, от еаданних ма них точек А и В, откладиоапа переменные длими л1С и ВВ, находяилиеся б я 6 и г Фнг. 67. Фиг. 66. е поппоянном отнотении, и соединяюиеую их прямую СЭ рассекать точкою К также е постоянном отноигении, то геометрическое место пючек К есть прямая линия. Пусть Ж (Фиг. 57) есть точна встречи прямых л1С и ВВ, и на прямой ВЬ' берется точка 0 таь, чтобы было и откладывается двина РЗ, равная ЬС, т.
е. постоянная; тогда по построению будет ВС: СВ = ВС: ЖУ = АС; ВВ т. е. это отношение постоянное и треугольник Яг'С сохраняет свой вид. Пусть СУ разделяется точкою Ь так, что — 137— так как последнее отяошение задано, то и треугольнвк ЕУХ сохраняет свой вид, и следовательно, точки Х будут располагаться на прямой ЬЬ, положение которой известно. Соедини ХК, треугольники СХК и СЕЭ будут подобны, и так как отношение д К к РЭ и длина РЭ извеспы, то найдется и ХК. Взяв ЬХХ= ХК, получим параллелограмм ЕЬКХХ, следовательно точна К располагается на постоянной стороне ХХК этого параллелограмма. ' Слег)стене.
Так как вид еигуры ЕУЬС сохраняется, то отношение длин ЕР, ЕХ,, ЕС, иначе, длин 65, ХХК, ЕС, друг к другу остается постоянным. Ле ХХХУ Если коническое сечение касается пьрех прямых, из гюих дзе параллельны и положение их зас)ано, кю нолуг)иаметр «ризой, иораллаоьный этим дзум яасапгельнылг, есть среднее пронорииональное между отрезками их, заключенными между опочяами касания и тпочками иересечения с треупьей касательной.
Пусть АР и ОВ (ииг. 58)— две параллельные прямые, ьасаюв)неся сечения АЭВ в точках А и В; ЬР— третья касательная в точке,у, пересекающая первые две в У и С, и пусть СЭ есть полудианетр, параллельный каса- емо. Ьа. тельным, тогда АР: СЭ = СЛ: ВО. те аналитически ота лемма доиолываетск весьма просто. Приме» точку Ела начало координат, В — аа ось х-ов, 1С вЂ” еа ось у-ков, и пусть: Ам=а ВВ=Ь. АС:ВЮ=н; .ХЮсСУг=й. Ролан ем ВЮ = $.
тогда 1С = нс и координаты точек С п Ю будут. С... О и о-г-сг Ю... Ь-г-1, О, следовательно координаты х н у точки Х суть: х =)Ь ч-С)11 — Ь); у — й)о.г-н1) т. е. у и и — линейные оуниции произвольного параметра С, слемгвательио геометрическое ме~то точег,Х есть праман линн». — 138— Ибо, если сопрнженные диаметры АВ и РЖ пересекают касательную РО в точках Ь' и Н и друг друга в С, то дополнив параллелограмм .ИХС, по свойству конических сечений имеем ЬС: СА = СА: СЬ следовательно будет также (Ь"С вЂ” СА): (СА — СХ) = ЬА: АХ = ЕС: СА н затем (ЕА-1-АХ):(ЕС-э- СА) = ЕХ' ЬВ = ЬС: СА.
Ио подобию же треугольников: ЕАР, ЕХ Х, ЕСН, ЕВО, будет .йР:Х,у= СН: ВС в по свойству конических сечений: Х Т: СР = СР: СН; значит, будет " АР: СР= СР:ВС. Слсдсгпвие л. Если две касательные РН и РЯ пересекают параллельные касательные АР и ВС в Р и С, Р и 9 и друг друга в О, то будет ээ АР: В9 = АР: Вб = РР: 90 = ОР: 00 тэ Пусть уравнение конического сечения, отнесенного к его сонриженным диаиетраи, — -с- — — 1 = О оз Ьз н на нем паата точка ил ул. Уравнение касательной в этой точке есть Ь вЂ” — ч — 1 = а З'1 Уг „л Ьз Делая в атом уравнении сперва 11 = -+- Ь, затем Ч = — Ь, получим соответствующие отрезки касательвык, параллельяык оси ж Ул $1 — — — 1 —— ь йз =1+— хл Ул ь Перемножив эти равенстиа и заметив, что улт хлз 1 — — =— Ьэ дз получим па сокращения: 11 ьз = пз что и доказывает лемиу длн эллипса.
Совершенно тав же ояа докажется и для гяперболызо В самом дале, св свз АР= — ВО =— ВС' АР следовательно АР:вд=АР:вс=1АР— Ар'1:(вс — вя=влч сч но РРЧ ад = СЛЧ Са, ибо треугольники РСР и ЬУСС подобны. — 199— Следствие Л. Отсюда следует, что точка пересечения прямых Рб и .Щ, проведенных через точки Р и С, Р и ф лежит на прямой АСВ, проходящей через центр кривой и точки касания. Ленка ХХг' и КН: КХ = АМ: МР. По следствию 1 предыдущей леммы будет МЕ: ЕТ = АМ: В~ = ВК: Вге следовательно МЕ: (МЕ-г-.ЕТ) = ВК: (ВК-г- ВЯ), т. е. МЕ: МТ= ВК: Кд КН: НХ, = ВК: АУ = АМ: АГ точно так же 6.
Зак. 3350 Если четыре неопределенно продолженные стороны нараллемиракма касаюгяся коническто сечения и пересекаются какою-либо пятою касательном, то между апрезками двух смежных сторон параллелограмма, закиоченными между двумя противоположными вершинами и секушеи, имеет место следуюигее соотношение: отрезок так относится к своей стороне, как часягь смежной стороны, заключенная между точкою ее касания и третьей стороной, относится ко второму отрезку. Пусть стороны ЛВ, .ТК, КБ,МТпараллелограммаМл.,ТК (оиг.
б9) касаются конического Ф сечения в точках А, В, С, З и пятая касательная г'Ь) пересекает этн стороны в точках Г, Фии 69. ь), Н, Л. Рассматривая отрезки МЕ н Кгд сторон Мд и а.Т или же отрезки КН и Млс сторон КТ и МВ. надо доказать, тсо будет МЕ: МТ = ВК: Кге следовательво КН: (НХ вЂ” КН) = АЛХ: 1АР— АМ) КН: КЪ = АМ: ЛХР. т. е. Следствие 1.
Если известен параллелограмм ЛЫ,ЛХ, описаывый около конического сечевая, то будут известны и равные между собою произведеыия Кь) ° МЕ и КН ЛХР. Равенство этих произведений следует из водобвя треугольвиков КДН в ЛХГЕ. Следствие 2. Если провести шестую касательную ей, пересекающую касательные КУ и ЛХУ в точках д и е, то будет КЯ ° ЛХЕ=Кй Ме, следовательво будет Кы': Ме =- Кй: МЕ = 1К~ — Кд): 1МŠ— Ме) = Дд: еЕ, Следсжвие 3. Отсюда следует, что прямая, проведеввая через середиыы прямых Ео и еф проходит через центр кривой, ибо, в силу пропорции 9й: Ее = КД: Ме эта правая проходит через середивы прямых Е1, е9 и МК (лем.
ХХП1). Середина же ЛХК есть центр кривой. Предложеияе ХХТ11. Задача Х1Х Нуювести коническое сечение, «асающееся пянэи данным по положению ирялаяу. Пусть давы по положению касательные: АЗС, ЗСР, ВСР, РРЕ, ЖА 1эиг. 60). Раздели диагонали АР и ЗЕ четырехугольвика АВРЕ, образоваввого какими-ыибудь четырьмя из даыыых касательных, в точках М и Н пополам; прямая МХЧ(лем. ХХЧ, след. 3), проведевиая через эти середины, пройдет через цеытр кривой. Раздели затем пополам диагоызли ВВ и СР какого-вибудь другого четырехугольника ЗСВР, образоваввого другими четырьмя касательными; прямая Р~, проходящая через середывы Ри Я диагоналей, пройдет через центр кривой, который поэтому и волучится в пересечевии Р9 и ЛХ)Ч.
Пусть ов будет в С. Проведи прямую КХ параллельно одной ыз касательыых, ыапр. ВС, так, чтобы цеытр 0 лежал ва середыве расстояыия между кими, тогда проведевыая прямая есть также касательная к кривой. Пусть точки ее пересечевия с двумя другичи касательными ЫСЭ и РВЕ суть 1, и К. Через точки пересечеыия С и К, Р ы Ь этих ыепараллельыых — 141— касательных СЬ, РК с параллельнымв СР, КХ проведи прямые СК и РХ, пересекающиеся в Л; прямая ОЛ пересечет параллельные касательные СР и ЯХ в точках касания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
