Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 35
Текст из файла (страница 35)
аа Пусть время оянсания дуги АР есть аа'р дуги АН... ае, тогда, обозначал через Зев яостояяиую плоШадей, имеем Следствие о. Обратно, можно найти время, в продолжение которого тело описало какую-либо заданную дугу АР; соедини АР, и из середины этой прямой восстань перпендикуляр, он пересечет ВН в точке Н. Лемма ХХч"Ш Не существует такой замкнутой овальной кривой, для котпорой площадь, отсекаемая проиввольно проводимыми прямьеми, определялось бм в общем виде уравнениями с конечннм числом членов и конечной степени. Пусть внутри овала взята какая-нибудь точка, около которой, как около полюса, равномерно вращается прямая линия, и одновременно из полюса выходит точка и движется по этой прямой со скоростью, пропорниональной квадрату длины отрезка этой прямой, заключенного внутри овала, между полюсом и периметром. При таком движении точка описывает спираль иэ бесчисленного юношества оборотов.
Коли бы часть площади овала, отсекаомзя сказанной прямой, могла бы быть найдена при помощи алгебраического уравнеаия с ковечвым числом членов, то при поиощи того же уравнении нашлось бы и расстояние точки спирали до полюса, которое этой площади пропорционально; следовательно, все точки спирали могли бы быть аайдены при помощи конечного алгебраического уравнения, поэтому и точки пересечения с какою угодно заданной по положению прямой определялись бы при помощи алгебраического уравнения конечной степени. По всякая неопределенно продолженная пряная пересекает спираль в бесконечном числе точек, уравнение же, помощью которого находятся точки пересечсвия двух лишш, доставляет их всемв своими корнями и в том же числе, следовательно степень уравнения должна быть такою же, каково шсло точек пересечения.
Так, например, два круга пересекаются в двух точках, и каждая из вих находится не иначе, как при помощи уравнения второй степени, которым определяется вместе с нею и вторая точка пересечешзя. Два конических сечения могут пересекаться в четырех точках, и эчн точки, вообще, нельзя найти иначе, как при помощи уравнения четвертой степеьш, которым ови все определяются совместно. Это происходит потому, что если бы искать каждое из этих пересечений в отдельности, то так как для нях для всех условия одни и те же, то и вычисление для каждого пересечешш будет то же самое, поэтому и получится одно в то же окончательное уравнение, которое должно доставлять все пересечения совместно, полно и безразлично. Таким образом пересечения конического сечения и кривой третьего порядка, так как их может быть шесть, доставляются совместно уравнением — 154— шестой степени; пересечения двух кривых третьего порядка, которых может быть девять, доставляются уравнением девятой степени.
Если бы это могло быть иначе, то все задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, можно было бы сводить на задачи плоские. т. е. решаемые при помощи уравнений первой и второй степени, Все же задачи высших степевей— к задачам третьей степени. Здесь я говорю о кривых неприводимых, ибо, если уравнение, определяющее кривую, может быть приведено к уравнению низшей степени, то эта кривая не простая, а составленная из двух или нескольких, которых пересечения и могут быть находимы в отдельности для каждой. 'Хаким образом пересечения двух прямых н конического сеченпя доставляются всегда уравнениями второй степени, трех пряных и веприводимой кривой третьего порядка — уравнениями третьей степени, четырех прямых и неприводимой кривои четвертого порядка †уравнени четвертой степени и т.
д. до бесконечности. Следовательно, бесчисленное множество точен пересечения прямой и спирали, так как эта кривая простая и непрвводимая, потребуют для своего определения уравнения с бесконечным числом корнем и бесконечно большов степени, которое могло бы доставить все пересечения совместно, ибо для всех для ввх один и тот же заков и одно я то же вычисление. Если из полюса опустить на сказанную секущую перпендикуляр и вращать его вместе с секущей около полюса, то пересечения спирали будут переходить одно в другое; то, которое было первым или ближайшим к основанию яерпеядикуляра, через один оборот станет вторым, после двух оборотов †треть и т. д., меясду тем самое уравнение не иначе может измениться, как только от изменепяя величины тех количеств, которыми определяется полон~ение самой секущей.
А так как после каждого полного оборота эти количества принимают свои прежния значения, то и уравнение вновь принимает свой первоначальный вид и, следовательно, будучи единственным и оставаясь неизменным, должно доставить все точки пересечения в бесконечном числе, следовательно оно должно иметь бесчисленное число корней. Итак, нельзя определить, вообще, пересечения прямой и спирали при помощи конечного уравнения, поэтому и не существует замкнутого овала, коего площадь, отсекаемая произвольно взятою прямой, могла бы выражаться в общем виде при помощи таких уравнений.
Подобным же рассуждением, взяв за расстояние между полюсом и подвижною точкою, описывающею спираль, дшву, пропорциональную отсекаемой части периметра овала, можно доказать, что длина периметра не может быть найдена вообще при помощи уравнений конечной степени. Под — 155— замкнутым овалом я здесь разумею такие кризыо, которые не касаются сопряженных с вини кривых, уходящих в бесконечность. Сгедствие.
Таким образом длл эллипса площадь, описываемая раднусом, проводимым из искуса к движущемусл телу, не может быть пагучова по данному времени при помощи конечного алгебраического уравнения, и поэтому не может быть определена пересечением эллипса с геометрически рациональной (алгебраической) кривой. Я назьваю геонетрически рацпональвымн (алгебраическими) крпвыпп такие, все точит коих определяются при помощи длин, определяемых, в свою очередь, алгебраическими уравнениями, т. е.
при помощи сложных и составных отношений между длинами. Прочие же кривые (как спврзлгг, квадратрпсы, трохоиды) я называю геометрически иррациональнымн (трэнсцепдевтнызги), подобно тому как длины называютсл ариаметически рациовзльныни, если ояи относятся друг к другу, как целое число к целому, если же такого отногпеяпя по существует — то ариаметически иррациональными, как о том сказано в книге Х «Элемезтоюь Отсечение же от эллипса площади, пропорцнональноп времени, прв помощи геометрически иррациональной кривой псполняетсл следуюпгпгг образом.
Предложение ХХХ1. Задача ХХШ Найгяи место, занимаемое двиогсуиислгся яо эьвиятичесиой вграентории телом в данный момент времени. Пусть А (аиг. 69) есть главная вершина эллипса, 8 — ч. окус, 0 — центр. Р— искомое место тела. Продолжи ОА до О так, чтобы было 00: ОА = ОА: ОЯ, восставь перпендикуляр ОЫ н точкою О, как центроэг, и радиусом 06 опиши круг ОЕР и вообрази, что по линейке ОЫ, как по основанию, катится колесо ОЬ7', вращалсь при этом около своей оси О; точка А, взятая внутри его, описывает при этом трохоиду АХ Х. Возьми донну 6К, составляющую от длины обода колеса такую же долю.
как время, в продолжение которого тело переходит из А в Р, от времени полного оборота по эллипсу. Восстань перпендикуляр КХ, пересекающий трохоиду в Х:, и проведи прямую ХР параллельно КО; в точке Р ее пересечения с эллипсом п получится требуемое место тела. Радиусом ОА опиши полукруг из точки О, как центра, и пусть его пересечение с прямою ХР, если нужно продолженной, есть ф Соедини Яч3 — 156— и 09, и пусть ОЧ пересекает круг .ЕГО в точке Р; из фокуса опусти на зту же прямую перпендикуляр ЯВ. Площадь ЯРЯ пропорциональна площадв АЧЯ, т.
е. разности площадей сектора АЯО в треугольника 01уЯ, т. е. пропорциональна разности произведенвй — 09 ° ( аД) — — Оь) ВЯ 1 1 2 2 1 т. е. разности АД вЂ” ЛЯ, ибо †, ОЯ есть величина постоянная. Фиг. 69. Так как следующие отношения между собою равны: ЯВ: ()Х= ОЯ: ОА = ОА: 00 = — А9: — ОВ = = ( ٠— ЯЛ): ( — ОР— сйст ), то зта площадь с(РЯ пропорциональна ОК, т. е. разности между дугою ОР я длввою <'„1Х, представляющей синус" дуги А9. ЫОУйВШИ Впрочем, в виду трудности построения трохоидьц предпочтительнее на деле применять следующее приближенное решение.
Сперва надо определить угол В и длину Х (еиг. 70) так, чтобы было В =57;29578 ° — и Ь=ОА ° — т ЯВ АВ А.В ЯВ Вт Пусть 00 = В, ОА = и, угол .АРЯ = 9, тогда ордииато Хть тротоидьг соответствует :си а 0ЛГ = З0 — и в1в 9 = Олт — Ож — 157— В=В з(пАО() и Е=(.У вЂ” А017-т-В)'у АО соз,ьО()' Ь углы Р и 0 так, чтобы было Р = В ° э!и (А Оу -+- Е) Ь Е вЂ” АО ° соэ(АОГЗ-+-Ь) углы ЫпХ Н= Вз1п(АОД-т- Е-+- 6) п,у — -, ° Х. .У вЂ” ЛО9 — Š— 0 — Н яХ вЂ” А Осок(АОЯ +-Е-+- О) до бесконечности. Угол АОд определится по и продолжать таням образом формуле АОй = АОД-+-Е-ь- 0-е- д +.... После чего исправленное место р найдется по его абсциссе Ог и ординате рг, которые суть: Ог=ОА ° созАОо; уг=йг ° — =ОС зшАОо. ОС 1'яд АО(у-е-Е-е-6-+-У сходится настозько быстро, что едва ли когда-нибудь понадобится пттп в нем далее второго члена Е. Э1о вычисзевие " основано ва том, что площадь АРЯ пропорцпоназьна разности вежду ев Приегь применяемый здесь Ньютовом дзя решевия кепзерова ураввееия, есть кзк раа тот, который ви произошев дзя решеввя чвсзеввыа ураввевий вообще, т.
е. когда извество где АВ есть большая ось эллшса, ОА — большая пойуось, ЯН' — расстоявяе между юокусами. После того как зги величины найдены, задача решается сйедуюпзэм ана.тизом. При помощи какого-либо построения иди же сделав какое-нибудь исходное предположение, находим место Р теда, близкое истинному его месту р. Проведя ордннату РЛ, по пропорциональности осям эллипса находим орденату В9 описанного круга АЧВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
