Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Эта ордввата есть синус угйа АОч при радиусе ОА, ова пересекает эллипс в точке Р. Для угла А09 б) достаточно найти приближенное значение грубым вычислением. Кроме того, известен угол, пропорциональный времеви, т. е. такой, который так относится д з о я в к четырем прямым, как время Фиг, 70. описания дуги Ар к времени полного обращения по эллипсу. Пусть этот угол есть Х Затем надо последовательно брать углы В и Е так, чтобы было — 158— дугою А9 и перпендикуляром, опущенным из еьокуса на радиус 09 Подобным же вычислением решается задача и для гиперболы.
Пусть ее певтр О, вершина А соокус Я, асимптота ОК. Известна площадь, пропорциональная времеви, которую и требуется отсечь. Пусть эта площадь есть А (юиг. 71). Делается исходное предположение о положевшу прямой 8Р, отсекающей площадь А8Р, близкую к требуемой. Проводят ОР и затем А,У и РК, параллельные второй асимптоте.
По таблице логарищпов находятся площадь А.(РК и равная ей площадь АОР, вычтя которую из площади треугольника ОР$ получаем площадь АлЖ Разделив удвоенную разность площади А и площади АР8, Р т. е. величину 2 (.АРБ — А) или 2( 4 — АЖс), на расстояние 8Х е окуса до касательной РХ в точке Р, получим длину хорды Щ Вместив 0 Т эту хорду между А и Р, если плоФяг. 11. щадь АЖ' больше А, и ва продол- жении дуги АР, если меньше, получим в точке Д более точное место. Повторяя это вычисление, будем получать зто место все более и более точно. Вышеприведенными вычислениями задача решается аналитически вообще.
Ыо для целей астрономии удобнее следуюшвй частпьуй прием. приближенное значение и = ж корня уравнения у (и) = К то более точное значение ит = их -с- Вх вайдется взяв Аг — У (мз) У (мл) Для кеплерова уравнения и — с еш и = Аг будет су — кх-ь с юпщ зх= 1 — с сое их Это и есть еориула Ньютона, если ее нависать при помощи теперешввк обозначений.
Х .4О числятелв а звамевателя дроби разделить ва Х и заметить, что — = с Х вЂ” АО л(О() и угол .40() = ил. Но поводу етого решении знаменитый Абаше говорит: «Если погрешвоогь приближенного значения величины м» будет порндка е' относительно малоВ иеличявы е, прививаемой за малую первого порядка, то погреппмють величавы и„, 1 будет порядка сх = Зе-с- 1с погрешность следующего приближения мс,, з будет Ясл.+. 1кк 4с -+- 3 и т. дт так что порядок малости погрешвостя более чем удваивается при каждом приблажевии.
Этим объясняется огромное преииущеегво ()шюепзе айтапсале) этого способа перед разложением в ряды по степеням с, когда требуется весьма баьшая точность результата, ибо пря рядах прибащевне одного члена повышает порядок погрешяости лишь вз одну едивипуэ (У. С. Абазы. Оп Хещоп'з Зо!аяоп оу Кер!ег'е ргоЫеш. Баепмйс Рареге, то1. 1, р. ЗВО). — 159— Пусть Ол(, ОВ, ОВ (оиг. 72) — полуоси эллипса, Х вЂ” его параметр и В— разность между половиною малой оси и половиною параметра. Сперва надо найти углы Х и Я по шервудам:" 1 Л(ОАч-ОВ) . 2В ° 8Н 8ЬП Х= —,- ~ 81П л« = зе Н Началахе принята, само собою разумеется, старинная астрономическая термпно летия,несколько отличающаяся от современной. Как известно, применяемые теперь осповные ьормулы эалиптнческого двпжеивя планет следующие: пусть Я есть центр Солнца, Π— центр орбиты, тогда угол А8Р = е, считаеиый в сторону движении плавет от пернгелия, т.
е. ближайшей к Солнцу вершины А, вазывается «пстпвной ановалиейв; описанный иа точки О радиусом ОА круг — эксцентрическим круши; угол АОЯ=в — эксцентрическою аномалией, наковец пропорциональный времени 2пс угол К= — — средней аномалией, расстоявие ЯР= с — радиусом вектором, ОА = а — боль- ОВ шая полуось, отношевпе — = е — зисцептриситет (миг. 70). эти вваичпвы свяаавы саедую- ОА Шими аютпошенпямв: г = а (1 — е сое м) и — е зш м = К= в! (Ч (2 1 /~ — е 1 тй — п=йг — !8 — в 2 у 1-+-е 2 которые рьчлагаются в ряды по степеняи е и дают: ст, сз п=К вЂ” еешКч- ° 2е(вЗКч- !Зззш2К вЂ” ЗзшК)-+- ! ° 2 ° 2 ! ° 2 ° 3 ° Зз ез еа ез — =1-+- — — —.сов 2К вЂ” —, (ЗсоеэК вЂ” 3сое К)— а 2 2 1 ° 2 ° 2з 1 5 ) .
/б 11 17 е=Кч- ( 2» — —,сз-ь- — ее... ) е!пКч-( — ез — — с!ч- — ее ...) ею 2К-«- 36 14 24 !22 /13 43 ч-! — ез — — елч-...) ешЗК-+-... (12 64 (1.ар1асе. Месапатпе Сй!ее!е, Нтге Н„й 22). Но Ньютон саедует старинной астреномической практике, которая удержалась да Лапласа, именно, аномалии счятались ве от перигелия, а от амелин, т. е. от дальнейшей от Солнца точки .и, соответственно чему вормулы (1), (2) а (3) требуют замены в них углов и, е и К через углы и — вл, .л — с! и п — К! и принимают внув г = а (1.+. с осе кх) плч-езшш =К! /1 — с 18 — л = ЗУ вЂ” . 18 —.
2 у' 1+е 2 Разность вд — К! называется уравнением центра. Для праближенаого получения истинной аяамалип проподили из второго покуса вллипса луч В,У, составляющий угол ВНЛ = Кл; точка,7 пересечения этого луча с аллипсои и давала приближенвое место планехы. Ньютон прююдпт рвэаожекпе ураввевяв центра при старинных обозвачевипх. Так как эти эормулы теперь не применяются, то вывод вх пе приподится: атег вывод, хотя довыьва сложным геометрическим путем, можно найти в «Ргшс!р!аз, изд. Уя Бспг и Ласйп!и; и более простой в «М!есенапеопе Тгасье» Ъу Тьошае зшьрзоп, р. 46. После того как эти углы найдены, место тела определится так: возьми угол Т, пропорцирнальный времеви описания дуги ВР, или, как его называют, среднее движение, и рассчитай угол р" — первое уравнение среднего двяжения, так, чтобы было Р = У.зш2Т и угол Х вЂ” второе уравнение среднего движения: Х=Е' з1п Т сумма углов Т-ь- г'-+- Х, если угол Т острый, или же разность Т-ь- Х вЂ” У, когда угол Т тупой, т.
е. больше прямого, но меньше двух прямых, представит уравненное среднее движение, коему и возьии равный угол ВПР, тогда, есш НР пересекает эллипс в точке Р, то прямая ВР и отсечет площадь Р ВБР, весьма близкую к искомой пропорциональной времеви. Такой способ, как видно, А 3 о в достаточно прост, ибо для Фиг. 72. весьма малых углов Р и Х, выраженных, если угодно, в секундах, достаточно найти первые две или три циары.
Этот способ достаточно точен для теории планет, ибо даже для орбиты Марса, коего наибольшее уравнение центра равно 10', ошибка едва достигает 1". После того как найден угол ВНР уравненного среднего движения, найдутся тотчас же по известным способам угол истинного дзвження ВВР н расстояние ЯР.
Однако достаточно о движении тел по кривым. Может оказаться, что тело н прямо падает к центру я.ш по прямой удаляется от него; к изложению учения о таких движениях я и перехожу. ОТДЕЛ ь'П О ПРЯИОЛИНЕИНОИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ К ЦЕНТРУ ИЛИ ОТ ЦЕНТРА Предложение ХХХХХ. Задача ХХ?У Предполаьоя, что цеипьуостусмитсльная сила обуатио пуопорцно- яа.ана квадрату уасстоятня моста до центра, определить простуан- стеа, проходнмне телом о заданное оремя при прямолинейном ею падении и центру.
Сгучай 1. Если тело ие падает прямо к центру, то оио описывает (вредя. ХШ, след. 1) некоторое коническое сечеиве, коего фокус лежит в цевтре сил. Пусть это сечение есть АВРВ в его фокус Я ~фяг. 7За). Во-первых, рассмотрям тот случай, когда эта крввая эллипс. На большой его оси АВ опишем полукруг мЭВ,и через падающее тело проведем перпевд-куляр ЭРС к оси и прямые ЭЯ и Ж; площади яЯО и ЬБР пропорциовальвы и между собою и времеви. Сохравяя ось яВ, будем умеяьшать ширину эллипса, площадь лтЯЭ будет оставаться пропорциональной Фиг. тза.
времеви. Пусть эта шарипа упеяьшается до бесконечности; тогда орбзта АРВ совпадет с осью .4В, тело будет падать по прямой с$С, фокус Я совпадет с вершиною В и площадь АВЭ станет пропорциональной времеви. Поэтому простраяство,аС, проходямое в течение задаввого времени телом, падающим прямо, получится взяв вместо времеви пропорциояальиую ему площадь АВЭ и опустив из точки Р перпецликуляр ва яВ. Случай 2. Еслв сказаввая крввая гипербола, то яа ее ося ВА описывается раввобокая гвпербола ВЕЭ (евг. 73Ь), и так как площадч СЯР, СВгР, ЯР/З отвосятся соответствевво к площадям СЯЭ, СВЕЭ, БОЕВ, как ордяиаты СР к СЭ, площадь же ЯеуЗ пропорциональна времени, в течеиие которого тело описывает дугу ВуР, то и площадь ЯЭЕВ пропорпиоиальиа атому времени.
При бескоиечком умевьшеияи параметра гиперболы ВРВи сохраяеяви неизменности ее главной оси .яВ, дуга РВ с впадет с прямою СВ, фокус Я вЂ” с вершвиою В и прямая ЯЭ вЂ” с првмою ВЭ, — 162— следовательио площадь ВЭЕВ будет пропорциовзльва времеви, в продолжевве которого тело при прямолинейном падевии опишет путь СВ. Сгучай 3. Рассуждая подобным же образом и для т го случая, когда кривая ВРВ парабола (гьиг. 73с), опясываем при той же вершине е другую параб лу, которая остается постояквой; прт умевьшевии до нуля параметра тои параболы, по которой дввжется тело Р, причем зто Я движение обратится в прямолияейиое по пря- 8 мой СВ, площадь параболического сегмента ВЭФОВ будет пропорциональна времени, в продолкеизе которого тело падает из С в 8 Фнс тзн. или в В.
Бредложевме ХХХП1. 'Хеореиа 1Х Лрикммая найденное вьюгин, утверэкдаю, что скорость кадаюжею тела в *ибоя м сто С так оягносивгся к скорости тела, окнсынаннаего около менгнра В круг ргигиуга ВС, как ьнреиь квадратный кэ расстояния АС тела до второй вергиннн круга и т равнобочиой гикерболы относится к кнрннг ква гратному иэ ашвиой ио.гуоск кривой.
Разделав общую ось 4В еигуры ВРВ и ЭВВ в точке О (еиг. 74) пополам, проводим касательную РТ к кривой ВРВ в точке Р и опускаем ва зту касательную, пересекающую ось в точке Т, из вакуса Я перпевдикуляр ЯУ и проводам ВЯ пергепдикулярво осв. Пусть параметр кривой ВРВ есть Т. Уже установлено (вредя, ХУ1, след. 9), что скорость тела, движущегося вокруг центра сил Я, при проходе через точку Р так относится к скорости тела, описывающего около того же ./г цевтра круг рз,лиуса ЮР, как 1т! — л ° ЯР: ВУ.
По свойству ковическвх сечевий, АС СВ: СРг= 2л!О:Ь, следовательно 2СР' ° АО л1С ° СВ т. е. сказзяиые скороотв отиосятся друг к другу, как, . ВК 4С ° СЗ Но, по свойству конических сечевий, СО: ВО = ВО: ТО = !СО -г- ВО): ( ТО г- В01 = ВС: ВТ. Составив вновь производную пропоривю, имеем (СО + ВО):ВО= ОТ:ВТ АС: АО = СР: В~, СРз ° АС ° БР ВДз ° АС ° БР следовательно АС ° СВ АО ° ВС О~сдствоие 1. При созпадевии точек В и Б будет Пусть шврвиа СР кривой ЛРВ неопределенно умевьшается, так что в пределе точка Р совпадает с С, точка Я с В, прямая БР с ВС, прямая ВТ с Вф скорость тела, падающего прямо к центру, будет относиться к ско- В~7 ° АС ° БР. ро тела, опвсыв щего кру рщ усом ВС, как АО ВС:Бт Но в пределе отношение В9: БУ и отяошевие БР: ВС раввы 1, следовательво в пределе вьппеприведевяое отвошеиие скорости будет равно — 164— Сгедствие 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
