Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Нетрудно видеть, что траентория, укавываеьшя в тексте, относится к этим типам, В сапом деле, для случая аллипсажюбрззим, что яа центра С рздиусои С)сопнсан круг, и пусть точке В эллипса иа этом круге соответствует точка .В11 тогда площади елюштического и кругового секторов )гСВ и 1'СВ1 будут яаходиться в постоянном отношении, вначит и ухач УСР= 6 будет находиться в постоянном отношении к углу )гСВ1 —— ао пусть будет ю = пб.
Очевидно, что подзасательвая Ст дл» круга в эллипса одна и та же: От=в Су' ши ю получаем уравнение траегторнн и сол пб закзючающееся в пормуле (1) при Сл=а и Сз — — О. Точна так же для гиперболы увидим, что траектории, даяаемые построением Ньютона, заключаются в вориуле (йЬ сообразно тому, притлгательная пли стталкивательнщ сила, то квадратуры, увомииаекые в этом следствии, выражаемые пориулзмп (4) к (5) примечание 94, легко выполняются, необходимо при атом оаметить, что в таблице вормул, прсыоженных к сочинению Ныстона — аве Чпадга1пга сщтзлшп», заходятся ясе типичные интегралы нростейших алгебраических пункций, выражающиеся в конечном виде, и показаны способы разложения в ряды длн ве выражающихся в конечном виде.
Движение тела под действпен силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, подробно исследовано Котесон п его аНаглюп)а Мепзщагшпз. Но, чтобы получить втн результаты проще, можно воснользоватьщ пормулою Предложемио ХУЛХ. Задача ХХ?Х Врн заданном законе центростремительной сильв нсребуется определить двинсение тела, вьсходицето из заданного места с заданною но величине и нвиравлению скоростью. Сохраняя все так, как в предыдущих трех предложениях, положим, что тело выходит из задавпого места,Т (Фиг. 86) по направлению отрезочка,ТК с такою скоростью, которую другое тело, падая под действием постояивой цевтростремительиой силы из точки Р, приобрело бы, придя в Э, Фкг. зе, и пусгь зта постоявпая сила так относится к силе, действующей ва первое тело в точке,Т, как ЭЯ к ЭР.
Пусть тело пришло в точку й. Точкою С, как центром, и радиусом Сй опишеи круг йе, пересекающий прямую РЭ в е, и проведем ордиваты ео, ес, тс кривых ВРд, аЬс, асю. По задавиым пряпоугольвику РЭКА и закову цептрострекительвой силы, действующей яа первое тело, найдется кривая ВРу, по построевию задачи ХХ'в'П и по ее следствию 1. Затеи по заданному углу С,ТК будет известно вачальвое отношение бесковечво малых ТК и КЖ, следовательно по построению задачи ХХУШ вайдется количество ф а значит, и кривые айс и асю, следовательво, по истечевии какого-либо задаивого времеви ЭЬсе, вайдется как Траекторию тор»увы (ц Ньюта» дает еще и в следствии Е ирод»ежек»и ХТЛ с, укааыав» и атее простое и оке»вдвое построевие вор»увы и е сов »0 ыв и расстояние тела Се или брь, так к площадь Зсюе, равная плошади сектора ХСу, зыачит найдется и угол,уСй, т.
е. и то место й, в которое тело пришло." Во всех этих предложениях предполагается, что центростремительная сила изменяется при удалении от центра по любому закону, какой кому угодно будет вообрззить, ыо при одинаковых от цешра расстояниях ояа должна быть везде одна и та жеев Однако до сих пор движение те.у по неподвижыым орбитам рассмотрено достаточно, остается еще немыого кое чего добавить о движении тел по орбитам, обращающимся около центра свл.
ОТДЕЛ 1Х О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПО ПОДВИЖНЫМ ОРБИТАМ И О ПЕРЕМЕЩЕНИИ АПСПД Предложение ХЬП1. Зада уа ХХХ Уребуется заставить тело двигаться по зодакмой враьзоюьзсйся около центра сил траектории одзюаково с дрйапм те.шм, двивмгрынсмся ио то' кой зке покоящейся траектории. Пусть по заданной неподвижной орбите ГРК Григ. 87) обращается тело Р, двигаясь от ГкУь. Из центра С проводится прямая Ср, равная СР, так, чтобы угол ГСр, ею составляемый с прямою СГ, был пв."уояыно пропорциоыалеы углу ГСР; тогда п.лощадь, описываемая прямою Ср, будет так относиться к площади ГСР, описываемой одновременно с нею прямою СР, как угловая скорость описывающей прямой Ср к скорости прямой СР, т. е.
как угол ГСр к углу ГСР, т. е. будет в постояыном отношении к этой последней, следовательыо площздь ГСр будет пропорциональна времеви. Таким образом площадь, описываемая прямою Ср на неподвижной плоскости, пропорциональна вреиеыи, следовательно тело при действии пядлеясащей центростремительыой силы пожег двигаться так, чтобы постоянно совпадать с точкою р, описывая ыа неподвижыой плоскости по вышеприведенному закону ту же кривую, как и эта точка. Пусть угол ГСи равен углу РСр и длина ь,те равна длине СУ; тогда аигура иСр будет равна авгуре ГСР и тело, находящееся постоянно в р, ее В втой теореме выясняется глзвныи образом, как определяются величина ран выражении притягательной силы и постоянная площадей с, что необходимо для прикенения нориул предыдущей задачи, чтобы от пропорций перейтй к уравнениям, в которых «ковннициенты пропорционтьвостив известны. ю Этою оговортю устанавливается, что закон живых сил применим лишь для сил щентртьныхе, квн пх называют теперь, т.
е. зависящих только от расстояния до центра. — 185— будет двигаться по вращающейся кривой иСу и опишет на пей дугу иу в то же самое время, в какое другое тело Р описывает равную и подобную дугу на неподвижной кривой РРК, поэтому стоит только определить (предл. Ч1, след. 5) центростремительную силу, под действием которой тело тогда бы описывать ва неподвижной плоскости ту кривую, которую описывает па ней точка у, и задача будет решена.
Предложение Х1Лг'. Теорема Х1У Разность сил, застав яющих двигаться одно гасло ио неяодвинсной оубите, дугаое ио пгакой же оубите, но уавномеуно вращающейся, обратно нуоноуинонагьна третьей степени расстояния эгиих тез до иетиуа. и а. 1 зс з~ с) Ф + авт. Фка Зев. Пусть части иу и уй (фнг. 88а) вращающейся орбиты соответственно подобны и равны часгям гР, РК орбиты неподвижной, причем расстояние РК точек Р и К предполагается весьма малым.
Из точки й опускается ва прямую уС перпендикуляр Ь и продолжается до точки т так, чтобы было тг:йг= л'. РСу: л, УСР. Так как постоянно расстояние РС=уС и КС= ЙС, то и приращения длин РС и уС будут постоянно между собою равны; поэтому, если движение тел Р и у разложить (след. 11 законов) ва дза, из которых одно направлено к центру, т.
е. по прямым РС и уС, другое и;е — к этим ливннм соответственно перпецгикулярно, то перемещения по направлению к центру будут — 186— между собою равны, перпендикулярные я е перемещения будут относиться друг к другу, как угловые перемещения прямых (ф и СР, т. е. как углы Р(ф и ггСР; поэтому в продолжение того времени, в которое тело, вследствие обоих своих движений, переходвт в точку К, тело р, сделав равное перемещение по направлению к центру С, придет к концу того же промежутка времени куда-нибудь на прямую гяЬ', проходящую через й и перпендикулярную к рС, вследствие же поперечного перемещеняя удалится от прямой РС на величину, которая так относится к поперечному перемещению тела Р, как поперечные скорости этих тел, а так как поперечное перемещение тела Р есть Ь, то поперечное перемещение шг тела р определится пропорпней »: Ь.= ~ Рср: ~ РСР.
(.'ледовательно, по прошествии сказанного промежутка времени тело р оказалось бы в точке и. Так оно бы и бьгло, если бы тела Р и р двигались одинаково по прямым РС и РС, т. е. находились бы под действием равных спл, направленных по этим прямым. Но еслн взять угол рСм так, чтобы было л'. РСя: ~ р(рг = л'. Иф; л'. РСР и яС=- йС то в точке я получится то истинное место тела Р, куда оно на самом дезе приходит.
Отсюда видно, что если угол р(Ъ болыпе угла рСк, т. е. когда орбита ггрк вращается в ту же сторону, как н радиус РС, нлн в сторону обратную, во со скоростью, более, нежели в два раза, превосходящею скорость радиуса СР, то тело р находится под действием силы большей нежели тело Р, и под действием силы меньшей, нежели тело Р, когда орбита вращается в сторону обратную со скоростью меньшею, нежели удвоенная скорость раднуса СР. Разность снл пропорциональна расстоянию ягм между теим вестами тела р, на которое тело в продолжение заданного промежутка времеви перемещается под действием силы. Центром Сн радиусом См или СЪ описывается круг, пересекающий продолжение прямых ягг и яш в точках з и (; тогда будет следовательяо гягг ° ел шм=— юг так как прв постоянной величине промежутка времеын площади рСУ( и рСа также постоянны, то длины Ь н яьг, а также и их разность и сумма обратыо пропорциоыальны расстояниюрС, следовательыо пронзведеыие та те обратыо 1 пропорциоыально квадрату расстояния рС.
Но псл пропорционально — тб, т. е. щй ьчз расстоянию рС, следовательыо величина — > т. е. отрезочек яся, обратно пропорциоыальва кубу расстояния рС. Все этн отыопзения суть предельыые, поэтому и пропорциональная величине зии разность сил обратно пропорциональна кубу" расстояния рС. Следсяьвие л. Разность сил в точках Р н р или в точках К и й так относится к силе, под действием которой тело могло бы, обращаясь но кругу, прийти из Я в К в то же самое время, в которое, двигаясь по неподвижной ю Обозначая через т — бесконечно малый проиежуюк времени и через Π— ускорение той сзлы, ст действия которой происходит отклонение жи, будем иметь 1 ии = — О ° тз й пусть для площадей 1'Ср и ГСР соответствующие постовнные суть сл и с и расстояние Ср= СР=.1 как оно обозначено веже у Ньютона.
Тогда будем елт сг йг= — 1 — гвг= — ' ю1=2РС=ЗА. А' А' (Сг -~- 21 т (сл — с) жз = йг.+- юг = юй = еи — гй = — — — т А А следовательно 1 с22 — сз жи = — уяз = ° 22. З ЗА2 Ньютон полагщт О сз:с=(У:Р', т. е. от=с ° —, Р на основании этого будет 02 Рз с2 Р'2 Аз «ринси с есть постоянная площадей для тсиозскжчюй орбиты. ф Величине — в следствии 1 придается механическое толкование, именно как такой ' Аз силы, под действнеи кОторой тело может двигаться по кругу равномерно, причем постоянная площадей рыжа с; в самом дще, для такого кругового движения будет ез Оо= — я с=гА следовательно 22 Фе= Аз' и значит, 1(2 — Рз О= Рч 'Ое орбите, оно описывает дугу РК, как бесконечно малый отрезочек нем от- носится к синусу верзусу бесконечно малой дуги ВК, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
