Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Таким же образом мы будем затем рассматривать и двнжение тел по кривым поверхностяж ОТДЕЛ Х О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПО ЗАДАННЫЙ ПОВЕРХНОСТЯЙ И О КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ДВИЖЕНИИ ПОДВЕШЕННЫХ ТЕЛ Предложение ХЛЕ1. Задача ХХК11 11редпо атая, чяьо иентростпремитпельиая сила какая уьодио и что даны иеитр сап и и.госкость, в ноторой обраиьается наело, и доиуская квадратпррр кривых, тпребрсзпся определитпь движение тела, выходящею из донато места с заданною скоросапью, направленной ио прямой, лалсащей в вьпиериомяиртпой заданной п,юскостпи. Пусть Ь" (аиг. 89) есть центр сн.Ь БС вЂ” кратчайшее его расстояние до данной плоскости, Р— место, пз которого тело выходит по направлениьо прямой РЯ, 9 — какое-либо место тела, РьеЛ вЂ” траектория тела, лежащая в заданной плоскости.
Если, проведя С9 и еда, отложить до йбо длину 8Г, пропорциональную центростремительной силе, действуюйьей на тело по направлению ьео', и провести тТ, параллельную Сф н пересекающую оС в точке Т, то сила Я' разложится "' на силы 8Т и Т'и', из коих ЯТ, действуя па тело перпендикулярно плоскости, не оказывает влияния на его движение в этой плоскости. Вторая же сила ТГ, действуя в самой плоскости, притягивает тело прямо к точке С, лежащей в атой плоскости, и следовательно, заставит тело двигаться в этой плоскости так, как будто бы силы сос В примечании 1Э уже было указано, что прн разложении сна Ньютон не заботится о том, стобы раяиодейстяуюньая и состактяюшие быан приаожеиы нмеяяо к той точке на чертеже, на которую они действуют; он делает зто костроееие нш з стороне, наи где удобнее дая хода рассуждений, кбо построение нараааехосранма должно ему анись дать отношение между раннодейстнуюшей и состааыаюнтник н указать ианраааеяня их.
— 2ОО— БТ нет, а тело под действием силы ТР' движется в свободном простраыстве. Когда же задана центростремительная сила, под действием которой тело движется в свободном пространстве, то (предг. Х1Д1) определяются как траектория РЯВ, описываемая телом, так и то место ф в котором тело ыаходится в любой заданный момеыт времеви, а также и скорость тела в этом месте 9. Предложение Хйг11. Теорема Хг | ПОУЧЕНЛЕ Вышеизложенному сродственыо колебательное двиясение тел по крнвып поверхностям. Вообрази, что на плоскости описана кривая линия н что она обращается около какой-либо осн, лежащей в этой плоскости и проходящей Жели иенюростремигяелыия сила пропориионеыьна расстоянию жела до иенпгра, що все гяела, обращающиеся по каким угодно илоскостям, опи.- сываюгп э.г,гипсы, причем времена обращеиггя одинаковы, гяела же, движущиеся прямо.гинейно, колеблясь вэпд и вперед, совер! игающ каждое полное ко.геоание в продол- | ,е жение пгого же периода. При сохранении обозначений предыдущего предложения окажется, что так как сила 81', притягивающая обращающееся в плоскости РЯВ тело 9 к центру 8, пропорциональна расстоннню Я~, то по пропорциональности 81' и Щ ТУ и С() и сила ТУ, лежащая в заданной плоскости ч и притягивающая тело Я к центру С, проФвв.
89. порцнональна расстоянию С9 Следова- тельно, силы, с которыми тела, обращающиеся в плоскости лг(еВ, притягиваются к точке С, при равных расстояниях равыы тем силам, с которыми эти тела при таких же расстоянвях притнгиваются к центру 8; поэтому эти тела будут двигаться по таким же кривым в любой плоскости РЯВ около точки С, как в свободаом пространстве около точки 8, следовательно (предл. Х, след. 2, и предл. ХХХ711, след. 2) они в одвыаыовое время будут описывать в этой плоскости эллипсы опало точки С, а также ы совершать колебания по прямым линиям, проходящим через эту точку и лежащим в данной плоскости. через центр свл; прн таком вращении кривая произведет некоторую кривую поверхность.
Кслн тело движется так, что его центр все время находится в этой поверхностн, к, колеблясь взад и вперед, не выходят нз плоскостк, проходящей через ось, то тело будет двигаться по той кривой, вращением которой образована поверхность; поэтому в таких случаях достаточно рассмотреть двнженке тела по этой кривой. Предложение Х1."г|П.
Теорема Х г'1 Еслгг колесо стоит на наружной поверхности шара под прямым ггтом к нег и, врагнаясь около своей оси, катится ио большому кручу шара, то длина криволинейного иупги, описаннто какою-лггбо гиочкою обода колеса, считая от игого положения лигой гиочкн, кида оно ею касалось итра, пгак относшися к 1гдвоенному сггггг1су верзусу гго.гавкни июй дг1г и, когиорой за згио время ко.гесо прикасалось к шару, как сумма диаметров шара и ко,геса относится к иолудиомстру шара. Предложенне ХТЛХ.
Теорема Х гП Вслгг колесо сгноит на внутренней поверхностгг тара иод прямым умом к ней и, вращаясь около своей оси, катится ио большому кругу шара, то длина нриволинеинто пугни, описанного какою-либо точкою обода колеса, считая от того положения тиои гиочкн, когда оно ею касалось игара, гиок оигносится к удвоенному синусу верзусу половгти той дуги, коигорои за зто время колесо прикасалось к шару, как разность диаметров изара и колеса относгггяся к иолуднаметру шара.
Пусть АВХ (фнг. 90) — шар, С вЂ” его центр, ВРУ вЂ” колесо, нанев стоящее, Ю вЂ” центр колеса,  — точка каеання, Р— заданная точка на ободе колеса. Вообрази, что это колесо катятся по большому кругу АВВ от А через В к Х я прм этом так вращается, что дуги АВ в РВ постоянно между собою равны и что точка Р, заданная на ободе колеса, опнсьаает крнволинейный путь АР; еелн, вместе с тем, АР есть и полная длина описанного точкою Р пути, то будет АР: 2 я)п чегя г1 — РВ) = 2СЕ: СВ. с1 )~2 Пусть прямая СЕ клк ее продолжение пересекает обод в точке 1'; прове,гн СР, В1', ЕР, КР и опустя на продолжение СР перпендикуляр рх; пусть точка Н есть пересеченке касательных РН к РН, проведенных к ободу в точках Р и уг, Н вЂ” точка пересечения РН и $'Г и прямые ОУ н НК перпенднкулярны к Р1'.
Точкою С', как центром, в прокзвольным радиусом опиши — 202— НРС=УСР и Р.НС=СЕР кбо в четыреугольнике гНЕР углы Р и У прямые, следовательно тре- угольники УН6 и СЕР подобвы, и значит, ЕР: СЕ = НС: НГ = Н6: НР = КХ:КР (СЕ~'ЬР~): СЬ' = ~КУ ~т КР): КР, откуда или, удвоив последунпцие члены, СЗс2СЬ'= РУ:Р)'= Ро: Рьп. Таким образом умевьшевие длввы УР, т. е. приращение длины ВР' — Р'Р, находится в постояввом отвошевии к приращевию длины кривой АР, равном отношению СВ к 2СЬ; поэтому 1лем. 1У, след.) и самые дливы, образуемые этими приращениями, находятся в том же отношении. Но при радиусе ВР 1 отрезок РР есть косинус угла ВУР= — ЗЕР, позгомуВК вЂ” УРесть синус верзус этого угла, и следовательно, в сказаввом колесе, коего ра- 1 диус есть — ЗР; величина (Вà — УР) есть удвоенный синус верзус дуги 1 — ВР, почему и будет АР: 2 з)птегз~ — ВР) = 2СЬ': СВ. т1 12 Для различия будем вазывать кривые АР соответственно циклоидами на- ружною и внутреннею.
круг, пересекающий прямую СР в и, обод колеса ЗР в о и путь точки Р, т. е. кривую АР, в эм. Точкою Р; как цептром, и радиусом Ро опиши круг, пересекающий продолжевие УР в точке о. Так как колесо постояпко вращается при своем перемещении около точки касавия В, то очевидно, что прямая ВР нормальна к кривой .АР, и следовательно, прямая РР касается этой кривой в точке Р. Радиус круга мою возьми почти равным расстоявию СР, тогда, по подобию бесковечво малой фигуры Рапид и оигуры РР6Р,У, предельное отвошевве исчезающих о~резков Рпь, Ум, Ро, Рс, т.
е. отвошепие совместных одвовреиеввых приращений длины кривой АР, прямой СР, дуги круга ВРи правой РР, будет то же самое, как прямых: РР; РУ, Р6 и РХ. Но так как прямые РР к Р"Х соответственно перпевдикулярвы к СГ и СГ, то углы — 203— Фиг. 90. Следствие 1. Если описать полную циклоиду АВХ, и в точке В разделить ее пополам, то так как ГР есть удвоенный синус угла УЗР при радиусе ЕВ, то будет ВР:гР=2СЕ:СВ т. е. дуга ВР находитск к длине ТР в том же постокнном отношении, как и дуга АР к синусу верзусу нояовины дуги ВР. — 204— Сгсдсьмвьье 3.
Длива полупериььетра ЛВ циклоиды равыа длине такой прямой, которая так отвосптея к диаметру колеса ВГ, как 2СЖ к СВ. Бредьтоькеыьье 1,. Задача ХХХ1П УсьмЕьоить так, чтобы яодвеиьеььнос ьнсло колсба,гось ио заданной циклоп де. Выутрп шара, опььсэявого из цевтра С(миг. 91), задана циклоида ч1ЛЯ, середиыа коей в Л, концы же ее ь:„ь и В находятся в этих точках поверхности шара. Проведи СЛ, разделяющуьо дугу ф~'в точке О пополам, и продолжи ее до Л так, чтобы было СА: СО =- СО: СВ. Из цеыгра С радиусов СЛ опппьи варужвый шар ЛАЕ', и пусть ввутри его колесом, коеь о радиус АО, описаыы две полуциклоиды А~д и АЯ, касаьоьциеся ввутревяеь.о пьара в точках О и Я п пересекающие варужыый шар в точке А. Пусть из згой точки А ыа нити АРТ, длиыа коей АЛ, подвешеыо тело Т, качающееся между полуцпклоидаии так, что как только маяткяк отклояптся от отвеса АВ, то нить верхыею своею частью ыа.ьожится па ту полупиклопду АРЯ, в егорову которой двпжеыие провсходит, и будет ее огпбагп как препятствие, остальыая же часть ыити Е'7', ие касающаяся пиклопды, остзыется растяыутой в прямую ливию; тогда тело Т и будет колебаться по задаввой цпклоиде ОЛЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
