Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Следсжзие 1. На основании сказанного могут быть сравнзваемы времена качаний, падения и обрагцевия тел. Так, если взять диаметр колеса, производящего циклоиду внутри шара, равным радиусу шара, то эта циклоида обратится в прямую линию, проходжцую через центр шара, и колебание превратится в прямолинейное падение к центру и затеи поднятие по этой же прямой от центра. Следовательно, можно найги как время падения из любого места до центра шара, так и разное ему время описания четверти окружности на любом расстошши от центра шара, при равномерном около него обращении тела; а именно, это время (по изложенному но втором случае) так отяоснтся к времеви полуразмаха по какой-либо цикловде ЧВЯ, как Следояэаис 2.
Отсюда же следуют и выводы, данные Вугмиом и Бойгеясом относительно обыкновенной цикловды. Ибо, если увеличивать диаметр шара до бесконечности, то его поверхность обратится в плоскость, и центростремительная сила будет действовать повсюду одинаково и перпендикулярно к этой плоскости, и наша циклоида превратится в обыкновенную. В этом случае длина дуги циклоиды, заключенная между сказанною плоскосп,ю и производящею точкою, равна учетверенному синусу верзусу половины — 210— ,дуги обвода колеса, заключенной между этою плоскостью и производящею точкой, как это нашел Время. 1тгавтвик, подвешенный между двумя такими пиклоидами, колеблется по циклоиде, им равной и подобной, в равные времена независимо от величины размахов, как это доказал Гюйгенс.
Вместе с тем высота падении тнжелого тела в продолжение одного размаха будет та, которая найдена Ггойгенсом."' гое Чтобы подучить теперешнюю оормузу дзя цикзоидззьного иаятянка, т. е. Т=к)//— где 1 — дзияа маятника, т. е.1 = ЛЯ, и д — ускоренге силы тяжести, необходимо сопоставить сказанное здесь с закаючитехьною частью доказачезьства, где приведено выраженно коему ВрЕмя размаха пропорционзяьво, а также принять зо внимание, что ато время пропорционазьно позуакружнсств НЛУХ и обратно пропорционазьно ЛУЕ.
1 В санси дезе, ковылем бесконечно иззыа промежуток времени с = — секунды, тогда будет УптьнНХМ:Нх=; . ОН: /гОН НХ=к У /ОН = ~'знх' Но ОН= БЗ, и по следствию предзожевия Ь будет ЯН: ОС=.бкы 1С= ЫН: Ос, т. е. СН ОС АН .АС и, іо подстановке, /ос лн Но НУ есть путь, проеденный в промежуток г под деаствиеи сизьь пропорцновазьноа СО ° 1', пусть ускорение атой силы ешь о, значит а=и р.ос, где и — пестоянныа козооициевт, причем в предезе, когда ОС веопредезевво возрастает, то о = у, где у есть ускорение силы тяжести. Таки» образом будет НУ = — О ° тз = — а ° и ° ОС ° тз 1 1 а ' а и, падставзяя, пояучим .1С $Л Ос а ° расс в пределе будет 1С вЂ” =1 ОС д р.
ос=у, озедозатозьно Это и есть оориуза Гюагевса, написанная теперешняии обозначеввами. — 211— Доказаввые же вами предложен>и более близко соответствуют истинному строению Земли; так, когда колесо катится по большому ее кругу, гвозди ва его ободе описывают варужвые пяклоиды. Маятники, чтобы все их колебавия бы.>и изохроввы, должны быть подвешены внутри Земли, в рудвиках и пещерах, и должвы колебаться по ввутреввим циклоидам, ибо тяготевие (как будет показано в книге третьей) при возвышевии вад поверхвостью Земли убывает пропорпиовальво квадратам расстояний, под поверхностью же лишь пропорпяоввльво расс>ояиию.
Иредложеиие УП1. Задача ХХХт Допуская квадра>ауру кривых, нат>п>а силы, код дейстпвиел> коп>ярых >пела совер>ааютп мзохронные колебания но за>)анной г кривой. Пусть тело колеблется по какой-либо эадаивой кривой ЗТЩ (Фиг. 94), ось коей АЛ проходит через центр сил С. Проведя касательную ТХ к кривой в точке Т, занимаемой телом, откладываем по вей длину ТУ, раввую длине дуги ТЛ. Длива же этой дуги'"' ваходится по обыквовеввым способам при помощи квадратуры е кривых. Из точки У прова>итси перпев- Фиг. зб.
дикуляр УЛ к касательной; проведя СТ, пересекаю>цую этот перпендикуляр в точке Я, получим дливу ТЕ, пропор- циовальвую цевтростремительвоз силе. >ое Уже в упомянутом примечания 103 снч»ненни: «Апа!у»Н» н т. дч дан способ нахождения длины дуг пряных, равносильный рашоженпю в ряд выражения провзводной дуги по степеням абсциссы илн другой переменной независимой, и интегрирования членов этого ряда. В сочинении же: «Ме>Ьобп» Нпхюпшп», дается в сущности теперешний способ, основанный на интегрированю» выражения В» = В> -« утт . Вя и поясняется рядом нрвиеров >ргоь. Х11.
Песегнйпаге снгтьгпш 1»пй>спб>п "п> — определить длину правых). Когда было написано это со шненне»точных упазаннй нет, хотя известно, что уже в 1666 гт т. е. за ЗО лет до издания «Начал», Ньютон владел методом олюисий. Его трактат о хвадратуре яровых был иадан в 1704 г. метод же елю«снй — лишь в >736 г., т. е. через З лет после его смерти. Но в введении и этому сочинению свазано: <я счел не лишнии составить эту книгу для студентов иатематихов» 1>утовшп Кеоше>гагнш), тан чте возможно, что это сочинение и иного раньше было известно ученикам Ньютона, нбо иначе выражение «обыиновеивыми способаии» не могло быть понятным чатателям того времени. — 212— Ибо, если силу, с которою тело Т притягивается к С, представить лдпною Т2, ей пропорциональной, то эта сила может быть разложена ва две, ТУ и У2, нз коих У2, действуя на тело по направленвю внтк РТ, не изменяет нк в чем его движения, другая же сила ТУ целиком клн ускорнет, или замедляет, его движение по кривой.
Так как эта сила пропорциональна отклонению ТВ, то н ускорения нли замедления прк двух разной велвчвны раз. махах качаний будут пропорпковальны этим отклоненная, н зкачпт, обе эти дуги будут описываться н одвваковое время. Тела же, опнсывающне одновременно пропорциональные частя целого, о>>жнут н целое в одинаковое время. Следствие .ь. Если тело Т (фнг. 9б), висящее ва прямолинейной нити, нз центра А описывает дугу круга 8ТЩ н находится под действием некоторой силы, направленной вниз н так относящейсн к постоянной силе тяжести, как дуга ТВ к ее свнусу Тььг, то времена размахов будут постоянны.
По параллельности Т2 в АВ треугольнвкн АТ)ь> в 2ТУ подобны, поэтому Т2> АТ== ТУ: ТЪ т. е. еслн представить постоянную силу тяжести заданною длиною АТ, то сила Т2, производящая пзохроввые колебания, будет так относиться к силе тяжести А.Т, как дуга АВ, равная ТУ, отвоснтсн к своему синусу ТХ Следствие 2. Вследствие этого, в часах, если бы силы приложенные от мехавкэма к маятнику так бы слагались с силою тяжестп, что полная ТЛ АВ направленная вниз сила была бы пропорциональна величине,, то колебаняя маятника были бы кэохроннь>. Предложение в Гь'.
Задача ХХХ>У допуская квадратуру криволинейнгьх фигур, айиь«время восходящею илн нисходящего движения жела нод дейст>тем какой уюдно цен«>росжремителгнон ьэьлвь ью какой уюдно «рнвой, расположенной в «лов«осьми, ироходящей через менту сгьл.
Пусть тело опускается вз какого-нибудь места Я (фнг. 96) по какойлвбо кривой 8Т>В, лежащей в плоскости, проходящей через центр сял С. Проведи СЯ к раздели ее ва бесконечное множество равных частей, в пусть ЭЫ есть одна кэ этвх частей. Точкою С, как центром, и радиусами СЗ и Сб опвщп круги, пересекающпе кривую ВТ1В в точках Т н й По известному закову центростремательвой силы н расстоянию СЯ, с которого тело начинает падать, найдется его скорость з любом удалении СТот центра(вредя. ХХХ?Х) Время же, в продолжение которого тело пройдет бесконечно малый путь ТС, нропорциональво длине этого отреэочка, т.
е. секансу угла зТС, и обратно пропорционально скорости. Пусть ордивата ЗХ, перпендикулярнан к прямой СБвточке З, пропорциональна этому времени, тогда, так кзк ЗИ постоянна, прямоугольник Зд ° Зйг, т. е. площадь ЗУид, будет также пропорциональна этому времеви; следовотельяо, если РгУн есть та кривая, на которой постоянно лежит точка Х и которая имеет своею асивштотою прямую 89, перпендикулнрную к прямой СЯ, то плошадь ее БАРЖ) будет пропорпио- Ф .эе.
Фиа Эб нальва времеви, в продолжение которого тело, опускаясь, пройдет по кривой путь 8Т, и значит, когда эта площадь будет найдена, то найдется и время. Предложение дУ. 'Хеорема ХУХ .Если тело деииеется но какой-либо иоверкности вращения, ось котороа ирокодит через иентр сил, и из места тела оюускаеьуся на ось яериендикуляр, которому через какую-либо постоянную точку оси нроводииься равная и караллельная прямая, ию я утверзюдаю, что зиьа ирямая оиисивает площадь, ироиорииональную времени. Пусть ВКХ (ьиг.
97) есть поверхность вращения, Т вЂ” тело, по ней обращающееся, ЯТЛ вЂ” траектория, которую оно по ней описывает, Я вЂ” начало траектории, ОМК вЂ” ось поверхности, ТУ вЂ” опущенный из места тела ва ось перпендикуляр, ОР— равная и параллельнан ему прямая, проведенная реэ данную на оск точку О, АР— проекция траектории, описываемая ва — 214— плоскости ХОР точкою Р, 1 — начало этой проекции, соответствующее точке 8, ТС вЂ” прямая, проведенная из тела к центру, ТΠ— длина, пропорциональная центростремительной силе, ТМ вЂ” нормаль к поверхности, ТУ— длина, пропорпиовальная давлению, производимому телом на поверхность, а значит и обратно, поверхностью на тело в направлении к М, РТР— прямая, параллельная оси, проведенная через тело,,УНи Рб — перпевдикуляры, опущенные на эту параллельную.
Я утверждаю, что описанная от начала движения радиусом ОР площадь РАО пропорциональна времени. Сила ТС разлагается(по след. 11 законов) на силы ТУ ;лг иРО, п сила ТУ вЂ” ва силы ТН 1 и УН. Силы ул иРН, дей- гЗ ': .. гб .'л. ствующие по липин РР перв',',...'' ', ф'' ' ...я пепдикулярво плоскости лгОР, уф. измевяют лишь движение тела, .к перпендикулярное этой плоскости. Следовательно, его движение параллельно плоскости луОР, т. е. движение точки Р, описывающей проеке цию траектории лгР в этой Фип 97. плоскости, остается таким, как если бы силы ТР и НТ были уничтожены и иа тело действовали бы только силы Р0 и НУ; значит, это движение таково, как будто бы само тело находилось в плоскости МОР под действием центростремительной силы, направленной к цемгру О и равной сумме сил РН и НУ, и описывало бы кривую АР. Но под действггем такой силы описываются площади, пропорциональные времени (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
