Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Предложение УЛХ. Теорема ХХП Время обращения каждого из двух нге г 8 и Р около нх общею центра тяжесгпи находится в онгноюенни, ровном корню квадрагкному нз нпнощсния масси 8 к сумме мосс Я-г- Р ко времена обращения однао нз них Р вокруг другою Я, принимаемые за неподвзохное, по кравой, равгюй и подобной той, которую гпе.га описнвонка друг около друга.
Из доказательства предыдущего предложения следует, что откошевие еремея, в продолжение которых описываются произвольвые, весьма малые, подобвые дуги Рй и ра, равно корею квадратвому из отвошевия расстоявий СР: БР или СР к зр, т. е. равяо Отсюда следует, что и времека описания полвых кривых находятся в том же постояввом отвошевии, т. е. Предложение ЬХ.
'деорема ХХШ Если два тела Я и Р, яризпягиваясь с силою, обратно яроиорииональяою квадрату расстояния, обращактгся около общего иентпра тяжести, то большая ось эллииса, сяисываемто одним из этих ягел Р вокруг друюзо 8, находится к большой оси тто эллипсе, который мог бы быть описан жем же телом Роке.го спела 8, осзпающеюся неяодвижным, в огпяошении, равяом отногиеяию суммы масс (8-г-Р) к яервому из двух средних з —; яроиорииокальяых между этою суммою и массою жела Я(гп.
е. 'Р'8 (8-г-Р)з, иначе — сказанное отпкошение равно корню кубичяомугм из отношения суммы масс к массе Я. Если бы описываемые эллипсы были между собою равны, то, по предыдущей теореме, времена обращения находились бы в отиопгевии, равном ~Ж поэтому, если умевьшвть в атом отношении время оборота по второму эллипсу, то эллипсы сделаются рэввыми, во (Хт') большая ось эллипса умеиьи шится при этом в отвошевви, составляющем степевь — предыдущего, т. е.
в отношении следовательно эта ось будет отвосвться к большой оси первого эллвпса, как М8(8-+- Р)'. (8-+- Р) и наоборот, большая ось эллипса, опясываеиого около подвижвого тела, тэи относится к большой оси описываемой около неподвижного, как ф-с- Р): У8(8-т- Р)е = У8-г- Р: У8. ггз Если составить так ваеываеиую непрерывную пронорцию (3-с-Р)гХ=Х: У= Угя то Х есть нервов из двух средних нронорциовазьвых вежду 8.+- Р и 8, д — второе. Из этих нронорцва сзедует Хгии Т ° (8-ьР) и Уз=х ° Б.
Откуда Хз =. Б ° (Я т- Р')з Предложение 1Х1. 'Хеорепа ХХ1 г Если два тела, нритягиввющиеся взаимно с какою уюдно силою, но не гюдверженные действию никаких других сил, движутся как бы то ни было, то их движение будет то же самое, если они, не дейсгнвуя друг на друга, ирипгягивались бы гнрепгьим пгелом, находящимся в оба?ем их иентре тяжести, с такою же силою. Зависггмость этой нритягагнельной к иентру пгяжести силы от расстояния до него будет такою же, как и первой силы от полито рассгиояния межгф теламги. ??рвтяжение этих двух тел друг другом направлено по прямой, их соединяюгцей, следовательно к общему центру тяжести их, т. е. как будто бы оио происходило аг промежуточного тела. Так как отношение расстояний каждого тела до их общего центра тяжестп к расстоянию между нами остается постоянным, то будет оставаться постоявяым н отнопгевие любых степеней этих расстояний; а также и отношение какого угодно количества, составленного из одного из этих расстояний, и заданных величин к количеству, совершенно так же составленному из второго расстояния и величин, также заданных и находящихся к предыдущим з сказанном постоянном отношении этих расстояний.
Поэтому, если одно теле будет притягиваться другим прямо нли обратно пропорционально расстоянию между нимн, или вообще пропорциовагьно каков-лябо степени расстояния илн же, наконец, какому-либо иному количеству, кэк бы то ни было вывопыгому нз заданных величин и этого растоявия, то и та сила, с которою то же тело притягивается к общему центру тяжести, будет или прямо, или обратно пропорциональна расстоянию притягиваемого тела до общего центра тяжести, или пропорциональна той же степени этого расстояния или же, наконец, количеству, выводимому, подобно вышеупомянутому, из этого расстояния и заданных величин.
Это и значит, что зависимость притягательной силы от расстояния в обоих случаях одна и та же. Предложение 1 Х11. Задача ХХХ11П Определить движение двух тел, нригнягивающихся обратно нропориионгиьно квадрату расстояния между ними и пущенных иэ заданных мест бев скорости. По предыдущей теореме оба тела будут двигаться так, как будто бы ови притягивались третьим, находящимся в общем центре тяжести, который ао предагложешпо в начале находился в покое и, следовательно ?след. 17 законов), и, все время будет оставаться в покое. Таким образом стоит только — 222— определить движение тел (зад.
ХХЧ), притягиваемых этим центром, то получнтсн и движение тел, притягивающихся круг к другу. Предложение УХПУ. Задача ХХХ1Х Определить дв>гхеение двух тел, нритяьиваюгиихся обратно пропориггонально квадрату расспюяння и >>у>пенных из заданных мест мо данным направлениям с заданными сноровя>ями. По известным начальным количествам движения тел найдется и равномерное движение их общего центра тяжести, а значит, и равномерное и прямолинейное движение пространства, одинаковое с движением сказанного центра тяжести, а также и начальные скорости каждого из те.г относительно этого пространства. Последующее затем движение тел будет происходить в этом подвижном пространстве (след.
Ч законов и теор. ХХ1Ч) так же, как если бы оно было неподвижно и тела притягивалнсь бы не друг другом, а третьям телом, находящимся в центре тяжесгн. Следовательно, движение каждого тела в отдельности в этом подвижном пространстве определится, по задачам 1Х н ХХЧ1, как движение тела, пущенного из ззданного места по данному направлению с заданною скоростью и находящегося под действием центростремительной силы, направленной к сказанному центру.
К этому движению надо затем приложить выше найденное равномерное движение системы, состоящей из подвижного пространства и тел, в нем обращающихся, после чего и получится абсолютное движение тел в пространстве неподвижном. Предложение 1Х1Ч. Задача Ху, Требуепгся онределипьь движение тел, нритягиваюиьихся взаимно с силами, нронорииональными расстояниям. Положим сперва, что тел два Т и Х, (пиг.
99) и центр тяжести их З; каждое из них описывает около этого центра тяжести эллипс с центром в точке Р, размеры этого эллипса определяются по предложению ХХ1. Пусть третье тело Б притягивает первые два Ти Х с ускорительными силами 8Т и ЬХ н взаимно притягивается ими. Сила ЯТ разлагается (след. 11 законов) на силы ЧЭ и ЭТ, и сила ЯХ, — ва силы ЯЗ и ЭХ,. Силы ЭТ и ЭХ пропорциональны их сумме ТХ, т. е. той силе, с которою притягиваются друг к другу тела Тв Х,. Приложив к силе притяжения тела Т телом Х составляющую ЭТ его притяжения телом Я и к силе притяжения тела Х телом Т вЂ” составляющую ЭХ его притяжения телом Я, получим попрежнему силы, направленные по прямой ТХ>, пропорциональные этой длине, но Предлоясенне зХ(г.
'аеорйма ХХг Несколько тел, притяьиваюшихся обратно пропорционально квадратам расстояний, моьут двизатьсл друз относгппельно друза по эллипсам, описывая радиусолш, проведенными к фокусу, площади, весь па близкие к пропорциональности времени. В предыдущем предложении показан тот случай, когда движение нескольких тел происходит точно по эллипсам.
Чем более закон действия снл отступает от указанного в том предложеяии, тем более воэмущаьотся телами их взаимные движения, н когда притпжевие обратно пропорпионольво квадрату расстояний, то тела ве могут вообпле в точности двигаться по элли- Ураввевиа движении точки жг будуи кзи =Ли(жз(лз — нд-г юз(нз нз)1 узо = Ле [ни (уз — уз) .+. юз (уз — уг)1 л и =йз (жз (вз — зг)-г-юз(зз — гз)1. На освовавия уравнений (1), их кожно записать так: т, - Лемлл=е (й) удг + Лемуг=е згч .+- Ло Млг = О, (3) где М = юг.+. жз-+- юз.
Из уравнений (3) следует, полагая Ле М = Лз: кг — — Сг соз Лс -и- Сз зш Лз уь —— Сз соз ЛЗ -г- Се зиг ЛС (в) лз = Сз соз Лз-е- Се эш ЛЛ где Сг, Сз, Сз, ... Се — постоянные произвольные, определяеиые начальвыкн условиаии отаосишквися к точке юг. Искзючеаие из шнх уравнений величин соз Лз и зш Ле дает уравнение вида акт .ч- Вуг -з- Слз — — О, (3) где Л, В, С суть соогвегствуаицие миноры определители У,С,С, . лС С Затем> вайда аз первых двух из уравнений (4) величины соз М и зш ЛЛ в составав сгину их ввазратов, получив (Се н — Сз угв ° (Сз к — Сг уз)з = (Сз Се — Сз Са)з (3) и то жа Ураввевия (б) и (6) показывают, гго точка жз движется по поегоянаову элюшсу, посто центр находится з начале координат и коего плоскость есть (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
