Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Следсгпвие. На основании такого же рассуждения можно доказать, что если тело, находящееся под действием сил, направленных к двум или нескагьким центрам, лежащим ва однов примой ОС, описывает какую-либо кривую 8Т, то площады1 ОР пропорциональна времеви. Предложение 1 г1. Задача ХХХЗгП допуская квадратуру криволинейных фигур, требуется найти траекторию, описнваемую телом по поверх«оськи вращения, когда оно пущено из заданного на ней места с данною скоростью по данному напра- — 215— влемию и коэда иа иею дейсиииуеяб мв вадаинолгу вакоку цепи(роспчремииэе.токая сила, иаиравлеииая к Меиизпи, леисаи(аиу иа в1вэ вращения.
Сохранив построения и обозначения предыдущего предложения, полов(вм, что тело Т (миг. 97) выходит из заданной точки 8 по направлению касательной к и<жомой траектории 8ТЯ, проекпия которой ва плоскости.ВОР есть АР. По известной скорости тела в расстоянии 8О наядется его скорость в любом расстоянви ТС.
В течение весьма малого постоянного промежутка времени тело пройдет с этою скоростью весьма малую длину ТЪ по своей траектории. Пусть Рр есть проекция длины Тб на плоскость злОР. Соедини Оп, и пусть эллипс Р() есть проекция на плоскость МОР кружочка, описанного из точки Т, как центра, радиусом Тб по поверхности. Так как величина и расстояние Тлтг или ОР этого кружочка от осн ОО известны, то и эллипс р9 будет известен по своему виду и величине, а также будет известно и положение прямой ОР.
'Гак как площадь РОр доласза бьггь пропорпиональна времеви и, следовательно, находится по заданному времени, то будет известен угол РОр, и следовательно, найдется точка р пересечения эллипса и прямой ОР, а также и угол Оуу, под которым проекпия траектории Иуэ пересекает прямую ОР. Отсюда (сообразуясь с предл. Х1Л и его след. 2) легко видеть способ определения кривой .»(у~у. Затем вз отдельных точек проекции восставляуотся перпевдикуляры, которые своим пересечением с поверхностью и дадут точки траектории."' Описанный в этом доказате»ьстве способ дэя приведения задачи к квадратурам равносилен теперешнему, но иээожен настозько своеобразно, что этого сразу не видно.
При наших тепгрешних обозначениях рассуждение Пью~она может быть изложено так. Ось вращения ОС принимаем ээ ось Я-ов, па»снесть, к ней перпендикулярную — за плоскость г В, прямую О 1 — за полярную ось. Тогда поверхность задается уравнением вида э =у(г) (1) где у(г) есть заданная пункция веременной «'= ОР. Но закону живых сиз будет "э = еоэ +. Р(р) где Р(р) есть известная оункцвя расстояния ст = р тела т до центра с; составзение такой пункции показано в предложении ХН Но полагая ОС= о, будет рэ = (э — о)э ч- гэ. Дзя точек, эежащих на данной поверхности э =у(г), р =уз(г), и Ф будет оувкцией только г, пусть (й) ет = ы (г) С другой стороны, по закону изощадей янэ= ои (3 где е — постоянная площадей.
Наконец, «отрезочек пути тг на поверхяости», при нашем обозначении, есть днооерепциаэ дуги Во траекторив, равный е Вэ. Еш проекция РР на пэоскости МОР есть Ррэ = бгз .+. гэ Вбэ — 216— ОТДЕЛ Х1 О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ, ВОЛИ%НО ПРИТЯГИВаЮЩИХСЯ НКНТРОСТРКИИТКЛЬНЫНИ СИЛДНИ До сих пор я излагал учение о движении тел, притягиваемых к неподвижному центру, каковое едва ли существует в природе. Притяжения всегда происходит к телам, и по третьему закону действия тел притягивающих и притягиваемых всегда взаимны и равны, поэтому, если тел два, то ни притягивающее, ни притягиваеиое не могут оставаться в покое, во по следствию 1»г законов оба, как бы притягиваясь к своему общему центру тяжести, будут обращаться около него. Коли же тел несколько, то, будучи притягиваемы одним какам-либо телом, и они его притягивают, если же, кроме того, все эти тела притягиваются взаииво, то они должны так двигаться друг относительно друга, что общий их центр тяжести или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.
По этой причине я перехожу теперь к изложеввю учения о движении тел, притягиваюшихсн взаимно, рассматривая центростремительную силу как притяжение, хотя следовало бы, если выражаться б изически, именовать ее более правильно напором. Но теперь мы занимаемся математикой и, оставляя в стороне еизические споры, будем пользоваться более обычным названием, чтобы быть пошпнее читателям математикам. значат Тсв = без = Лзз-е- Лгз-+- гв без = ( (ут (г)]2 -е- 1) Лев+- гз 462 =уз (е ) ° Лгв-е- О без, причем еувзцпя ув(г) будет кзвестза. таквм образом, ва оенаванвк равенства (4) Уз (г) »Ь 2 -+-2'2 402 = ю (г) Лж Это н есть «малевьнзэ эллипс» на плоскостк.404»; искать его пересеченве р с прямою Ор так, чтобы площадь РОр была нрепорцновальна времена,— зкачнт ксзлючкть нз уравкевна (Э) в (4) велвчвну Ф, к получится е2 Ув (г) Лгв -+- г2 бвз = ю (г) ° — ° ббв ге сз уз ( ) "гл = у~( ) — — г') ббз гч т.
е. поду*.ются выраженно вниз бэс р(г) бг н »квадратура» даст ураввенво проекнмн траекторвк ва плоскости ЛОГ. — 217— Предложение У гП. Теорема ХХ Два вэаимио притягиваюгаикся тела ояисивают и окаю своего обгаею иеитра тяжести и друг около друга подобиые траектории. Действительно, расстояния 'тел от их общего центра тяжести обратно пропорциональны вх массаи, следовательно, отношение этих расстояний постоянно, значит постоянно н отношение каждого из вих к полному расстоянию между телами.
Кроме того, эти расстояния обращаются около своего общего конца с одинаковым угловым движением, вследствие чего, не наклоняясь друг к другу, располагаются постоянно по одной прямой. Прямые же линии, отношение длин коих постопнво и которые поворачиваются около свовх концов ва равные углы, описывают вокруг этих концов ва плоскостях, находящихся с ними вместе в покое изи движущихся без вращения, подобные фигуры. Следовательно, аигуры, описанные сказанными расстояниями, подобны между собою.
Предложение 1 г111. 'аеорема ХХ1 Р'ели два гаева пригаягиваюпгся взаимно с какою бы пю пи би,го силою и поэпгому обрагааются около своего общею иеигкра тяжести, то я упгверждаю, чпю под дейся вием гвакой же жгли каждое гие.го можегк описивагпг вокруг дртого ггеподвижюпо фигуру, равную и подобиую гнем, копюрие оигг описиваива друг около друга.
Пусть тела Я и Р (аиг. 98) обращаются около своего общего центра тяжести С, идя от Я к Т и от Р к (е. Из произвольно взятой постоянной точки в проводим прямые вр и во, равные п параллельные ЯТ и лгй; кривая рос, описываемая точкою р прп ее обрашеннн, будет равна и подобна кривым, описываемым телами Яи Рдруг около друга, н вследствие этого подобна кривым ГХ и Ргсуг, описываемыгг этими телами около их общего центра тяжести С (вреда. ЫЧ1); это происходит потому, что отношения ЯС, СР, ЯР, вр друг к другу остаются постоянными. Случай л.
Центр тяжесги С системы, по следствию 1гг заковав, изи находится в покое, изн движется равномерно и прямолинейно. Положим сперва, что ов в покое. Вообрази, что в точках в и р помещены два тела, одно неподвижное в в н другое подвижное р, соответственно равные и подобные телам Я и Р. Пусть прямые РЛ и рг касаются кривых Рг„'» и ро в точках Р п р и прямые С9 и эо продолжены до встречи с ними соответ- — 218— ственно в В и и. По подобию ижгур СРВЯ и эрго будет ВЯ: т'й = СР: эр т.
е. отреэочки ВЧ и гд находятся в постоянном отношении. Поэтому, если бы та ускорительная сила,"' с которою тело Р притягивалось к телу Я, а следовательно, и к промежуточному центру С, находилась бы в этом же отношении к той ускорительной силе, с которою тело р притягивается к 8, то эти силы в равные, весьма малые, промежутки времеви отклонили бы тела Р и Р от касательных РВ и уг соответственно на величины ВЧ и го, пропорциональные силам, и следовательно, под действием такой силы тело р обращалось бы по кривойудп, подобной кривой РЯУ; по которой обращается тело Р под действием пропорциональной ев ускорительной силы, и времена обращений обоих тел были бы цри этом одинаковы.
Фиг. 98. Но так как эти силы не находятся в отвошевшт СР: жт, а в виду равенства и подобия тел 8 и Р телам Я и Р и равенства расстояний ВР и эр, и силы, действующие на тела р и Р, между собою равны, то в равные промеягутки времени оба эти тела будут отклоняться от касательных на равные величины, и поэтому, чтобы тело р откловилогь на бсльшую величину гй, необходимо и ббльшее время в отношении корней квадратных самих отклонений (лом. Х), ибо при самом начале движения пространства пропорпиовальны квадрату времени. Положив, что скорость тела р относится к скорости тела Р, как пз В тексте сказано просто «тжез» вЂ” «сизын, во так кап под зтни оконом здесь разуиеютс» те ускорения, которые тета Р и р под действием сиз позучзют, то н кобан«оно слово «ускорит езьныез, чтобы быть ближе к чексту, нежели заменив азово синь«. сзозамв «саобщаемые твоам ускорения«, как ато бы сзедовазо прн тенерещвей териивозогии. — 219— т.
е. как времена, которые находятся в этом же отношении, получим описанные дугин и Рф пропорциовальвые самим расстояниям зр и СР. Таким образом тела Р и р, притягиваемые равными силаии, описывают около веподвижвых центров С и з подобные эигуры Г~Г и рос, причем последняя подобна и равна аигуре, описываемой телом Р вокруг ш движкого тела Я. Случай Р. Положим теперь, что цевтр тяжести С системы тел перемещается раввомерво и пркмошвейзо вместе с тем простравством, в кшором тела движутся; тогда (след. У1 законов) все движения в таком простравстве будут происходить так же, как и раньше, следователько тела будут описывать друг около друга такие же кривые, как и раньше, и звачит, эти авгуры будут равны и подобны эигуре рбо.
Следсгквие У. Два тела, притягивающиеся пропорциовальво расстоянию, описывают (вредя. Х) около цевтра тяжести системы и друг около друга одвоцевтреввые эллипсы, и обратно: если телами описываются такие кривые, то силы пропорциональны расстоянию. Следствие 2. Два тела, притягизающиеся с силою, обратно пропорпиовалькою квадрату расстояния между ними, описывают (Х1, ХП, ХП1> и около общего центра тяжести системы и друг около друга конические сечевик, имеющие своим искусом ту точку, около которой кривая описывается, и обратно: если телами описываются такие кривые, то силы обратно пропорциовальиы квадратам расстояввй. Следствие 3. Дза', тела, обрэщаюшиеся (под действием какой угодно силы) около общего центра тяжести, описывают радиусами, проведевиыми как к этому цевтру, так и друг к другу, площади, пропорциональные временам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
