Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 44
Текст из файла (страница 44)
11усть ыить РТ пересекает пиклопду ОЛ8 в 7', круг г~ОВ в Г; проведи СГ, и из крайвпх точек Р и Т правой части вити восставь перпевдикуляры ВР в ТЕГ, ььересекающие СР в точках Т и еГ. Из построевия и одинакового образованы кривых АВ и ЯЛ следует, что эти перпеыдику.тры отрезают от СГдлиыы ГВ п ГЮ; равные диаметрам колес ОА и ОЛ. Поэтоиу ТР: ГР = В И': В Г = (АО -+- ОЛ): АО = (АС -+- СО): АС = 2СВ: СВ, ибо СА: СО = СО: СЛ = А О: ОЛ. 1 Но так как 1еР есть удвоенный синус угла ГВР при радиусе — ВГ' 2 то по следствию 1 пред,южеыия Х11Х длина прямолпвейыой части вити равна длине дуги РВ циклоиды, вся же;ьлиыа вити равна длине дуги АЕ5, т.
е. длине АЛ (прела. Х11Х, след. 2). Поэтому, если длина нити остается постоявыо равной АЛ, то точка Т буде"г двигаться по задаиыой пикдоиде ьдЛХ Следсиюие. Ннт>, АВ равна двине полуцыклонды АБ н, следовательно, так относятся к полуднаметру АС наружного шара, как длина подобной ей полуцыклонды И~ к полуднаметру СО внутреннего шара. Предложение 1Л. 'леореиа ХггШ Жели иеигиуостуемииюлэиая сила иовсюду иаиуаелеиа к иеитур аауа С и иуоиорииоиальиа уасстояиию до иеипгуа, тело же 'находится Фяа эз.
иод дейсииием иголгко зиюй силы и колеблется (как описано вживе) ио дуге ииклоиди фВЯ, ию время каждою ею уазмаха одио и ию же и ие заеисииг ога величина уаз маха. На касательную ТНг (Фиг. 92) к цнклоиде опусти перпендикуляр СХ в вообрази прямую СТ. Пептростремвтельыая сила, действующая на тело Т, которая пропорпноыальна расстояшпо СТ ы направлена по этой прямой, разлагается (след. 11 закоыов) ва силы, направленные по СХ в ТХ. Первая ыз этих сил, как направленная прямо по нити РТ, лишь ватягввает эту нить м вполне уннчтожается ее сопротивлением, не производя более вика- ного действия.
Вторая же сила ТХ, действующая на тело по касательыой к циклоиде в сторону к Х, ускоряет движение тела по атой крввой. Очевидно, что ускорение (приращение скорости)'ш тела в продолжение квв|дого отдельного, весьма малого, промежутка времени будет пропорционально этой угкоряю|цей силе, т. е. длине ТХ. Но так как ТХ: ТИ"=- И'ьт: СК; последнее же отношение постоянное, ибо Сзт и И"Ут заданы, то сказаниан гиля пропорциональна ТИ , т.
е. пропорциональна(пред!. Х?ЛХ, след. д)длине дуга ТЯпиклоиды. Следовательно, для двух маятников АРТи Арь, отклоненных от отвеса на различные величины и пуп|енных одновременно, приращения скорости будут постоянно пропорш|ональны дугам ТЯ и «Я, которые ив остаетсн описать до вершины Я цикловды. Но весьма малые пути, описанные в тот же, весьма мальш, промежуток времени при самом начале дни;кения, пропорциональны приращениям скорости за этот промежуток врсменк, т. е. пропорциональны полным начальным отклонениям маятников от вершины Я, поэтому и остающиеся по прошествии этого промежутка отклонения будут пропорциональны начальньн|.
Приращении скорости в теченно второ|о такого же пронек|утка времени, пропорциональные этим оп|лонениям, т. е. остающимся до вершины дугам, будут, следовательно, пропорциональны начальным дугам, значит и пути, пройденные в продолжение второго промежутка времени, и оста|ощиеся после того дуги будут пропорциональны начальным отклонениям и т. д. во все время движения. Итак, прпра|цения скорости в отдельные, весьма малые, равные между собою промежутки времени, а следовательно, и самая скорость, из этих приращений обрэзуемая, а также и длины пути как пройденные зя все рассматриваемое время, так и остающиеся до вершины Я циклоиды, относятся друг к другу, как начальные отклонения. Поэтому остающиеся дуги, как находящиеся в постоянном отношении, исчезают одновременно, т. е.
оба маятника одновременно проходят через отвесную линию АЯ. Кслн движение обратить, то восхождение маятников по той же дуге цнклоиды от низшего их поло!кеняя Я будет в тех же самых местах замедляться теми же самыми снламн, которыми их нисхождение ускорялось; ясно поэтому, что скорости зш Здесь слово «ассе1етаяо» употреблено так, что его кожно было бы перевестн и словом <ускорение» в его теперешнем значении, именно сказано: «шапие«|шв е«! Чпоб с«ерш!« ассе!стано, Ьшс М ассе1ета|пс! рторотяопанз, зв зпц|п!Ь «пошецп«п! 1«цбнпбо ТХ»..., т, е.
«очевидно, что ускорение тела, пропорцнонзльное втой ускоряющей силе, будет н отдельные моменты пршорциовальво длине ТХ». Но нз конца доказательства видна, что и зде~ь, как и везде в Начззад», слову «ассе!етаяо» придавалось значение в приращение скорости, е слову шюшеп|пш» — ие иокент, а весьма малый промежуток времени. — 207— как ннсходящего, так и восходящего двнження, прн тех же отстояняпх от вершины, для каждого маятвнка равны, значвт равны и продолжнтельности этих двнженнп; а так как обе чаете цнкловды ВЯ н Вгд, расположенные по обе стороны от отвеса, подобны н равны, то оба маятннка будут совершать как свои полные, так и половинные размахи в одинаковое время.
Следствие. Сила, ускоряю- гА щая в каком-либо месте Т тело прн его двкженнн по цмклонде, так относится к полному весу'®' этого тела в верхнем его положении 8 нлн О, как дуга цнклояды ТВ к ее полной длине ЯВ нлн геВ. Иредложенпе 1лП. Задача ХХХ1 т" Ояреде.гипса скорости маяпы иггквв в каждом месте и времеиа как молиых размахов, так и частей их. Прокзвольною точкою 6 (Фнг. 93), как центром, и раднусом ОН, равным длнне дуги В8 цнклоцды, опиши полукруг, разделяемый радиусом ОК пополам, Фиат Зэ. и пусть к центру 6 прктягнвает такая центростремнтельная сила, пропорцнональная расстоянню от центра, которая на периметре НУК равна силе, действующей на поверхностн шара ОБ по направлению к его центру.
Пусть одновременно с тем как мантннк Т пускается нз верхнего своего положеннз К другое тело Т падает яз Н в 6. Так как действующне на маятянк в на тело 1 снлы пропорцнональны отклоненная ТВ и ВО н в начале равны, то когда ТВ и ВО равны, м снлы в местах Т н В равны. Отсюда следует, чго оба тела пройдут в одинаковое время после начала двнження одннаковыо длины ВТ н Н1; находясь постоянно н в дальнейшем под действнем равных снл, онм все время будут двнгаться одвнаково, опясывяя равной длины пути.
гое З Здесь иоа сленои <нес тела> рааунеетсн та сила, с которою оно иритнгиааетсн к центру П. — 208— Вследствие этого (вреду. ХХХтУлП1) время, в продолжение которого маятник опишет дугу 8Т, так относится ко времени полного его размаха, как дуга НУ, пропорциональная времени, в продолжение коего тело Н переходит в Ь, относится к полуокружности 1ЖЛ; которая пропорциональна времени перехода тела из Н в М.
'л'очно так же скорость маятника в точке Т так относится к его скороств в низшей точке Н (иначе — скорость тела Н в точке л. относится к его скорошп в точке О, т. е. весьма малое приращение длины Нл. к весьма малому приращению длины НО, причем оба ови соответствуют одинаковым весьма малым приращениям дуг НУ и Нль', возрастающих равномерно), как ордивата л у к радиусу ОК, т. е. как ~(В.Р»т — 7Р: НН. Но так как при каких угодно размахах в равные времена описываются дуги, пропорциональные полной величине размахов, то, яа основании приведенного выше при заданном времени, найдутся скорости и описанные луги при какой угодно величине размахов.
Зто и требовалось прежде всего определить. Положим теперь, что маятники колеблются по различным циклоидам, описанным около различных шаров, причем абсолютная сила центров также различная; тогда, если обозначить через Уг — абсолютную силу"' которогонвбудь из шаров ДО«ч, то ускоряющая сила, действующая на маятяик ва поверхности этого шара, направленная к его центру, будет пропорциональна расстоянию СО тела до центра и абсолютной силе шара лг, т. е. произведению тг СО. Поэтому отрезочек НУ, описываемый в продолжение постоянного промежутка времени под действием ускорительной силы Р" СО, будет пропорционален этой силе, в если восставить перпендикуляр ХУ, пересекающий окружность в Я, то НЕ представит этот заданный промежуток времени. Но весьма малая дуга НЕ пропорциональна тлОН НУ; т. е. »ок со.х Яп Это есть чуть ля ве едккствеввое места в «Началах», где вводктся в вычвслевве абсолют вая сила центра, т.
е. велкчвва аяалогкчвая величине Пт в теперешеек оормуле у»= пт г, когда хотя~ написать кыражевяе силы, пропорцковельвай расстоянию г. Обык ковеяво Ньютон обходмл введеяке этого мяожвтеля тем, что сраввпвтл ресоматркваемую свау с такою, под дев«таком которой тело описывало бы рлвяомервым дввжеямем около аадавваго цевтра круг даввого рлхвуса в клвествое время. — 209— поэтому время полного размаха по цзклоиде 9В8 (так как оно пропорционэльво солуокружности НКМ, представлшощей это время, и обратно пропорционально НЕ, представляющей постоянный промежуток) будет прямо пропорционально НН и обратно пропорционально или по равенству ОН и 8В оно пропорционально или (предл. Ь) Таким образом времена качаний маятников по любым цкклоидам и для любых шаров, с какими угодно абсолютяыяи притягательными силами, прямо пропорциональны корням квадратным вз длин нитей подвеса и обратно пропорциональны корням квадратным расстояний точек подвеса до центров шаров и их абсолютной силе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
