Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Се«дсьчпие У. Поэтому, если одно тело качается, будучи подвешено на нити или же вынуждается каким-нибудь совершевво гладким и скользким препятствием двигаться по кривой линии, другое же тело движется свободво, приближаясь или удалвясь от центра по прямой линии, и скорости обоих тел в каком-либо одинаковом расстоявии вх от цевтра равны, то эти скорости останутся между собою равными и ва любых равных расстоявиях. Ибо натяжение вити или упор абсолютно скользкого препятствия оказывает то же самое действие, как и поперечная слагающая сила ХТ вЂ” тело от этого действия ке ускоряется и ве замедляется, а лишь побуждается уклоняться от прямолинейного пути.
Следсвмпас 2. Пусть Р есть наибольшее расстоявие от центра, ва которое может удаляться качающееся или обращающееся по какой-либо траектории тело, если бы его в какой-либо ее точке подбросить прямо от цевтра Ое В тексте «Начал» везде приращения скорости иаеываются арскореяияи⻠— «ассе!его!го», яо чтосы точво передать смысл, пришлось слово «рек«репке», как имеющее теперь еояерщевво ивов ока«виве, оакевпть севремеииьа червивом «прирычевке споростя».
— 177— с тою скоростью, которою ово в этой точке обладает; пусть л$ есть расстояиие какой-либо другой точки орбиты, и пусть цевтростремятельвая сила пропорциональна какой-либо степеки л(и ', коей цоказатель и — 1 есть любое числом, умевыпеввое иа 1, тогда при всяком расстоявии А скорость тела будет пропорциовальва 1/Р' — А", т. е. известив, ибо скорость прямоливейного движевия к цевтру или от центра пропорциоиальиа этой величиве, как показано в предложении ХХХ1Х." Предложение ХЫ. Задача ХХУ1П Лредполаэая меитростремительмую силу какою у.одно и допуская квадратуру «рмоыа, требуепася найти как траекгяорию, по которой фдеиь доиэаться тело, тагг и закон еэо доиокеяия по пайдекыой траектории.
Пусть какая-либо сила иаправлеиа к центру С (аиг. 84) и требуется найти траекторию ЬгУКй. Точкою С, как центром, и вачалькым радиусов Сгг описывается круг ВР, тем же центром и двумя какими-либо провзвольиыми радиусами .1Р и КЕ описываются круги, пересекающие траекторию в точках ,У и К, прямую же Сь' в точках Р и Е. Проведи прямую СЛУХ, пересекающую круги КЕ, %'В в хьг и Х, а также прямую СКХ; пересекающую круг ВУ' в У. Пусть точки г и К весьма близки друг к другу, и пусть тело переходит из Р" через У и К в й. Возьмем точку А так, что если тело яачало бы из вее падать к центру, то придя в Л, оио обладалобы такоюже скоростью, какою обладает движущееся по орбите тело в У.
Сохравяя обозвачевия предложения ХХХ1Х, получим, что отрезочек УК, проходимый' в продолжевие постояввого, весьма малого, промежутка времеви, пропорционален скорости, а следовательно, стороне квадрата, раввомервого с площадью АВАР. Площадь треугольвика,УСК пропорциовальва тому же промежутку эз В этой теореме эахои жээых сзэ распространен эа любое дэиясеиме тд действием цеитраэьяоб силы, и э сэедстэпе 2 дается и ыгебраичесэое эыражеиие этого закона дэя случал притяжеиия, пропорцэоиаэьиого (я — 1'гоэ степеии расстояния, причем и тжет быть какое усодэо. В самом деле, при соээеиеииых обозиачеяиях, змее» ез = — — — гя.о.
Ь З(гз и где Ь вЂ” произэоаьиая постояяэая. Ньютоя ее опредатяет из условия, что при расстояяия г = го стрость с = О, значит бт ет яп ее= -- (го — г й и /э яэи, делая премятые э теэсте обозэачения го —— Р, г = А и замечая, что — р есть постояия иыь эоэооициеят, позучии, что скорость о пропорциояэяьиа эС~ — Ли. — 178— времени, следовательно,КХобратно пропорционально расстоянию СУ, т.
е. если взять какую-либо постоянную величину 9 и обозначить длину СУчерез А, то КУ будет пропорционально — Обозначим это количество через Я и поА ложпм, что величина Я выбрана так, что при каком-нибудь одном положении тела 1/АВ.ЬЪ: Я =,УК: КУ тогда н прп всяком его положении будет у'АВГЭ: Е =,УК: КК и значит, АВАР: Яа = УКа: К№ 7АВКЭ вЂ” г~: Х' =,У№: К№ отсюда следовательно 1/АВУгЭ вЂ” Я': Е = .УУ: КУ и так как то будет А КХ= == Д,УЖ т~АВс'Э вЂ” Е~ Но так как УХ ХС: А ° КУ= СХ'. А' УХ ХС= Д,УЧ7 СХ'-' А'-' ггА ВУ"Э вЂ” 2з <У СХ' 2Аа КАВУсЭ вЂ” Яч и провести кривые аЬ и ас, на которых постоянно лежат точки Ь н с, затем из точки Г восставить к прямой АС перпендикуляр Уа, ограпичнваэхций криволинейные плопдади УЭЬа, УРса, и провести ордпнаты Ел и Кх, то так как ЭЬ УУУ Эсг ж 2 А КУ УКС Эс.
ЛБ= Рехой= — УХ ° ХС= ХСУ 2 Следовательно, если по перпендикуляру ЭК откладывать длины ЭЬ и Эс, соответственно равные Д я чтлу — ~ — 179— т. е. что оссконечно малые приращение пдощадей )гЗЬа и )гУС, а именно ЗЬгЬ' и,ТСК, и приращения площадей агЗса и )гСХ, а именно ЗстЖ и ХСУ, соответственно разны, то и самые зти плон(ади равны, т. е будет; УгЗЬа = ггУС и угЗса = РСХ а так как ндощадь )гУС пропорцнонадьна времени, то и )гЗЬа будет пропорциональна времени. Следонатедьво, если задать время, протекшее после провождения тела через точку и, то будет известна и пропорциональиап Фиг. 84.
ему площадь ГЗЬа, следовательно найдется расстояние СЗ или СУ тела до центра, а также и площадь ГЗса иди равиьш ей сектор УгСХ, или, что то же, соответствующий ему угол ггСУ. Когда же известны угол )гСУ и расстояние СУ, то известно и место у, в котором тело находится в рассматриваемый момент времени.ы Зс В атой задаче дается общий способ определеиия движения тела под действием яеятрзльиой силы, причем втот способ лишь с ввешвей стороиы и обозвачевиимя отличается от теперешяего.
В самом деле, будем пользоваться обычвыми теперь обозиачеииями; пусть СУ= г и угол ЛАу= 0, вачзльяое расстояние Оу= ге и иачальиая сиорость тш притягвтельиая сила р.зд(г), тогда по залому живых сил будет з= оз й)ьз ~У(г)б. (4) — 180— Слсдсизбме 2. На основании вышеизложенного можно находить весыиа просто наибольшие и наименьшие удаления тела от центра, т. е. вершины (апсиды) его орбвты. В самом деле, вершины суть те точки, в которых проходящая через центр прямая нормальна к траектории Г7К, а зто будет там, где прямые УК и ХУ между собою равны, следовательно, там где площадь л(ВР?) равна Яз. Следсжсме 2.
Легко находится также и угол ЛУЖ, под которым траектория пересекается в любом месте с прямою,УС, по известному расстоянию,уС, стоит только взять синус зтого угла равным отношению К(ч к Л?; т. е. отношешпо Я к стороне квадрата, равномерного с площадью ЛВУХ). Ныочпв берет рассгоявве СЛ = а так, чтобы было сот=зал ) у'(г]бг, в поатопу будет се=вдз ~у(г) Лг=ш(г) а т е, ез вропорявовальво площздв .бил. С другоз сторояы, по закову площщей будет гз бб = обо (з) ° ля гбб= — ° св с (з') г во зеавчвва гие = )Гвг, я следозательв, равенство и = у прв ваювк обозвачевяял, рчвяо- () сальво равевству св с г — = — =ж оз Пря тепереюввк обозвачепвял пишут д без = бгз.+.
~е ббз = ш (г) Дзе в, исключая бз, ва осповаввя равевства (3), выражающего заков площадей, получают сз бгз г сзч — = ~ ш (г) — — ~ Лбз гс — '( ы~ огвуда зч сз ш (г) —— гз в пюеп гз бб = обе = сбг сз ш (г) —— гз т. е (б) си= ш(г) —— сз гз Слсдсзвв)46 3. Если, привяв точку С (юиг. 8б) за цевтр и точку У'за главвую вершвву, описать какое-либо ковическое сечевие вВЯ и в какой- либо его точке В провести к веку касательвую, пересекаккцую продолжевие оси в точке Т, и, соедииив СВ, провести прямую СР так, чтобы было СР= СТ и чтобы угол йСР был пропорционален сектору угСВ, то если к цевтру ваправлева сила, обратно пропорциовальвая кубу расстояний, и тело выходит вз точки у со скоростью, ваправлеввой по прямой перпевдикуляркой СР; то это тело будет двигаться по траектории у'РД, представляюп(ей геометрическое место точек Р.
Поэтому, если ковическое сечеиие — гипербола, то тело приближаетси к центру, если — эллипс, то удаляется и уходит в бесковечиость. Наоборот, если тело выходит иэ точки )г с какою бы то ви было скоростью, то сообразно тому, начинает ли ово вавскосок удаляться от цевтра, или приближаться к цевтру, эигура ИЫ будет или эллипс, или гипербола, и траектория может быть найдена увеличивая вли умевьшая угол ГСР в векотором задаввом отношении. При изменении силы из цевтростремительвой в центробежную, тело будет косвевио удаляться от цевтра по траектории зги, которая получится беря угол )гСР пропорциоиальво эллиптическому Равенство (4) н напитано у Ньютона так: ХТ ХСяк Лз бявуР— яз (6) В савом деле, ХХ=ХС 46, Лик Иг, ()=е, — '=Я г АВУР=зра ~ ДГ)бт=ез(Г); ясно, что оормулы (4) я (6) отлячаютея лвшь обозначениями. Вмеою оормулы (б) Ньютон берет оормулу — збогв — еж= ебг (т) 2 2 / ез 2~/ ш(г) —— гз выражанюьую пропорциональность площади сеньора )ГУС времеви.
Понятяо, что знака явтегрвлов у Ньнп она заменены площздямв соответотвующих кривых. — 182— сектору РЗС, длину же СР равною длине СТ, как и равьше. Все это следует иа предыдущего предложевии и может быть найдено при помощи квадра- туры некоторой кривои; ету квадратуру, в виду достаточной ее легкости, и длп краткости опускаю." 22 Так как п атом случае будет /1 11 ю (г) = + 1221 — — — 11 '(гз аУ' (-') ) „2 г ' Щ2' приведенной в примечании 42. 1 Полагая — = и и обозначая кожзвициент притяжения через р.з, буден иметь уравнение г ш и .+. с2 зп = р.2 е иначе сз — ВЗ пн -в — а = о Ф откуда следует: Сх соз ил ч- Сз зшпо, если сз — вз ш О и с2 — из = из сз С еж.+.С с-Лб з сз — Взже и рд — ст=йзез, с=в г (2) причем постоянные произвольные определяются по вачзльныи условвлм, в подробное рассиозрение чего входить ие будем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
