Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Задача ХХ Провеспги «оиическое сечение заданною вида и величины кгак, чигобы заданныв его части заключались бы между игремя даниыми ио иозожеггию иуямыми. Пусть требуетсн построить кривую, равную и подобную данной ЭЕР, так, чтобы тремя заданными прнмыми АВ, АС, ВС она рассекалась бьг на части, равные и подобные заданным ЗЕ и ЕР (онг. 63). Проведи прямые ЭТ, ЕР, ЭР и построй треугом пик, равный и подобный ЭЕР', так, чтобы его вершины лежали соответственно на прямых — 146— АЗ, АС, ВС, что выполняется по лемме ХХЧ1, затем опиши около этого треугольника заданную кривуго.
Уйечма ХХЧ11 Лостроить четыреауыгльнин ваданиюио вида тан, чтобы ею вершины лежали соответственно иа четырех заданных ирямыя, иогиорые ие глводятся в одну ггючиу и не все между собою параллельны. Пусть четыре прямые АЗС, АЭ, ВЭ, СВ (миг. 64) заданы по пагоженвю, и пусть первая из нвх пересекает вторую в А, третью в В, четвертую в С; требуется построить четырехугольник Ууйг', подобньш РОНУ, тзк, Фча ЕЗ, чтобы вершина угла У, равного Р, леягала ва прямой АЗС, три же остальные вершины углов у, Ь, г', равных углам 6, Н, .У, .тежали бы соответственно на прямых АЭ, ВЭ, СЕ.
Соедини РЫ и опиши на РО, РУУ, РУ сегменты Р8О, Х'1УУ, РКУ, которые вмещают углы, соответственно равные углам ЛАЭ, СВЭ и АСЕ, образуемым заданными прямыми. Эти сегменты надо описывать с той стороны прямых Р6, РЫ, РУ, чтобы буквы РЯОР, РТЫР, РКУР шли соответственно в той же последовательности, как ВАЭВ, СВЭС, АСЕА. Сегменты дополняются до полных кругов; пусть Р есть центр первого круга Р8О и ге — второго РлН. Проведя и продолжив в обе стороны прямую В~1, возьми на ней геВ так, чтобы было 9В: Рге = ЗС: АВ, причем гЕВ надо откладывать в такую сторону от 41, чтобы порядок букв Р, ге, В был одинаков с порядком букв .4ЗС.
Центром В и радиусом ВР описывается четвертый круг Рлчс, пересекаппций третий РрУ в точке с. Соедини Рс, пересекающую первый круг в а, второйв Ь, проведи аО, ЬН, с,У, тогда можно построить фигуру АЗСУуйг', подобную аигуре айсРОНУ; четырехугольник Удйг' и будет требуемый. Пусть первые два круга РЯ6, РТН пересекаются в К; соедини РК, фК, ЛК, аК, ЬК, сК в продолжи ЧР до Ь. Углы ГаХ, РЬК, РсК, имеющие свои вершины на окружностях, равны воловинам центральных углов РРХ, В<~К, РЛХ, следовательно онк равны углам ВРК, ВЯК, ЬЛК, и авгура РЯЛК равноугольва и подобна еигуре айсК, поэтому аЬ:Ьс = Р9: ЯЛ=АВ:ВС Фиг.
са кроме того, по построенкю углы Раб, РЬН, Рс,у соответственно равны уАд, УВЬ, УСй. Следовательно, по еигуре айсГСНУ может быть закончена подобная ей авгура АВСудйг', после чего и получвтси четырехугольник Удйэ', подобвыи , р " РГ'НУ асположевный так что его вершины лежат на четырех заданных прямых АВС, АЭ, ВЭ, СЕ Следсшвмс. Пользуясь этим построением, можно вровеств правую таь, что ее отрезки, заключающиеся в определенном порядке между четырьмя эад анными прямыми будут находиться в данном друг к другу отношевви.
П усть углы .И"Н, СНУ увеличиваются до тех пор, пока прямые РС, НУ составят продолжение одна другой; выполнив описанное выше построение для этого случая, получим такую прямую Удйэ, часта которов ~у, дЬ„ЬЬ вЂ” 148— заключенные между заданными по положению прямыми АВ н АЭ, АЭ и ВЭ, ВЭ и СЛ, будут относиться друг к другу, как длины РБ, ОН, Ну, и будут сохранять ту же самую последовательность.
Но зта задача может быть решена проще следующяя образом: продолжи АВ до К и ВЭ до Х (Фиг. 65) так, чтобы было ВК:АВ= НУ: ОН и ЭЬ: ВЭ = ЯТ:РС, и проведи КЬ, пересекающую СЖ в 1. Фиг. 66. Продолжи 6Х, до М так, чтобы было и проведи М(~, параллельную ХВ и пересекающую АЭ ад, затем дз, пересекающую АВ и ВЭ в Ги Ь. Прямая дг и есть искомая. Пусть Мд пересекает прямую АВ в ч, и АЭ вересеьает прямую КХ в 8, прямая же АР проведена параллельно ВР и пересекает 6Е в Р, тогда будет дМ: ХЬ = д1: Ы =. Мз: ХА = 67: Ш = АК: ВК = АР: ВХ. Пусть ЭХ рассекается точкою Л так, что отношение ЭТ.: Вй равно предыдущим; тогда будет ЭХ" ВХ = д8: дМ = АЯ: АР = Э$: ЭХ = АР: ВХ вЂ” 149— я следовательно, будет дВ: У,Ь = АЯ: ВВ = ЭЯ: ЛХ, откуда следует УВУ вЂ” ЛУ): УУЬ вЂ” ВУ) = (А8 — Э8): М вЂ” АВ), т.
е. ВЛ: ЛЬ = АЭ: Ад = ВЭ: Я вместе с тем ВЛ: ЛЭ = ЛЬ: Я = УУ: Уд По по построению ливия ВЛ разделялась точками Э и Л э тон же отно- шении, как длина РУ точками 0 и Н, так что ВЛ: ЛЭ,= РН: РН УЬ . гд — РЛ' дт: Ьь = Мь': Ул = ЯУ: НУ следовательно, и и так как Рут:л)л = РН; НУ, и пронести ГУ параллельно ВЭ. Та же прямая получится, сели из пентра ь радиусом УН описать круг, пересекающий ВЭ и Х, и продолжитыХ до У так, чтобы было т У вЂ”,УР и провести УУ параллельно ВЭ. другие решения этой задачи дали Вренн и уоллис.
Предложение ХХ1Х. Задача ХХ1 Нровести коническое сечение данною вида, которое рассекалось би четырьмя ваданнами прямыми на части, ваданньсе по последовате,сьности располоясениц виду и пропорции. Пусть требуется построить коническое сечение, которое было бы подобно данному РОНУ (онг. 66) и которого части были бы подобны и пропорциональны частям Р6, СН, НУ и располагались бы э том же порядке ж Построение, данное тттепп'ои, приведено в моей статье: севределенне орбит планет и комет по малому числу наблюдений».
(Иав. Мореи. Лиадт внп. 11 там же дано весьма проетое аналитическое решение атой задачи. то линии РУ и Уь' рассекаются точками 0 и Н, д и Ь подобным образом. При ньшолнении построения азой задачи, после того «ак будет проэедена прямая ЛК, пересекающая СРл э ь, следует продолжить ьР до Уг так, чтобы было — 150— между задэввыми прямыми АВ и АЗ, АЗ и ВЗ, ВЗ и СЕ. После проведения прямых Г6, 6Н, Ш и ГХ построй (лем.
ХХ 'П) четырехугольвик ~уйг, подобный ГСХНХ, так, чтобы его вершины лежали ва зэдаввых прямых АВ, АЗ, ВЗ, СЕ в указанном порядке, и около этого четырехугольника опиши коническое сечение, подобное данному. Ово и будет требуемое. Фиа 66. ПОУЧЕНИЕ Построение этой задачи может быть вьшолвево и следующим образом: после проведения Г6, 6Н, Ш, ГХ(еиг. 67), продолжи 6Г в сторону Р; проведи ГН,,Х6 и построй угол САК= ГСН и ЗАХ = УГН. Пусть прямые АК и АХ пересекают прямую ВЗ в К в Хо проведи КМ и Х.гч так, чтобы угол АКМ равнялся 6Ш и угол АХН равнялся ГШ и чтобы было КМ:АК=НХ: 6Н и Х,Н:АХ =Н,Т:ГН. Прямые АК, КМ, АХ, Х.У проводятся в такую сторону от ливий АЗ, АК, АХ,, чтобы буквы САКМС, АХКА, ЗАХ,НЗ следовали бы в той же круговой последовательности, как буквы Г6ШГ.
Прямая МЖ, проходящая через МиН, пересекает прямую СГ в г. Построй угол гЕР, резвый,76Г, и возьми РЕ так, чтобы было РЕ: Ег = Г6: 6 Х. Через точку Р проведи РЩ составляющую с прямой АЗЕ угол РЯЕ, равный ГХ6, и пересекающую прямую АВ в 1'. Соедиви 11, при этом РЕ и РД надо проводить в такую сторону от прямых СЕ и РЕ, чтобы круговая — 151— последовательность букв РЕгР и РЕОР была одинаковой с последовательностью РОНУЕ Если на прямой ~г построить, соблюдая последовательность букв, четырехугольник ~д1гг', подобный У'6НУ, и описать кривую, подобную данной, то задача и будет решена. Однако достаточно об определеник орбит.
Остается показать, каким образом определяется движение по найденным орбитам. ОТДЕЛ У1 ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИИ НО ЗАДаННЫИ ОРВИТДИ Предложение ХХХ. Задача ХХП Определить место тела, двмжйнгегося но заданной параболмческой траенторнм в данный момпип времснн. Пусть Š— Фокус, А (Фиг. 68)— главная вершина параболы, и пусть про- Фгп 88. изведение 4А8 М равно пхощади Ас5, описанной радиусом $Р после прохождения тела через вершину, или же той площади, которую ему предстоит описать для достижения вершины.
Величина этой площади определяется по времени, коему она пропорциональна. Раздели А8 в точке 6 пополам к восстань пернендвкуляр 6Н, равный ЗМ, центром Н и радиусом НЯ опиши круг, пересекающий параболу в точке Р, эта точка и есть искомое место тела. Ибо, если на ось опустить перпендикуляр РО и провести РН, то будет РН' = А 6*-г- 6Нз = (АΠ— А6)з -г- (РΠ— 6Н)' = = АОг -г- РОа — 2АО ° А6 — 26Н РО-г- А6'-+- 6Нз. — 152— Отсюда 26Н РО=АОв-+-РОв — 2АО АО=АО'-+- — РО'. з 4 РО' Вместо АО' напиши АО ° —; тогда, разделив на ЗРО и умножав на 2А8, получишь — ОН АЯ= —,АО- РО-с- — АЯ РО= 4 1 1 3 6 2 40-о-зАН РО= 4АΠ— зЯО РО— з е = площ.
(АРΠ— 8РО) = нлощ. АУВ. Но следовательно Зсй ОН=в 4А8 следовательно ГН ясса А З 4Аоа Но ялощадь ~Я1?= сао = — Ап ЗН = — Аят. Э 4 3 Отсюда следует НН со зе Скорость точки Н равна НН Ю 4АН во эс = оо ° Ан, в точке А следовательно ДН 3 — — — е с, е о. где ео есть скорость тела — ОН А8=4АЯ М з т. е.
отсеченная площадь и есть как раз требуемая. Следствие 1. Отношение ОН к АЯ равно отяошензю промежутка времеви, в течение которого тело описало дугу АР, к промежутку времени, в течение которого опо описывало дугу АК, заключенную между вершиною 4 и перпендикуляром к оси, проведенньи через фокус,ю Следствие 2. Если постоянно проводить круг АЯР, проходящий через движущееся тело Р, то скорость точки Н так относится к скорости тела при прохождении через вершину 4, как 3 к 8, и следовательно, в этом же отношении находится длина ОН к той длине, которую тело за время своего движения от А к Р могло бы пройти, двигаясь равномерно" с тою скоростью, которую ово имело в вершине А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
