Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Коли затем вращать сказанный угол и дуч СР или СВ так, чтобы вторая сторона угла пересекалась с зтнм йучен на прямой ЛХлт', то пересечение первой его стороны с зтим лучом и будет давать точку Э, описывающую требуемую кривую. Ибо, екдн прн построении предыдущей задачи точка .4, приближаясь, достигнет В, то линии С.4 и СВ совпадут, и предезьюмь положение -4В п бу- '1'нг бе. Фиг. 6Ь дет касато уьною ВН, и данное выше общее построение обратится в указанное здесь.
Пересечение стороны ВНс йучем опишет поэтому коническое сечение, проходящее через точки С, Л, Р и касающееся пряной ВН в точке В. Случай 2. Пусть заданы четыре точки В, С, У, Р(Фиг. 52), йежащке вне касательной НУ. Проведи прямые ВВ и СР, пересекаюп1иеся в С и пересекающие касательную в Ни,У. Пусть точка 4 разделяет касательвую так, что Н4:,14 = р'СС НР ргВН НЭ: тЪО. СВ. 1Ру .уС тогда точка.4 будет точкою касания. Ибо, если прямая НХ, параллельная РУ, пересекает кривую в точках Х и Х, то по свойству конических сечений точка касания 4 будет так расположена, что" Н.4и: А,Ув = ~ХН НУ: ВН. НВ) ° ~ВН НВ; РУ,ТС), та Это свойство доказано в примечании б7. Стоит только вообразитгт что одна из осей касается крнной, то оба корня станут равными, и произведение отрезков секущей замеиитгв квадратом длины «асатгльной. во отношение ХН НУ: ВН НВ = С6 6Р: Р6 ° 6В.
После того как точка касания найдена, кривая может быть построена как показано в случае 1. Точку А можно брать или между точками Н н,Т, вли же снаружи, следовательно искомых кривых может быть построено две, Предложение ХХ1г'. Задача Хв1 Нуовесвни коническое сечение, нуоходящее через нгуи заданные точки и касающееся двих данных нуямых. Пусть даны касательные НТ и КЬ и точки В, С, Р (оиг.
53). Через которые-нибудь две нз вих В и Э проведи прямую, пересекающую каса- Фкг оа Фвг. зз. тельные в точках К и Н. Затем через точки С и В провеяв прямую, пересекающую касательные в,Т и Х,; проведенные прямые рассеки в точках В и Я так, чтобы было НВ:КВ= ~ТВН НР: 'г'ВК КР ,ТВ: Ь8 = ч'С,Т.,ТВ: ~/СХ ° ВВ причем точки сечения можно брать как между точками К и Н,,Т и Х,, так в вне их. Проведи затем ВЯ, пересекающую касательные в А н Р;точки А и Р и будут точками касания.
Ибо, если предположить, что А и Р суть точки касания заданных касательных, что через точку Т, лежащую на касательной НТ, проведена прямая Тяч параллельная другой касательной, н что эта прямая пересекает кривую в точках Х п У и что иа этой прямой взята длина Л= ИХ ° ХУ то по свойству конических сечений " будет Л' .УУ: ХХа = ЛР ь РХи = ОУ- ХР: СХ, - Х Р = ЯУи: ЯХи следовательно ЮЕ:ХР= Я',У:ЯХ что показывает, что точки Я, Р, Х лежат на одной. прямой. Так как касательные сходятся в точке 6, то по свойству конических сечений будет уХ, уу. ули удаи.,у,ли 6Ри. 6 р ,Уе:,ХА = 6Р: 6 а т.
е. я следовательно, точки Р, Я, и лежат ь одной прямой, значит в точки Р, Я, А лежат на одной прямой. Подобным же образом докажется, что точки Р, В, т также лежат на одной прямой, следовательно точки касания Р и А лежат па прямой ВЯ. После того как эти точки будут найдены, кривая может быть построена подобно тому, как в первом случае предыдущея задачи. В этом предложении и во втором случае предыдущего предложения построения остаются одинаковыми, пересекает ли прямая ХУ кривую в точках Х и У на самом деле, илп нет, ибо эти построения не зависят от этого пересеченвя.
Но доказательство велось в предположеяии, что сказанная прямая кривую действительно пересекает; в случае, если такого пересечения нет, то, как уже сказано, построение остается без изменения, на подробном же доказательстве я, краткости ради, останавливаться не буду. Лемма ХХП м Си. ирииечииии 67 и 78.
Вреобраеоважь фъьури в друже фаьуры жааою асе рода. Пусть преобразуемая авгура есть ХХОУ (авг. 54). Проводятся две параллельные прямые АО и ВХч пересекающие заданную по положевяю третью АВ в точках т и В. Из произвольной точки 6 авгуры проводится ее ордината 6Р, параллельная АО, до пересечения с данной прямою АВ (осью абсцисс).
Затем из какой-либо точки О, взятой на прямой АО, проводится прямая ОР, соединяющая точку О с точкою Р, основанием орднваты ОЭ. Пусть эта прямая ОЮ пересекает заданную прямую ВХ в точке зб. Из зтов точки проводится прямая зуд, составляющая с ВБ заданный угол, и ва ней откладывается такая длина сзд, что Уд: Ог = ВО: ОВ, тогда точка д новой авгуры ядз и будет соответствовать точке 0 старой.
Таким образом каждая отдельная точка первой фигуры дает соответствующую ей точку вовой. Если вообразить, что точка О, перемещаясь непрерывным образом, проходит последовательно через все точки первой авгуры, то и точка д также непрерывно пройдет через все точки новой фигуры в опишет ее. Будем для различия называть ординаты ЭΠ— старыми, ордвнаты ззд — новымв, абсциссы дЮ вЂ” старыми, абсциссы асб— новыви, Π— полюсом, ОР— секущим лучем, О.т — основаниен старых ординат и Оа (дополняющую параллелограмм ОздВа) — основанием новых ординат.
Я утверждаю, что когда точка 6 описывает прямую, то и точка д также описывает прямую, соответствующую первой. Когда точка О описывает коническое сечение, то и точка д также описывает коническое сечение. К коническим сечениям я причисляю в круг. Если точка 0 описывает кривую третьего порядка, то и точка д описывает кривую третьего же порядка; то же самое относятся и до кривых высших порядков — крввые,.описываемые точками 6 и д, будут всегда одного и того же порядка. Действи- тельно, имеем ад: О д = Осз: ОВ = дд: ВО = АВ: .тЭ, следовательно будет: " и О.б.
бд псу теперь обозначенвяд вреобразованяе Ньютона выражается сзедую- Прн абычяы« щпмп нормузамя. Пусть будет: ~ту=я туп=у; О ~=н лп=ь нб=х да=у тогда будет аЬ Ьу, я=в хт х Этя оормузы становнтся особенна просты, еазп взять х = Ьр тогда будет: яз аут я=в хз хт Зто есть так выываемое теперь озаммнос преобразовавяе, «оторое теверь выпазнвется обыкновенна аназнтачсск, Ньютон же, предлагая его, даз я схпветствующее геомегрнческае пего«конан яе.
Следовательно, если точка 6 описывает прямую линию и, значит, в уравнении, выражающем зависимость между абсциссою .йР и ордвнатою Рб, переменвые хР и Рб' заключаются лишь в первой степени, то подставив в это ураввепие вместо хР в Ро их выражения, приведеввые выше, получим новое уравпевие, в котором вовая абсцисса а4ь и вовая ордвната суу будут входить лишь в первой степени и друг на друга ве помвожевными, поэтому зто уравнение будет представлять прямую лввию. Еслв же АР и Рст или которая-нибудь одна из этих переменных входат в состав первого ураввевия во второй степени, то и степень второго е уравнения отвосительво п44 и лгу будет также вторая.
То же самое относится и до уравнений третьеи или вообще любой высшей степени— всегда степень первовачального уравяевия относительно перемепвых АР и Рб и степень преобразованного отво- ер в я сительно перемеввых а44 и 44д Фаг. 64. будут одинаковы, и следовательно, кривые, представляюшие геометрические места точек 6 и уь будут одного и того же порядка. Я утверждаю, кроме того, что если какао-либо прямая касается первоначальной кривой, то прямая, вредставляющая преобразовавие этой прямой, касается преобразовэяной кривой, и ваоборот.
Ибо, сслв две точки первой кривой сближаются и в пределе совпадают, то и соотвествующие им точки на новой кривой также сближаются и совпадают в пределе, следовательно прямые, проходящие через этв точки, одновремевно обращаются в касательные к своим кривым. Можно было бы дать предыдущим утверждениям доказательства более геометрического характера, во я стремлюсь к краткости.'э те Нз этих слов видно, что Ньютои доказательства геометрические при изложении «Начал» предпочитал алгебраическим, и с вамереяием избегал этих последних, макет быть сообразуясь с общим состояяяем паука я с приемами преподавания того премевя, а также ,к с состоянием алгебры, в которой тогда еще ве утратилпсь громоздкие обозначения словами вместо зиаков, особеяво для показателей; между тем как геометрии, включавшая учение о комических сечепиях и доведевная до вьмоной степени совершепства еще древними, сошавляла главиейший и, можво сказать, почти едянствеиный предмет математического образоваивя.
— 134— Итак, если надо преобразовать прямолинейную авгуру, то достаточно. перенести точки пересечения прямых, ее образующих, и через полученные точки провести прямые, если же надо преобразовать криволинейную аигуру, то вада переносить те точки, касательные и иные прямые, коими кривая линия вполне определяется. Эта лемма служит для решения трудных геометрических задач, преобразуя заданные авгуры в другие яростейшне; так, напр., сходящиеся прямые линии можно преобразовать в параллельные, взяв за ось первоначальных ординат какую-нибудь прямую, проходящую через точку пересечения данных прямых; при таком выборе преобразование точки их пересечения удалится в бесконечность, прямые же, нигде не встречающиеся, между собою параллельны. После того как для преобразованной авгуры задача будет решена, стоит только преобразовать ее обратно в первоначальную, чтобы получить требуемое решение для атой последней.
Эта лемма полезна также при решении задач, приводящнх к уравнениям третьей илв четвертой степени, коих решения получаются пересечением конических сечений, ибо если получатся два таких сечения, то задачу следует сперва преобразовать так„ чтобы одно из этих сечений было эллипс, который затем легко преобразуется в круг. При решении же задач второй степени, приводящих к пересечению прямой и конического сечения, это последнее преобразуется в круг.™ Предложение ХХт.
Задача Хтду Прооеоши коническое сечение, проходящее череп две поданные таочки и косающеоск щрех данных ио положению ирвмых. Через точку пересечения двух из заданных касательных (аиг. 55у н через точку пересечения третьей касательной с прямою, проходзщей через две заданные точки, проведя неограниченную прямую и, приняв ее за ось ординат (старых), преобразуй авгуру в новую по предыдущей лемме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
