Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Воли две противоположные вершины А и Р нараллелогралгма АВВА леисат на коническом сечении и стороны сю АЯ и АЯ, сходящиеся в одной из этих веригин А, но продолжении пересекаю«г зто коническое, сечение в точках В и С; если запьем зти точки соединить с какою-либо пятою «шчкою Р, лежащей на сечении, прямыми СР и ВР и продолжить зти прямые до пересечения в татах В и Т с двумя другими сторонами Е'ге и РЯ параллелограмма, пго отрезки РВ и РТ будут находиться в иосгпоянном от«стенка. Н обратно, если зти отрезки находятся в постоя««ом опгношении, гпо точка Р лежи«г на коническом сечении, проходящем через «игчки А, В, С, Р.
Случай Е. Соедииив ВР и СР (Фиг. 45), проводят из точки Р прямую Вб г1араллельво АВ и РЕ параллельво АС; пусть первая пересекает прямые РВ, Щ СА в точках Н, Е, б, вторая пересекает РС,.И, АВ в точках Р, К .Е. По лемме Х'ч'П отношение произведений РЕ РУк Рб.РН постони- пое. Но Фис 45. Р9:РЕ= РЯ Л;)=РВ; НВ= РТ;РН следозательио РД: ЕгТ = РЕ: РН. Также РВ:РР=ВС:РС= РЯ:Эб откуда РВ: РЯ = Х Е: Рб; (2) перемиожая пропорции (1) и (2), имеем Р9 РВ:РЯ РТ= Р.Е РР:Рб РН= постоявиой, во длины Рге' и РЯ заданы, следовательно отношение РВ к РТ гостояввое.
Сгучай 2. Если положить, что отрезки РВ п Е'Т иаходятся в задаввои отиошевви, то восходя в рассуждевив, подобиом предыдугцему, получим, что отиошевие произведения РЕ РР к Рб РН будет постояввое, следовательво (лом. Х ггП1) точка Р легьиг иа коиичесьоп сечешпг, проходяшем через А, В, С, 1'. — 124— Следствгге г. Если провести прямую ВС, пересекающую 1ф в г, и на РТ взять Р1 так, чтобы было Р$:Л =РТ:РК то прямая В$ будет касательной к коническому. сечению в точке Л. Ибо, если вообразить, что точка Э, приближаясь, сливается с В, т. е. что исчезающая хорда ВЭ обращается в касательную ВТ, то СЭ и ВТ совпадут с СВи В$. Следствие 2. Обратно, если В4 — касательная и если в точке Р конического сечения сходятся прямые ВЭ и СЭ, то будет РЛ: РТ = Рг: Р1 РЛ: РТ = Рг". Р8 и наоборот, есжг то ВР и СР сходятся в точке Э, лежапгей на коническом сечении. Следсигвие 3.
Два конических сечения не могут пересекаться друг с другом в большем числе точек, нежели четыре. Ибо, осли бы зто было возмояшо и два конических сечения проходили бы через пять точек зй, В, С, Р, О, тогда, если вряиая ЛР пересекает эти кривые в точках Р и д и прямая РО, пересекает ирнмую Са в д, будет РЛ: РТ = Рд: РТ т. е.
что ггрогивво предположению. Лемма ХХ1 Жели около данных точек В и С,какиентров, вращаются двеподвижные и неограниченнъге. прямые ВМ и СМ знак, что точка их пересечения М описывает прямую пению, и две другие также неограниченные прямые ВЭ и СЭ проводятея таге, что они составляют при точках В и Сспервыми постоянные углы МВЭ и МОР, то точка их пересечения Э описывает коническое сечение, проходящее через нючки В и О. Обратно, если точка Р пересечения прямых ВЛ и ОЭ лежит на коническом сечении, щюходячгем через заданные точки А, В, С, и угол РВМ поснюянно равен заданному углу АВС, угол же ЭСМ постоянно равен углу АСВ, гио то гка М ленсигп на настоянная прямой. — 125— 11оложим, что на прямой МХ (шиг.
46) взята точка Х, и когда подвижная точка ЗХ совпадает с Х, то точка Э совпадает с неподвижною точкою Р. Соединив СХ, ВХ, СР, ВР, проводят из точки Р прямые РТ и ЕЖ, пересекающие ВС и СЭ в точках Т и В и составляющие угол ВРТ, равпьпг углу ВХМ, и угол СРВ, равный углу СХМ. Так как по условию угол ЗХВЭ = ХВР и МСЭ = ХСР то по отнятии общих углов ХВЭ и ХСЭ останутся углы ХВМ= РВТ и вследствие чего треугольник ХВМ с ВРТ и треугольник ХСМ с РСЛ подобны. Следовательно, будет: РТ:ХМ=. РВ:ХВ РВ: ХМ = РС: ХС точки же В, С, Х, Р неподвижны. Отсюда следует, что отрезки РТ и РВ находятся С в постоннном отношении и точка Э пересечения подвижных прямых ВТ и СВ лежит на коническом" сечении (лезь ХХ), проходящем через точки В, С, Р. фз,мк еэ На ньютононом чертеже нет того параллелограмма, к которому отяоситси лемма ХХ, нли, лучше сказать, есть лишь его першина Р, лежащая на коническом сечении.
Протипоположная нерпшна Я получается пообразня, что точка М удаляется н бескояечность и схороны ЗМ и СМ станонятся парэллельныии прямой МЗ, а значит, и между собою; тогда сторона ЗЬ' примет положение, параллельное прямой РТ, к сторона Ся — положение, парылельное прямой РЗ, и чем легко убодиться, рассчитан уг пл, составляемые напрзнленинми этих шшнй с какнинибудь заданным напранлением, напр. ЬСМ. Пусты напр, УЗ составляет угол а, напранлеиие ЗР состазнт угол «- узоо — й где ;т = МЗР н напраялеяне РТ вЂ” угол узоо й т ~зон к~ зооо В т. е. угол ИЗТ= й н слсдоншсзьни, Зя параллельно РТ.
также уапднм, что Ся параллельно РЗ, — 126— Обратно, пусть подвижная точка Э (рпг. 47) лежит на коническом сечении, проходящем через заданные точки В, С, А, и угол ВВМ= АВС и ЭСМ= АСВ при всяком положении точки В. Пусть точка В последовательно совпадает с двумя веподзижныин точкаии Р и р, причем точка М соответственно занимает пощженяе Х и н. Проведен через Х и и прямую, эта прямая будет геометрическии местом точек М. Ибо, если допустигь, что точка Л упала вне этой прямой и двигалась бы по какой-либо кривой, то точка В описывала бы коническое сечение, проходящее через пять данных точек А, В, С, р, Р. Но по только что доказанному точка В опвсывает коническое сечение, про- Фиг.
4к анк. Вз ходящее через те же пять точек, когда точка М перечещается по прямой. Таким образом оказалось бы, что два конических сечения проходят через те же самые пять точек, что противоречит следствчю 3 лепны ХХ. Следовательно, допущение, что точка М перемещается по крнвой, нелепо.
Предложение ХХ11. Задача ХП' Провссвин коническое сечение чсрез няюь заданных точек. Пусзь даны пять точек А, В, С, Р, В (чиг. 48). Из одной из них А к двум другим В и С, принимаемым за полюсы, проведи прямые АВ и АС, и через четвертую точку Р проведи пряные .ТРВ и РВф им параллельные.
Из обоих полюсов В и С проведи к точке Р неограниченные прпмые ВЮУ и СВВ, пересекающие соответсгвенно предыдущие две в точках Т и Л, после чего, проводя пряную й., параллельную ТЛ, отсекай длины Рв и РΠ— 127— пропорцнональпые РТн РВ. Проводя через пх концы э н т' прямые Вен Ст к полюсам В п С н будешь получать в нх пересеченнп точкн !У, ленсащне на нсьомон кривой. Ибо по лемме ХХ точка !1 лпжнт ва коническом сеченнн, проходкщем через А, В, С, Р, н когда линии Вк в 1'й исчезают, то точка !ь' совпадает с Э, следовательно зто коническое печенке проходят через пять заданных точек А, В, С, Р, Э.
7о же самое ива!с Из заданных точек соеднпп трн которые-нибудь А, В, С попарно прянымп, н око,ю двух нз внх В н С(вяг. 49), как центров, вращай углы АВС н АСВ. Сперва приложи сторон!1 ВА н СЛ к точке Э затем к точке Р, и отпеть тачки 11Х н 1!У пересечения двух других сторон ВЬ, СЭ. Проведи прямую 111Ж н вращай углы около вх вершин В н С так, чтобы пересеченне сторон СХ н ВХ нлн ВМн С11Х, получазещеося, напр., и тв, постоянно располагалось бы на прямой М1т'; тогда пересеченне сто- ,!й рон ВЛ, СА нлп ВЭ, СЭ, которое соответственно ва будет в с1, опкшет требуемую крпвую РЛЭс1В. Фиг. 49. Ибо точка Ы по лемме ХХ1 находятся на коннческов сечевнн, проходпщем через В н С, когда же точка аа будт,г поочередно совпадать с точками Э, 111, В, то точка !ь' будет совпадать с точками Ар Э, Р, следовательно н будет опнсано коническое сеченпе, проходнщее через пять точек А, В, С, Р, Э. Стедсжеие л.
Можно прояестн касательную к искомой кривой в какой- либо заданной точке В, вообразив, что точка !1 прнблнжается к В н слнваетсн с нею; тогда прямая В!у и обратится в искомую касательную.то Сеедстеве 2. Затем могут быть нандопы центр, диаметры н параметр кривой, как указано в следствии 2 леммы Х1Х. " те Когда точка Л в пределе совпадает с .В, то луч СЛ сольется с прямой СВ, следова.тельно, построив угол ДСюг, равный углу л!СЗ, получим поло;кение то тки ю! на прямой ЛУЛ; соединив Зю! и построил угол ю! 11Е, рапиый !ЗС, и получим искомую касательную ЗЛ!. т! Построив в точке З касательную Зиг, проводим через точку С прямую, отой касательной пара дельную, н строим то !ку, лежащую на втой прямой. Соединив средину получеввой — 128— улОугзЕНлл Ь Первое построение выполняется проще, соединив ВР и освежив по ней, а если нужно — по ее продолясенвю, длину Вр таь, чтобы было Вр: ВР= РЛ: РТ, и проводя затем через р (аиг.
48) прямую, параллельную ЬРТ, надо брать на ней длину ре, равную Рг, и отмечать точку пересечения Ы прнмых Ве, Сг. Ибо по равенству отношений Рг: Рл = РЛ: РТ= рВ: РВ = ре: Рл будет По этому способу точки кривой можно строить весьма быстро, если только не будет предпочтено построить кривую механически по второму способу.'з Предложение ХХШ. Задача Хт' Провести коническое сеченые, проходящее через чепзыре заданные точка и касающееся данной прямой. Случай 1. Пусть дана касательная ВВ (аиг. 50), точка касания В и три друпсе точки С, Р, Р. Соедини ВС, проведи РЯ параллельно ВВ п РЯ параллельно ВС и дополни параие.тограупу ВЯРЧ, Проведи В.Р, пересекающую ЯР в Т, и СР, пересекающую Р~ в Л, после чего, проводя какую- либо прямую гт параллельно ТЛ, отсекающую от Р9 и Р$ длины Ре- п Рл', пропорпиональные РЛ и РТ, соединяй Сг и ВУ,— в нх пересечении Ы получишь точку, лежапуую на искомой кривой (лом.
ХХ). хорды с точкою З, будем иметь хорду. сопряженную с диаметром, и один ич концов диаметра т. е. будем как раз в усзовпях леммы Х1Х. тэ Построение конического сечеяня, проходящего через пить данных точек, производится также, как известно, прп помощи теоремы Паскзлп, которая дает возможность по данным пяти точкам построить искомую шестую, принадлежащую конзческому сечению, пользуясь тоы.ко линейкою. Ньютоновы же построеякя требуют и цнркуш, збо приходится строить илп углы, равные данным, плп пропорциональные отрезки, и оно окажетсн сложнее паскзлевского, если не прибегнуть во втором способе к шаблонан, ми провзнодящим дапяые углы, конх вершины заход«лись бы в заданных точках С и и.
Это, совидимому, п рекомендует Ньютон слов«ни «опнгать кривую механически«. Действительно, если воспользоваться дзумн такими шаблонами, вырезанными пз картона плп твердой бумаги, то псстроеяпз ряда точек кривой пополняется весьма быстро, в чеи важдый может сам убедит«си. Несколько ивов решение этой задачи, основанное на свойстве, доклзаяном в прим. 67, обьясняеня Ньютоном в его «Аг1нютес1са Нп1тзта11з», задача 1.1Х. То же самое нынче Пусть около точки В (Фнг. 51) врйщается угол СВН постоянной величины, и около точки С вЂ” пряная СЭ, продолженная в обе стороны. Отметь точки Н1 и Н, в которых сторона ВС пересекает сказанную вращающуюся прямую СЛ, когда первзя сторона угла ВН пересекает ее по очереди в Р и в Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
