Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 42
Текст из файла (страница 42)
д. до бесконечности. 11рнмер 2. Положим, что центростремительная своа пропорциональна какой-вибо (и — 3)-ей степени расстояния А, т. е. А или —,; причем Ап показатели и и и — 3 могут быть какие угодгю числа,"' положительные, отрицательные, целые или дробные, рациональные илп иррацвональпые.
При разложении числителя дроби А" или (Т вЂ” Х)" по яашему риду, получим — 194— апсидами орбиты, весьма близкой к кругу, описываемой под действием центростремительной силы, иропорщюнальной степени и — 3 расстояиня, т. е. А" ', 180' составит — По иовтореяии этого угла, тело перейдет из ближней вершины опять в дальнюю и т. д. до бесконечности. Таким образом, если центростремительная сила пропорциональна первой степени расстояния, т.
е. А А! или —. то и = 4, и гм = 2, и угол между вершинами ранен 90', так что 4э тело, совершив четверть оборота, придет из дальней вершины в ближнюю, по совершении еще одной четверги — опять в дальнюю и т. д. поочередно до бесконе'июсти.
Это подтверждается также предложением Х, ибо под действием такой силы тело описывает неподвижный эллипс, коего центр совпадает с центром сил. 1 Аэ Когда сила обратно пропорциональна расстоянию, т. е. — влив А А! то и =- 2, и расстояние между вершинами се".гавит 180~ — =- 127' 16'4б", !!2 поэтому тело, обращаюпдееся под действием такой силы, будет переходвть от одной вершины к другой, постоянно повторяя этот угол. Да!ее, если центростремительная сила будет обратно пропорциональн;! ! 11 х А А пл!! А" — 1 180О !!м=- — = 860' ч!и 1 И= — ~ 4 ЬА'" -+- сА" т. е.
поэтому тело, выйдя пз дальней вершины, будет все время приближаться к центру и, совершив поляый оборот, придет в ближнюю вершину, затем будет все время удаляться от центра и, совершив полный оборот, придет опять в дальнюю вершину и т. д. до бесконечности. крамер 3. Пусть ж и и суть два какие угодно заданных показателя, Ь и с — два каких-либо числа; положим, что центростремнтельная сила про- порциональна — 195— разложение в сходящийся ряд будет ЬТ"'-+сТ" — Х(ьнЬТ"' '-ч-ясТ" ')-+-Хэ( —:--- ЬТ"' '-+-" "сХ" э)-+-... 2 2 Аэ по приведении и сличении членов получим Гл(62 — г')-3- Ту'э):ЕЬТ"-+-СТэ) = = — Г'.
( — ИТ"-' — Т"-' и по переходе к пределу, когда орбита весьма близка к кругу, получим Сэ: (Ь7 -+- сТ") = Уэ: (нэЬ7 ' -+- нсТ" '), н значит, будет (Р: Р' =(ЬТэ'-+- сТ"):(тЬТ' '-+-нсТ" '); приняв в этой пропорции СР", т. е. Т за 1, имеем 6: Х = ГСу: КСР= ~Ь ~ с: э'~Ь кс = 1: ч Ь.+- с Так как угол РСР между дальней и ближней вершиною при движении по эллипсу составляет 180', то угол РСу между вершинами при движенин гела по орбите, весьма близкой в кругу, под действием центростремительЬА~э -+ сА" ной силы, пропорциональной величине , равен 1ВО'.
Рассуждая совершенно так же, увидим, что когда центростремительная Ь .Г" — А" сила пропорциональна, > то угол между вершинами будет тЬ вЂ” пс 18О' Подобным же образом задача решается и в более трудных случаях; величина, которой пропорциональна центростремительная сила, должна быть разлагаема в ряд и должна иметь своим знаменателем А".
Затем, в числителе члены, не содержащие буквы Х и содержашие таковую, полагаются пропорциональными В(Сэ — Рэ)-ь-3"'Т и — РэХ; отброс: в уничтожающиеся члены и заменив Т через 1 и получим отношение 0 к Р. 13 ° — 196— Слсдсввме 1. Поэтому, если центростремительная сила пропорциональна какой-либо степени расстонвия, то эту степень можно определить по движению апсид, и наоборот. Именно, если полное угловое перемещение тела, после которого оно возвращается вновь в ту же вершину, так относится к полному его обороту или 360', как число в2 к м, расстояние же обозначать через А, то сила пропорциоальна .4в, причем показатель стевэ пени 12 равен —, — 3, как это доказано во втором примере.
Отсюда следует, что сила эта не может уменьшаться при удалении от центра в отношении большем, нежели куб расстояния, ибо тело, обращающееся под действием силы, обратяо пропорциональной кубу расстоянвя, если начнет, после прохожденвя через вершину, приблвжаться к центру, описывая ту кривую, о которой сказано в предложении Х1Л, следствви 3, то оно никогда не дойдет до ближней вершины, т. е. до наименьшего расстояния, но будет постоянно приближаться к центру. Если же оно, пройдя вершину, начнет хотя бы ничтожно удаляться, то оно будет продолжать удалиться в бесконечность, никогда ве достигая дальней вершины, и будет описывать ту кривую, о которой сказано как в вьппеупомянутом следствии предложения Х?Л, так и в следствии 6 предложения ХТЛЧ. Подобно этому, когда сила убывает при удалении от центра в отношении большем, нежели куб расстояния, то тело, пройдя вершину, если начнет приближаться илв удаляться от центра, то и будет или приближаться, пока не достигнет центра, или же будет удаляться в бесконечность.
Если же сила, при увеличении расстояшш от центра, илв убывает в отношении, меньшем куба расстояния, или возрастает с расстоянием в каком угодно отношении, то тело приближается к центру лишь до тех пор, пока не достигнет ближней вершины; и обратно, если тело переходят от одной вершины к другой, поочередно приближансь и удаляясь от центра, не достигая его, то сила или возрастает вместе с расстоянием от центра, или же убывает, но в о2ношении, меныпем куба расстояний; при этом, чем ча1не тело переходит из одной вершины в другую, тем более отступает пропорциональность силы от указанной кубичной.
Так, если тело проходит через дальнюю вершину через каждые 8, 4, 2, 1 или 1 — полных оборота, поочередно приближаясь и удаляясь от центра, т. е. Ж 1 п2 если — равно или 8, 4, 2, или 1- то - — — 3 будет соответственно; 1 . 1 1 4 64 ' 16 ' 4 ' З вЂ” — 3 — — 3 — — 3 — — 3 — 197— и сила будет пропорппояальпа или 4 — 2 16 1 — 2 Авв 1 1 — 2 14 1 Ав4 пл т. е.
обратно пропорциональна 1 1 1 4 6-— 2— 2— 6 —— 4 64 А 16 А 4 1 6 Ъ 6 Если 1ело после каждого оборота будет возвращаться в ту же самую вершину, которая, следовательно, остается неподвижной, так что — = 1,1 то будет т. е. сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, как это уже показапо выше. Если же тело возврашается в ту же самую вершину после 3 2 1 1 — ИЛИ 4 3 3 4 полвого оборота, то — равно или и 2 2 4 3 1 или 4 1 3 к значит, А ' будет или 16 А' в — — 6 А' Ав-2 1м-2 6 илп и следовательно, 6 266М 1 — 6-' А — Й641 26626 4 т.
е. сила обратно пропорциональна А16 или приблизительно А ав; следовательно, в этом с1учае цевтростречптельпая сила убывает в отпошеппи 11 6 т. й. сила будет или обратпо пропорциопальва АИ илв Ав, пли же опа будет прямо пропорпиональпа А' или А'". Поэтому, если тело, при переходеиздальпей вершины в дальнюю же, делает, сверх полного оборота, еще 3', иначе— за время полного оборота тела эта вершипа перемещается в сторону движения ка 3', то будет еж и = 363: 360 = 121: 120, — 198— 3 немного большем, нежелн квадрат расстояния. но это отношение в 59- разя ближе к квадрату, нежели к кубу. Следсяляие л.
Таким образом, если тело под дейсгвием силы, обратно пропорциональной ьвадрату расстояния, обращается по эллипсу, имеющему свой юокус в центре сил, и к атой центростремительной силе пли будет прибавлена, или от нее будет отнвта, какая-либо внешняя сила, то можно найти (по примеру 3) движение апсил, происходящее от этой внешней силы, и наоборот.
Так, если сила, вследствие которой те.ш движется по эллипсу, пропорцио- 1 нальна — зз отнимаемая же внешняа сила пропорциональна расстоянию, т. е. выражается юормулою сА, так что остающаяся сила будет пропорцио- 4 сл14 валина —, то прп обозначениях примера (3) будет: 5= 1, ил=1, ил= 4 и значат, угловое расстояние между апсндами будет ~180'. Положим, тго эта внешняя сила в 357,45 раза слабее, нежели сила, заста- вляющая тело описывать эллипс,* т. е. возьмем 100 с=— 35745 то прн л4 =- Т=1 будет 180' $ — = 180 а 180о7623 180 45~ 44 и 1 !— 4с у 35345 т.
е. тело, прондя через дальнюю вершину и описав по орбите угол в 180'45'44", придет в ближнюю вершину, по удвоении же этого угла опять вернется в дальнюю вершину, следовательно перемещение дальней вершины за один оборот составит 1' 31' 28". Движение апслд Луны приблизительно вдвое быстрее. О движении тел по таким орбитам, коих плоскости проходят через центр сил, сказанного достаточно. Остаетсн определить движение тел в плоскостях, не проходацих через центр сид. Литеры, рассматривающие дви- е В танон отношению нахохнтся таа назынаеиля иастолнная настанознущающеасилы Солнца н силе нрнтяжения Луны Землею.
— 199— жение тяжелых тел, разбирают обыкновенно восходягцее и нисходящее движение по заданным наклонным плоскостям, как косвенное, так и прямое; соответственно этому следует рассмотреть и движение тел под действием сил, направленных к постоянному центру, происходящее в плоскостях, пе проходящих через этот центр. Иы будем предполагать, что эти плоскости совершенно гладки и скользки, так что ешь нискатько не замедляют движения. Кроне того, при следующих ниже доказательствах, вместо тех плоскостей, на которые опираются тела, касаясь их, будем брать плоскости, им параллельные, по которым движутсн центры тел, описывая при атом движении некоторые орбиты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
