Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть Я (~иг. 21) есть еокус эллипса. Проводим ЯР, пересекающую диаметр ВК в точке .Е и ординату (ео в точке к, и дополняемпараллелограмм ьекРВ; тогда окажется, что ЕР равно большой полуоси АС эллипса, нбо если провести из другого еокуса Н прямую НХ параллельно.ЕС, то по равенству СЯ и СН будут равны ЕЯ и ЕХ, следовательно 'к РЕ = — (РЯ -+- РЛ), 2 2) во так как НУ параллельно РВ л и углы ХРВ и НРЕ равны, е то РЛ= РН, сумма же РЯ-+- К А -+- РН= 2АС.
На ЯР опустим перпевди- У куляр ЧТ и обозначим параметр эллипса через Х так, что Х = .Всг =2 —,~ ямеем Фьа ль и следовательно, в пределе будет 9аз: ЯУз = 9Р: сбТз = ХРе 1РРв = А0*1 РРв = СЗ'. СВ' (лем. ХП). Итак, В'. СХ' =,4С*: РР = СЗ*: СВ'. (4) По перемножении пропорций (1), (2), (3) и (4) получится Х 9В: 91ч=л(С З РСт ° СЗ'1РС ° 6м СЗз. СВ'= = 2СВ' ° РС' СЗ': РС 6п ° СЗ' СВз= 2РС: 6п, следовательно в пределе, при совпадении точек ьу и Р, будет Х ° ДВ = ь)ун. ЯР2 По уиножевии этого равенства ва — получвм ~И ЯР' ° 1блч — = Х.
ЯР'. ЯВ (б) еа Псльауясь обычным теперь обоаначеввем, эту часть доказательства можно вровестн тав: а а РŠ— Рв = — ° Ре = — (ят — Нй ал ат где РСИ=а. мС=я, СР=нл, СЮ=ьл, Сс=н, Затем вв подобвя треугольввкон Гбнт в ЕРРс. я т ~ Р и Р е Р т РЕ а " а По но уразневню эллапса, отнесенному к сопрюкевзым днаметрам СЮ и СР, ьз ссз — уз -1- (я з не) яьз следовательно С та Ьтьмпэа атз аз ал ал Ьлз з1вз к ДП ОЗ аь — В а Нл В пределе, когда точка С созместатся с точкою Р, будет аьч-н = 2ад кроме того, по свойству сопрнжевных диаметров, я,еЬ,ти з = зЬт следовательно — = — = постовнвой = йр Суч 2Ьз ЕЕ=. = в получатся р йЛ 1 1 2сз Дта ° вРе 2Р ярт т.
е сз =и ' ЯРз где с есть постоянная плошадей в 2Р параметр эллипса. Следовательно (предл. У1, след. 1 и б), центростремительная сила обратно пропорциональна З ЯР', т. е. обратно пропорционйльваы квадрату расстояния ЯР. То же самое иначе Сила, нзпразленнэя к центру эллипса и такая, что под ее действием тело Р описывало бы этот эллипс, пропорциональна СР— расстоянию тела до центра.
Проведем СЕ параллельно касательной РВ; сила, под дейстзием которой тело могло бы, описывать эллипс, напраиленная и какую- РЕ' либо точку Я, будет пропорциональна —, (лем. чП, след. 3), где Е есть пересечение СЕ и ЯР. Когда Я есть искус эллипса, то длина РЕ есть величина постоянная, следоаательно сила будет тогда обратно пропорциональна ЯР'. Для гиперболы и параболы можно бы было и здесь поступить с тою же краткостью, с которою рассмотрена задача У, но, в виду важности настоящеи задачи для дальнейших приложений, не мешает эти диа случая подтвердить отдельнымн самостоятельными доказательстиами. Предложение ХБ.
Задача вП Тело свивается ио эииерболе; требуетея найти закон иенткростремительной сили, направленной к фокусу втой кривой. Пусть СА и СВ (ииг. 22) — полуоси гиперболы, РО и К — диа сопряженных диаметра, РР— перпендикуляр к диаметру КЮ и 9~ — ордивата к диаметру Рб. Проводим ЯР, пересекающую диаметр ЗК в Е и ординату ф~ в х, и дополняем параллелограмм 9ВХМ. Длина РЕ оказыиается равной дейстзительной полуоси АС гиперболы, нбо если провести из другого искуса гиперболы прямую Ну, параллельную СЕ, то по равенству ЯС и СН будут равны ЕЯ и ЕУ, следовательно так как по параллельности НУ и РВ и равенстиу углов УРВ и НРЯ расстояние РЛ= РН. На ЯРопускается перпендикуляр 9Т; обозначив через Х вЂ” параметр ВС' гиперболы, т.
е. величину 2 — -, имеем Х ° ьеВ; Х ° Ро = фВ: Ро = Рх: Рв. По подобию же треугольников Рхс и РЕС будет Хх' Ро = РЕ: РС= ЛС: РС. Точно так же будет З . 7Ъ: Сп . Рю = З: Ся (2) и по свойству гиперболы: (7с ° Ро: Дол = РСл: СЗ'. Фиг. За но З .4С= 2ВО' З ° фВ: Д7ч= 2РС: Йо. следовательно будет В пределе 1лем. УП, след. 2), когда точки Р и 9 совместятся, будет В': Ф'=1, и, вследствие пропорции Ях': Я7' = РЕ'. РУ', будет Фл: 97~ = РЕ': РР' = 4С'. РР = СЗ': ВС' ~лем, ХП). (4) По перемножении пропорций 1, 2, 3, 4 получатся З 9В:97ч=АС.З РС' СЗ':РС- Оо СЗ' ° ВСч, — 95— Но в пределе, при совпадевии точек (у и Р, величввы (хи и ЯРО ставут раюыми, значит будет Х.
9В= Чл™. (5) ярз Умножив зто равенство ва — получим фй ДУ'ЯР' Ь. Я ДВ которое показывает (предд. У1, след. 1 и 5), что цептростремитедьвав сила обратно пропорциовальиа Х ° ЯР', т. е. обратно пропорциовальва квадрату расстояввв ы ЯР. д'о же самое иначе Уже была найдена сила, иаправдеввая к цевтру гипербоды; опа оказалась пропорциовайьвой расстоянию РС, следовательно (дем. УП, след. 3) сила, вапрзвлепвзя к еокусу Я, будет пропорциональна —,,; так как РЕ постозввзя, то сила обратио пропорциопальва ЯР'.
Подобным же образом найдется, что тело под действием такой же силы, во центробежной, будет опвсывать другую ветвь гиперболы. Параметр параболы, относяиькйся к какой-либо всрьаине, равен учетверенному расстоянию втой вертани до фокуса. Следует вз теории конических сечевий." «йевма Х1з Перпендикуляр, опущенный иэ фокуса параболы на касательную и ней, есть среднее проиорииональное между расстояниями от фокуса до точки касания и до удавной вершины параболы. ле Сохраняя обозначения нримечания бб, увидит что для гиперболы вььклаыа остается «оеершевно такою же, как дли эллипса, с тою лишь разницею, что будет ()оз — Эз — — (хз — олз) Ьлт вз Ро —.— х — ах. лт Уравневие параболы, отнесенной к касательной в диаметру, с ней сопряженному, есть у*= зрт*.
Вхщящая в ото уравнение величава 2рл в есть «параметр, относящийся к вершине, совпадающей с точкою касания». Чтобы получить геометрическое представление этой ливии, стоит только заметить, что параметр есть длина хору»|, проведенной через оокус параллельно осв ординат. Так как для оокуса о (еиг.
23) абсписса МЕ' = ВР по свойству касательной, тор полагая еР = т, имеем для ыютвез ствующей ординаты: ре = 2рх т = Р~'- — 96— Пусть АР(ьиг. 23) есть парабола, Я вЂ” ее конус, А — главная вершина, Р— точка касаввя, РΠ— ордивата атой точки, РМ вЂ” ъасательвая, пересекающая ось в точке М, и БУ— перпендикуляр, опущенный из конуса на касательную. Проведем АУ, тогда вследствие равенств МЯ=БР, ЯР=МУ, МА = 10, прямые АУ н ОР между собою параллельны н треугольник ЯАУ прямоугольный ври А и подобен равным треугольникам БУМ и ЯУР, следовательно что и требовалось доказать.
Следствие л. Яув: БУе = БР: ЯА. Слсдстотес Л. Так как ЯА постоянное, то ЯУ' пропорционально Ж'. Слсостоие 8. Геометрическое несто оснований перпендикуляров, опущенвых из конуса на касательные к параболе, есть прямая АУ вЂ” касательная к параболе в главной вершине. Предложение ХШ. Задача "гШ Тело доквкокеся но параболе; тпребустся найти локон иентроотрсмвтельной силы, нанраолснной к фокусу этой кривой. Сохраним построение предыдущей леммы, и пусть Р1фиг. 24) — место тела ва параболе; из 1д, его места, кУда бы ово перешло в ближайшее время, проводятсн: прямые ДВ параллельно и ОТ перпендикулярно к БР в где, параллельная касательной в точке Р и пересекающая диаметр РО в точке о и радиус ЯР в точке х.
Так как треугольник хгтг подобен треугольняку ЯРМ, в последнем же стороны ЯР и ЯМ равны, то и в первом авачит, рл=ог и глевователавог вараиетр Зрт — — ег = 4НР. Уали черве точку Р ироаести врвиую вараллелаио оси ло вересечевил ее с ваираелою- 1 щеа вараболю, то эта алина равна орг т, е. составит — вараиетра, соответствующего етоа 1 иобочвоз вершине, совершение гав же, вав 8Л соатевлиет — главного вараиетра. 4 — 97— По свойству параболы: фР = 4РЯ Рр = 4РЯ ДВ, ибо, по лемме Х1П, 4РЯ равно параметру, относящемуся к вершине Р или диаметру ХЪ.
При совмещевви точек Р и 9, отвошевие длвв ф~ и ()х в пределе равно едвивце (лем. ЧП, след. 2), и следовательно, в этом случае будет По подобию же треугольвиков 4ббоТ и ЯРУ будет (ф'. Чуч = РЯ'. ЯЖв = .И(: Я.4 (лем. Х1Ч, след. 1) (бма. Ч " = 4РЯ лбВ: 4Я4. ббВ, и значит, 9Т' = 4Ял( ° ДВ (Эвкл. Элем., кв. Ч, пр. 1Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
