Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 19
Текст из файла (страница 19)
С другой сторояы каждый из щмх углов м««м««в якого сколь угодно малого «рямол «ней«ого угла, след вательно он нуль и т. д. Па атому поводу возникла «олемика, и «Уап!«'ом был «адан обшнряый трактат «Пе звбн)о сон!во!«з е! «нй«!о аз«цспс«в», за«икающий бо стр. ш уопо мелкой печати вСобрании его сочинений. Ньюто«, указав, что для суждения о более или менее «тесном» касавин кривых с нрямою или между собою в данной точке надо рассматривать ордиваты СТ и ЖТ и их разность СП (эиг. 12а) и обращать главное внимание на мор«до« этих бесконечно малых относительно бесконечно малой АТ, тем самым обосновал как учеяие о со«риносиовении, тале и о различных порядках бесконечно малых величин. Самое учение о кривизне излагалось им нескщько иначе, чем те«ерь.
Обобщая эвилидовское определение касательной, круг крив«авы в данной точке крявой определялся яэк с углом касанвя круга со своими касательными, т. е. что кривизна кривой в точке А не б .сконечно малая и не бесконечно большая, вначе — что длина А,У конечная. Действительно, можно взять кривую, у которой ЗВ пропорционально АЗ', з таком случае через точку А нельзя провести круга между кривою я касательной, ибо угол касания для этой кривой в этой точке бесконечно мал по сравнению с углом касания для круга. По подобной же прячвне, если ЗВ будет пропорционально АЗ', АЗ', АЗ', АЗ' и т. д., то получатся беспредельный рнд таких углов касания, из которых каждый последующий бесконечно мал по отношению к предыдущим. Точно так же, З 4 Ь ЕСЛВ ЗВ будстнрОПОрцИОНаЛЬНО АЗ', АЗ«, АЗЕ1 АЗ4 И т.
д,, тО ПОЛУ- чится другой беспредельный ряд углов касания„кз которых первым такого же рода, как у круга, второй бесконечно больше и, вообще, всякий последующий бесконечно больше предыдущих. Но и между лобыия двумя яз этих углов соприкосновения можно включать беспредельный ряд других, из коих каждый последующий будет иля бесконечно больше, или бесконечно меныпе, предыдущего. Так, между АЗ' я АЭз можно включить ряд 11 П з т 3 а 14 11 ~ЗК АЭХ Ц74 АЗХ ЗХ АЗз АЗХ Зв я т. д. Далее между любыми двумя членами этого ряда можно икжочить новый ряд промежуточных углов, бесконечно различных между собою.
Прврода не терпят ограничений. Доказанное относительно кривых линий и ограниченных вми площадей легко прилагается к кривым пгверхностям и объемам. Предыдущие леммы призедевь1, чтобы избежать утомительности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на приведении к неле- ности. такой круг, вежду которым и данною кривою и сие;кности с етою точкою иелыю провести викиного друтого круга пусть лз т (оиг. 1ть) есть касательная, льу — нориалзч прямив тк— партллельная норма«и. Строим кривую К«'У так, чтобы было ТВ .
ТК вЂ” Лтз, Предельное положение,7 точки К и есть конец диаметра круга кривизны, по кривой же К уж южно судить о «качестве кривизны» — «чпа!11аа сютазпгае», т. е. об измеяевии кривизны в смежности с точкой А. Пусть яя«есть круг, описанный яа ЛУ как диаметре, и положим, что крив«я КЛ вяе круга; ~огда будет дтя круга: ТЕ ° ТВ = и Т14 но ТВ ( ТК, значит ТЕ и. ТВ, т. е. «очка В вне яруга. Если бы кривая К,7 была внутри «руга, то ясно, что ТЕ бьыо бы меньше ТВ. Очевидно теперь, что проведя яруг иного днако*ра, нежели ««, мы увидизч что ни одна из точек зюго круга ие может лежать меи1ду правою и кругом ДЕ7.
и «Пачалак» мера «угла касания» уюмивмтся при изложении примера 1 предложения Х второй книги. Доказательства делаются более краткими в прв помощи способа неделимых, но так как самое представление недолимых грубовато (дпг1ог), то этот способ предсгавлвется менее геометричвыи, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений; поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того кэк его основания доказаны, мы можем ии пользоваться с еще бблыпею уверенностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я и рассматриваю какиеымбо величины как бы состоящими яз постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линия весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это— ве неделимые, а исчезающие делимые зелнчияы, что это — не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм н пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводзть к предыдущим леммам.
Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отн»шение, которое они имеют ранее исчезання, но есть предельвоо, поело же исчезавия нет нвкакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, д стигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую толо имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости.
Ответ простой: под «предельною» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем как достигнуть крайнего места, где движение прекращается и не после того, а когда достягает, т. е. именно ту скорость, обладая которою тело достигает крайнего места в при которой движение прекращается. Подобно этому под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем как ови исчезают и не после того, но при котором исчезают. Точно так же н гредельное отношение зарождающихся количеств есть змеино то, с которыи онв зарождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих количеств есть та составленная вз них сумма, когда ови, увеличиваясь или уненыпэлсь, только начинают илн прекращают быть.
Существует такой предел, которого скорость в конце движения может достигнуть, но не может превзойти, это и есть предельная скорость. Такова же првчвна существования предела отношения зарождающихся вли исчезающих количеств и пропорцнй. Когда такой предел существует я величава его вполне определенвал, то его нахождение есть задача исппшо геометрическая. лйсе же геоиетрическое может быть законным образом прииеияеио при геометрических изысканиях и доказательствах.
Можно возразить, что если существуют предельные отвошевия исчезающих количеств, то существуют и предельные величины их самих, и следователько, всякое количество должно состоять из неделимых, что опровергнуто Эвклидои в книге Х «Элементов», в учекии о несоизмеримых величивах. На самом же деле это возражение основано на неверном допущеиии. Предельные отношения исчезающих количеств ие суть отвошепия пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убываэви количеств приближаются отяошевия их и к которыи эти откошеиия могут подойти ближе, нежели иа любую наперед задаввую разность, во которых превзойти или достигнуть иа самом деле ие иогут, ранее чем эти количества уменьшатся бескокечпо.
Дело объясняется проще ва бесконечно больших величинах. Если две величины, разность которых задаиа, будут обе увеличиваться до бесконечности, то между ними существует предельное отвошепие, которое равно едгквце, одвако яет предельных звачеиий для самих величин, т. е. таких наибольших их значений, отношение которых как раз было бы равпо едиюще. Поэтому, если в последующем лля простоты речм я буду говорить о величинах весьма малых, иля исчезающих, или зарождающихся,то ие следует под этими словами разуметь количества определенной величины, ко надо их рассматривать как умевьшающиеся бесковечио. ж ю В этом отделе изожены те основные теоремы о пределах и бесконечно иэлых, которые нвлнются глевнейш«м» при всякого рога геомезричесннх приложениях.
Примеры танях ириложензй можно найти в томе 1 сочнвения Бертрана — «Тгаве бе сэ1сп1 б!Ибгепт!е! е! бе са!«п! 1п!бйга!». В «Рпвс!р!а», в отделе П второй книги, даны в самом кратком виде начала исчисления млюксий, т. е. по ыжременпой термянологяи произнодных В Внедении к трактату «О квадратуре кривых», изданному в !704 гт Ньютов излагает сущность метода»люксай. Так как ознакомление с вовзрениями Ньютона может способ~«зевать правилыюсти понимания некоторых кест в «Началах», то н приводится перенод этого Введенвя. «Я рассматриваю здесь математические количества не как состОящие из очень малых постоянных частей а пак производимые непрерывным движением.
Ливии описыпаются, и го мере описания образуются не приложением частей, а непрерывным дниженнен тачек, поверхности — движеяием линий, объемы — движением поверхностей, углы — вращением сторон, времена — яеирерывным течением н т. т. «Такое происхождение имеет место и на самон деле и в сткой природе вещей, и наблюдается ежедневно при движении тел. Подобным обрээом древние обънсняли происхождение прямоугольнипон,.ведя поднижиые прямые ливии по неподвижныи. «Замечая, что нарастающие количества, образующиеся по мере варастания в равные времена, сообразно болыпей или меньшей скорости их нарастания, оказынаютсз ббльшими нля меньшими,я изыскивал способы определения саких количеств по той скорости движения пля нарастания, с которою они образуются.
° Назнав скорости втвх движений нли нарастаний флю««нлмк, обрыуемые же количества фете«тамм, н постепенно пришел около 1666 н 1666 гг. к методу млюкснй, юпорый ц прилагаю здесь к «вацратуре крнвых. «Флюнсни ппиблнзвте«ьно пропорциональны прнращеннам чьюевт, образующемся в равные весьма малые прамежутнн нремевн, клн, точнее говоря, находятся в предельном отношенни зарождающихся врирашензй в могут быть прецставлены какинн угодно лнниямн, зтвм приращенням прапорцнонзльныни.
Так, если площади АЗС (мнг. 12с), АЗВС описываю«он ординат«ма ВС и ВЗ, двнжущамнсн равномерно по освовзнню АВ, то алюксан зтвх плошадей атяооятся друг н другу, как описывающие ординат ы ВС н ВБ, н могут быть представлены этими ордвватамн, ибо зарождающиесн приращения площадей проооршювальны этим орхнватам. «Пусть ордкнага ВС из своего положеннн ВС перешла в накое-нибудь положение Ьс. Дополнив параллелограмм ВСЬЬ, пров«дни п)ямую Р7Н, каазющуюся криной в точ е С' н оересензюшую продолженные ЗА н Вс К в Р и Т; ~агав прпращ"в«я абсанссы АВ, т ординаты ВС н длины дуги крннай АСс, прн .-'Х этом образоптвпп«есн, суть ВЬ, ЬЬ, СП стороны с треугольника ЬПТ находятся в предельном (первом) отношеннв этих зараждающвхсн првращевий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
