Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 18
Текст из файла (страница 18)
10), скорости, провзводнмые силою,— ордиватами ВР, ЕС, тогда пространства будут пропорциональны площадям АВР, АСЕ, описанным этиш ордннатамн, т. е. при самом начале двяження, по лемме 1Х, онн пропорциональны квадратам АР и АЕ. С,ьедствие 1. Отсюда легко заключить, что когда тела описывают подобные части подобных еягур, то отклонення, производимые действием — 63— каких бы то ви было равных сил, вновь подобным образом приложенных к телам, приблизительно пропорциональны квадратам времени; при этом зти отклонения надо измерять от тех мест, в которые сказанные тела пришли бы в течение рассматриваемых промежутков времени без действия этих но- вых свл. Следсяэвие .й, Отклоневвя, производимые при вышесказанных условиях различными силами, пропорциональны этим силам и квадратам времеви.
Следствие 3. То же самое относится и до пространств, описываемых телами под действяем различных сил: в самом начале движения эти пространства также пропорциональны силам в квадратам времени. Слег)сяэвиб А Следовательно, силы прямо пропорциональны пространствам прв самом начале движения и обратно пропорциональны квадратам времеви нх описания. С«ледсяюие б. Квадраты времеви примо пропорциональны пройденным пространствам и обратно пропорциональны силам. ПОУЧЕНИЕ Если разного рода переиенные величины сравниваются между собою и про которую-нибудь вз ввх говорят, что она прямо илв обратно пропорцнонзльнатл другой, то смысл этого выражения тот, что первая неличвна зэ При изложении «Начэл»,Ньютоя, как уже сиэзано, избегает пользования алгеброй, а всецело вридерживается образца древних авторов Эвклида и Аиоллонив, пользуясь постоянно пропорциями. В этом поучении он поясняет понятие о пряной и обратной пропорциовальвости.
Зто сделано« повидимому, потому, что в книге т «Элеиеятов» Эвклида, где налагается учение о проиорпиях между ««лн«мн«мм (не числовыми их мерами), рассматриваетсн пропорциональность четырех величин (ооред. 61 необходимо также при чтении нодлинвика иметь в виду следующие термины, определенна ноторых принедены у эвклида (опрев„1з — 17) и когорыми Ньютон постоянно пользуе»сн.
Эти термины относятся к классиоикацни так навываемых теперь производных пропорций. Зти термины следующие: пусть дана пропорпия а:Ь='с:д Тогда будем Регюп(епйо или лнепюяйо . а:с=ь:д унте«тепдо...... ° . Ь;а=й:с Сожропепйо.......... (а -«- Ь): Ь = (с -+- д): д Вьнепйо нли Шце(ж..... (а — Ь) «Ь = (е — д) «д Гоптежепйо.......... а; (а — Ь) = с: (с — д) М)лкж .
. . . . . . . . . . . (а -+. Ь):(а — Ь) = (с -«- д)«(с — д) В то время на классиоикацию и терминологию обращалось больщое внимание, и напр., тган(л в своей «Алгебре», изданной в 168б гч т. е. ва год до «Ргюс«рга«, из предложенней пропорции выводит бз с яею связанных и придает им названия, состоящме нэ сочетаний пр«дыху«цих териияов.
Ньютон также весьма строго придерживается атой терминологии, и если у него встречается пропорция а:Ь=с:д, — 64— увелвчввается ялв умевьшается в том пге самом отвошеввв, как вторая ялв как велвчвва ей обратная. Если же про которую-вябудь яз этих величин сказано, что ова прямо влв обратно пропорцвопальва двум вля нескольким другвм, то смысл этого выражеввя тот, что первая клв увелячввается, влв уменьшается, в отвошешпг, равном произведению отвошеввй, в которых прочие влв ям обратвые увелвчвваются влв умевьшаются.
Так, еслв сказано, что А прямо пропорционально В я С в обратна пропорционально Э, то смысл этого тот, что А увелвчввается влв умевь- 1 ЯС шается в том же отвошеввя как В ° С вЂ”, т. е. что велвчввы А в — па 'З Э ходятся друг к другу в постоянном отяошеввв. Лемма Х1 Расстоягте от конца дуги до касательной, пговеденггой в ее начале, прн бесконечном уменьнгенни дгггн для всеп кривыа, кома кривизна в точке яасания конечная, пропорционально в вреде ге квадрату ее корды. Случай 1. Пусть АВ (авг. 11) — рассматрвваемая дуга, АЭ вЂ” ее касательная в начале, ВЭ вЂ” расстоявве точки В до касательной.
Проведем к касательвой АЭ я к хорде АВ перпевдвкуляры АС в ВС, пересекающиеся в С, пусть затем точки В, Э, 0 перешли в Ь, д, д; в пусть, наконец, Х есть предельное положение точки Π— пересечеввя прямых АС в Вб, когда точки В я Э сольются с А. Очевидно, что расстояние 6,7 может быть сделана меньше вояков паперед назначенной велвчввы. то он не иначе напишет пропорцию <и-Ыгь=(с-Вггц как предпослав слово йтюпп. так как ата казссиоикацвя почтя утраттась, то в переводе втя термины по бо»ьпгея части опущены, но при чтении подаиннпка надо их иметь ввиду,ыобенно неудачник термин ейгтш гын ейтмепбо». Вообще Ньютон пропорций в том вцае, как теперь, ие пишет, всякую «ннюо обыкновенно обозначает двумя буквами и отдельные величины боаьшюш — буквами. Пропорции пишутся свозами такг А езг аб В пг С езг аб Р что равноснаьно нансену АгВ=СгЮ и»и А С В Э' В переводе, дкя наг»ядвостк, слова заменены знаками н принято обычное теперь обоаиачение.
По свойству кругов, преходящах через точка А, В, 0 и А, Ь, о, будет и АЬ'= Ад ° Ы следовательно АВ' А~ ВЗ АЬ Ао Ьа' Но так как 6',Т может бьнь сделано меньше всякой наперед заданной АО величины то можно сделать так, что отношение — будет отличаться » Аи лу от единицы менее, чем на любую заданную велиАВз чину, следовательно и отношение —, будет ВЗ с отличаться от — менее чем ва любую задан- Ы вую велнчвву, и значит, по лемме 1, пределы АВ' ВЗ отношений — и — равны. воз Ы Сеучам Я. Положим теперь, что ВЭ наклонено к АЭ под каким-либо постоянным углом, отношение ВЭ к Ь4 будет в пределе то же самое, т.
е. равно пределу отноупения АВз к АЬ'. Сзгучай 3. Наконец, в том случае, когда угол З вЂ” переменный, но примак ВЗ или проходит через постоянную точку, или строится по какому-либо определенному закову, то углы З н 4, строимые также по одному и тому же за- кону, при приближении точек В и З к точке А Фиг. ы.
стремятся к равенству, и так как разность пх может быть сделана меньше любой наперед назначенной величины, то зтв углы н пределе равны; и следовательно, длины ВР и Ы будут находиться попрежнему в том же отношении, как квадраты хорд. Следствие Л. Так как тангенсы" АЗ и .И дуги АВ и АЬ и их синусы ВС и Ъс в пределе равны хордам АВ и АЬ, то предельное отношение нх квадратов равно отношению затяжек ВЗ и Ы зз Отрезкам АЮ„АФ„ВС и Ьс ириданы незнании «тангюмы» и »синусы», которые бы им принадлежали, если бы нриваи АВ была заменена дугою круга, онисанною иа ди»ч АС, и дуга кривой АЬ вЂ” дугою круга, описанвою на диаметре Ар, во иске, что зт г»»нлс введены лиюь длв краткости речи и выскааанное свойство зривадлежит вОвкой кривой»кой точке, где кривизна — коксе»ал, т.
е. где длина АХ вЂ” конечнаи и положение точки,г — ковда — 66 Сгедсяиие 3. Предельное отношение квадратов хорд и прочих упомянутых выше длин равно отношению стрелок, разделяющих хорды дуг пополам и проходящих по продолжению через постоянную точку, ибо эти стрелки пропорциональны затяжкам ВЭ и Ьд. Сидппние 3. Поэтому стрела пропорциональны квадратам времен описания их дуг телами, движущимися с пост,!язвою скоростью. Следюпвие вь.
Площади прзьиошвейньгх треугольников АЫЬ, АЭВ в пределе находятся в отношении кубовю сторон АЭ и Ад или в отвоз ВВ! и !пении ( ), ибо отношение этих площадей равно произведению отношений ш АВ В1) АЬ Ы Точно так же и треугольники АВС и АЬс в пределе отвосятсн, как кубы сторон ЛС я Ьс. Слег)сияние 5. Так как в пределе ЭЛ в дй параллельны и длины их пропорциональны квадратам абсцисс Ад и АЭ, то в пределе крнволиневные площади АЭВ и А4В (по свойству параболы) составлнют по две трети площадей треугольников АЭВ и АЛЬ, сегмент же АЛ и АЬ вЂ” по одной трети тех же площадей, следовательно эти сегменты пропорциональны кубам касательных, хорд в дуг АВ я АЪ.
диаметра вруга вризизвы — оиределеяиое. Все это затем яодробио оговаривается з поучении и конце отдела. Отрезок Вдв, заилючевиый между иаицам дуги и иасательиай, проведенной з ее начале, ивзичи: «ЗиЬСеява волин сои!во!ив», т. е. «зшя жив угла соорииосвовеяия» или «угла яасавия». Об угле касания см.ириме!авив Зэ. за Когда величины явЬ«и ввв, то ио старияиай термияологии говорилось, что а находится и Ь «в уз«ос»воя ожиоюеияя е «б»; если я ! Ь = св: Из то говорялосы «з утроеивом отиошеиии е и В»; если 1 1 с! Ь=се: Вв, то — в «иалояиввом атиошевии» и т. я. Всв эп! зырвляеяия, яии ие уистргбляемые теяер!.
и могущие лишь искажать иативвый смысл, замеяеяы соиремеяяыми; иаэтаму зыаушвиы и захлювительиые слалаэтогоследстяия! «иолугоряым отиошеяием я зазываю оглашение яоюииияое от угров«ваго! т е. отиошеиие, жютвилеяиай из простого и золозиияого», Соствзиым иви слажиым огиошеиием вазызчлась ироизиедеяие двух шяошеиий. в! Каи уже сиачаио. з «Началах» везде яримевяетси ззвлидова термияологии и эиилядазы, а ив теиерешиие, яредстазлевия. ПОУЧЕНИЕ Во всех предыдущих выводах предполагалось, что «угол насакен влв соприкосновенивэ ™ не бесконечно велик и ве бесконечно мал по сравнению ю «Угол соприкосновения» нли «угол касания» (анй«1««сопгас!«з)„о котором идет речь в лемме Х1 и в атом поучении. есть такой термия, который в науке не удержался, хотя дальнейшее развитие ланяого Ньютоном способа дщ точного суждения об атом алемевте «ослу- жило основанием учению о сонрикосновении вообще.
Вопрос об «угле касания» возник но «оводу толкования «ргдложения !6-го 1П к«иги «Злементов» евклида, н котором сказано: «Примак, «ров«денная «од прямым углем «диаметру «руга в конце эт«го диаметра, лежню вне круга, и в пространство между этою прямою и окружвостью никакая друг»я «рамзя не укладывае«ся, или, что то же самое, оиружность круга проходит между вракою, нерненднкулярной к диаметру, и прямою, которая составляет с диаметрои «стрый угол сколь угодно большой или же кшорая составляет с пер«ендикулярои к диаметру угол сколь угодно иыый».
Теорема эта уста««шива««, как видво, чтч нод каким бы ищыи углом РАТ (~иг. 12а) Фиг. 121ь фиг. 12«. к нер«екдикуляру к диаметру ! Т ни «ров«дить прямую, то всегда вайдутс«такие части атой прямой, которые лежат вяутри окру«~нос«|с Возникал вопрос, какой смысл придавать понятию об «угле между кэсат~льной А Т и дугою ВАС», причем «е давалось точного определения, что такое нод этим углом разумеют; Пр«отсутствии такого Определения «оявились во«росы вроде следующего: одинаковы ли углы касания для дуги Р'АЮ и для луги ВАС, радиусы коих не р«вны, ке составляет лв один нз этих углов «асжм другого, а если он есть часть другого, то значит оба они не нули (эвклидово: «точка есть то, чего часть ничто»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
