Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 20
Текст из файла (страница 20)
следовательно млюкснн самих АВ, ".-"------ Я ЗС н АС пропорцнональвы атарон«мСЬ;ЬТ и ТС треугольника СКТ, которыми ови в могут быть представлены, влн, что та же самое, — сторанамн треугольника РВС, ему подобного, «То же самое получмтся, если припать алюкснн в прецельном (оаслецнем) атно«пении нсчезающнх час~ей. Проведем прямую Сс и продолжен ее до Х; когда ордввата Ьс букет шзврзпльтьсн к сноску первоначыьному пола- )т жению ЗС и когда точки с н С сольютсн, то нрнмая СХ совпадет с касательной СН и всче- Фяг 12с. зающьй треугольник СЖ в предельном(п следнем) своем ваде станет подобным треугольнику СХТ.
и его нсчезаюпие тараны будут в пределе относнтыя друг к другу, нак стороны Щ ЕТ, 7С треугольника (ВТ: следонательно, в том 'ке отношении находя«он и млюкснн линий АВ, ЗС н АС. Колк же точки С н с находя«с«в какам-нибудь малом удзлеяин друг от друга, та н прнм«н СХ будет казацк«зон в яе«шорам небольшом удалеввз от кзсзтельвой. Чтобы прнман СХ совпадзла с насательной СН н чтобы получились предельные (последнне) отношения линий СЬ; Ьс н сС, точки С и с должны сайтнсь и сгвпасть вполне.
В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми малыми погрешностнмн. «На аснопзнни подобного же рзссужденнп, если рзввокерво продвигать круг, опнсанный иа точки В, кан центра, раднус~ в ЗС тан, чтобы он с ставался перпевдннулнрным к .2В, то злю«сия образуемого объема АВС будет пропорциональна плогцацк вракавгдящего круге и плюкскя образуемой поверхности иропорцвокальна окружности проьзводньцего круга к нлюксвн длины дуги крнвой А С (т.
е. нх п(юнзведенвю). Ибо в то время как объем образу«тек ведя «руг по ыбцнсое АВ, сназаннзн поверхность обрззуетсн ведн окружаешь этого круга по длине крнной АС. «Вот еще дна пркмера агота способа. «1. Нрлмол РВ ерожаетсл около ладон«а«о полиса Р м мереткнпв Ьуутум ладннную мо но«аз«с«м«примут АВ; треоуетсл «айтм от«окю«ие флю«снб мрялмм АВ и РВ. «Пусть пряная РВ (мнг. 126) перешла нз своего полажение РВ в нонне положение РЬ.
Отложив по РЬ длнну, равную РВ, проноцнв к (З прямую РВ под таким углом ЬРВ, — 72— который равен углу ЬВС. По подобию !6-ков ЬВС.и ЬРЛ, пряращеиие ВЬ так относится к приращению СЬ, как РЬ к ЬЮ. Когда прямая РЬ будет возвращена в свое первоначальное положение, чтобы приращеная исчеали, то предельное (последнее) отношение при!»ащеннй, или, что то же, предельное отношение РЬ к ЗЬ, обрати»ся и отношение РВ к РВ» причем угол РЮВ с»анет прямым, следова»елька я влюьсиа АВ будет относиться к влюксии РВ, как РВ к ВВ.
«П. Прлмая РВ, еращоющалея около лада«но»н волтса Р, нор«твоею дес друтае врямме АВ и АЕ, ладанние во иолоэеенмю е тачкам В и Е; н»ребутнся най»ни атноищние флнтт«й этим ирлмиа. «!<огда вращающаяся прямая РВ (аиг. <2е) переместится из своего положения РВ в положение РЬ, пересекающее заданные прямые АВ и АЕ в точках 6 и е, то проведя прямую Ве, параллельную АЕ и пересенаюшую РЬ и с» получим: ВЬ! Ве= 4Ь» Ае Ве: Ле = РВ» РЕ.
° Из этих пропорций следует ВЬ» Ее = АЬ ° РВ» Ае ° РЕ. Фиг. <2е. ф . <йй «Когда прямая РЬ возвратится в первоначат нос свое положение РВ, то исчезаюп»ее приращение В6 так буд т относиться к исчезаюп<ему приращению Ее, «ак АВ ° РВ относи»ся к АЕ.РЕ; след вательно, в этом же отношении будет нахошпься и влюксия прямой АВ я влюксии пряной АЕ. «Поэтому, если вращающаяся прямая РВ пересекает какие-либо заданные по положению кривые в точках В и Е, и ставшие теперь подвижными прямые АВ и АЕ касзю»ся щих вривых в точках пересечения В и Е, то «ь»юксия длины дуги кривой, касающейся прямой Аи, будет так относиться к алю»сии длины дуги «ризой, касающейся прямой АРЬ как АВ.РВ относи»ся к АЕ ° РЕ.
То же самое получится даже и в тои случае» когда прямая РВ будет пгс»санно касаться до кан» й-либо зэдаевой по положению кривой в подвижной точке Р. «(П. долин«отел я в»сн«»в равномерно, надо найти руан»к»то колич«стоа и". «В то времп нак количес»зо и при своем»ечепни обрын»ся в и-+-Ь, коли»естэо мн обрати»ся в (и-+- Ь]»', т. е. по нашему способу разложения в бесконечные ряды обратится в нэ — и кв.+. вйяи».+..... Ьэив-г.+.
2 приращения Ь и „г айя»' »-»- — Ьтам э-+- ... 2 относятся друг к другу» каи 1 к вэ — и ияи».+.— — — — Ьам т.+, ... 2 отдкл и О ПАхождепии цептРОстРеиителБиых сил Предложение 1. деорема 1 В.зоибодм, омцсывасмые радиусамм, мроввдцмымм вт вброжа1пмбетося тттслн я немпдвижному центру см.з, лехгаж в обмой мясекостпм ц мрояорциональны временам яммсання мх, Разделим время на равные проиежутки, и пусть в течение первого из них тело по инершти описывает прямую АВ )юиг.
13). Есле бы оно не подвергалось никакому дейст ввю, то, продолжая нтги по прямой, оно пришло бы в с 1по зак. 1), пройдя путь Вс, равный АЗ, и тогда описавяые радиусами А8, ЗЯ, с8, проведенными к центру сил Я, площади АЯЗ и ВЯс равны. В действительности же, когда тело пришло в З, то пусть на него подействовала центростремительная сила сдвни, но зато большии натиском," вследствие которого тело отклонится от пряной Ас и будет продолжать свой путь по прямой ВС. Проведем прямую сС параллельно ВЯ до встречи в точке С с ЗС, тогда к концу второго промежутка вреиени тело (по след.
1 законов) придет в точку С, лежащую в одной плоскости с треугольником А8В. Проведи ВС; по параллельности ЯВ и Сс площади «Когда зти приращения псчеапут, та их предельное отношение будет раааа отношению 1 н ияп Ц поэтому о«юксня я так относятся к оэюксни эп, нак 1 к ия" Ь «Рассуждая подобным же образами позшуясь способом гредеаьных верных и последних отношений, можно состзвнть оэюксии прнмых иэи нривых линий в любых сэучаях, а также и оэюксин поверхностей, угэов и других козичеато. Вместе с тем, такое ус«анап«ение этого авзэнза и«дна«иее«ванн коне~ными н нос«сказание предеэьных первых и оасэедних отношений зарождающихся нэи исчеаающих конечных веэнчив согласно с геометриею древнэх, и и хотел показать, что в методе оэюксий нет надобности внодить в геометрию бесконечно иэяые оигуры.
«Аяазнз мажет вестись вад какими ущдво оигурами, канечныии иэи бесконечно мазини (шбште рагтае), которые предпоэага«пся подобвьшн исчезающим оигурая, а так,«е и над ьигураии, которые в способе неделимых приниманпоя за бесконечно казы«; надо аншь поступать с д эжною осмотрительностью. «Нахождение оэюепт по их оэюьсиям — задача боэее трудная, и пернзя ступень в ее рюпепии равносильна квадратуре кривых, о которой мною же давно написано следующее сочинение«. Ноеве этого введения и следует самое изложение трактата «Пе Чпабгашга спгтагашэ. В конце этого трактата пркзожевы две таблицы парку«, отэич«ющихся «ишь обозначениями ат таблиц неопределенных интегралов тех гзаввейшнх рзционаяьвых и нррационыьных пункций, которые и теперь састашяют обычпый курс основаньй ин1«грэ«ьного исчисления. Эти таблицы иогут в значительной степени сэособствонать уяснению того, какие зазячи могли быть дон«димы вычисэевнеи до ковца, оснавьпжясь ьа»ои что Ньютонов было оирб«яка«а«о.
зь Латинское с«овос а|шрп)зпеэ впаэнепередается русскин озоном ««оиюк, котороевкаючьег в себе нак понятие нанряженностя дейатн«я, так н его продоэжитеаьеости. треугольников $ВС и $Вс будут равны между собою, а следовательно, ови равны и площади треугольника $АВ. Рассуждая подобным же образом, увидим, что если центростремительная сила действует последовательно в точках С, З, Е и т.
д. и заставляет тело описывать прямые СЗ, ЗЕ, ЕЕ и т. д., то все эти прямые будут лежать в одной плоскости, и площади треугольников ВСВ и $ЗС, $1эЕ н $СР, $ЕУ и $0Е будут между собою равны. Следовательно, в равные времена описываются равные площади, расположенные в неподвижной плоскости. Слагая получим, что какие угодно суммы эт х площадей, как $АР$ и $ЛЕ$, будут относиться, как времена их описания. Увеличивая затем число треугольников и уменьшая их высоту бесконечно, получим, что в пределе периметр АЗЕ (по след. 4 лем. Ш) будет кривою ливней в центростремительная сила, которою тело отклоняется все время от касательной к этой кривой„действует непрестанно, площади же $А0$ и $Аг$, описываемые радиусом, оставаясь постоянно пропорциональньвш временам их описания, будут и в пределе этим временам пропорциональньь Следствие 1. Скорость тела, притягиваемого к неподвижному центру в пространстве несопротнвляющемся, обратно пропорциональна длине перпендикуляра, опущенного из центра на касательную к орбите.
Действительно, скоростя в точках А, В, С, З, .Е пропорциональны основаниям АВ, ВС, СР, РЕ, ЕУ и т. д. Эти же основания обратно пропорциональны перпендикулярам, на пнх опущенным. Следсшвие 2. Если на хордах АВ и ВС двух дуг, описанных в равные промежутки времеви, построить параллелограмм АЗССР и провести его диагональ ЗР; то предельное ее положение, когда сказанные дуги бесконечно уменьшаются, проходит через центр сил. Следе ~вне 3. Если на хордах АЗ и ЗС, З.Е и ЕР дуг, описанных з равные пр межутки времени, построить параллелограммы АЗССР, Э1сЕХ, то силы, действующие на тело в В и .Е, находятся в предельном отношении диагоналев ВР и ЕХ, при бесконечном уменьшении дуг. Так как перемещения ВС и ЕЕ тела слагаются (по след. 1 законов) из перемещений Вс н ЗУ; ЕЕ и ЕХ и так как ЗР; равное Сс, и ЕХ, равное г 1' предыдущего доказательства, происходят от натисков центростремительной силы в В и .Е, то сказанные диагонали этим натискам пропорциональны.
Следствие А Силы, которыми тела в пространстве, сопротивления неоказывающем, отклоняются от прямолинейного движения и вынуждаются двигаться по кривым, относятся между собою, как направленные к центру сил стрелки, проведенные через середины хорд дуг, описанных в равные промезкутки времеви, когда эти дуги уиеньшаются бесконечно. Ибо этк СТРЕЛКИ РаВНЫ ПОЛОВПНаМ тЕХ ДнаГОнаЛЕйтж О КетОРЬ1Х ШЛа РЕЧЬ В СЛЕД- станк 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
