Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1Е. Ага ЯР' Умножив обе части етого равенства ва — и так как Р и Я слива- ЯЛ' ются, то вместое напишем РУ, тогда получим ЯХз ° ЗР' 8рз Р ггз фВ АГз — 8б— Следовательно (след. 1 и б предл. 71), цептростремвтельиая сила яра. Ррз обратво пропорпвовальва > а так как А)Рз есть величина постояввая, то эта сила обратво пропорциовзльва произведевию квадрата расстоявия на куб хорды. То жс самое ипате На продолжение касательвой РВ опускается перпендикуляр ЯУ, тогда, по подобию треугольивков ЯУР, РРА, будет АУ': РР'= ЯР: Ж; следовательно Р т ° ЯР я .Рр. ЯР' РГ'. А 1тт цевтростремительвая сила (по след.
3 и 4 предл. т'1) обратно пропорциоЯРз - Р лтз вальва „а так как АРв есть величива постояввая, то зта сила обратво пропорцвовальва'в ЯР' ° РЬ"". Сесдстеис л. Если заданная точка Я, к которой постоянно направляется сила, лежит ва окружности етого круга, скажем в р; то центростремвтельвая сила будет обратпо пропорциовазьва питой степеви расстояния ЯР. Слсдстиеие .з. Сила, которая может заставить тело Р обращаться по кругу АРТУ (аиг.
17) около цевтра сил Я, так относятся к другой силе, которая могла бы заставать то же тело обращаться по тому же кругу, но около другого центра сил В, как ВР' ЯР относится к Я6', првчем ЯО есть отрезок прямой, параллельной РВ, заключеввьж между точкою Я и касательной к кругу, проведеввой в точке Р. По построению видно, что первая сила так относится ко второй, как ВР' ° РТ'.
ЯРз ° Р Р'а влв как ЯР' РРв РТз еет сз этот результат вевосреаствевво воллтастсв вз оетвллзз е = —, або в аав вол слл Р.рз ' тае Р = Л р = т сое ак Рзт = лм соо <о, слеаователаво сзт 1 1 =з лз ° — ° — * ио из подобия треугольников ЯР6 и ТРЬ' следует Яб =,, и значит, РУ ЯР РТ предыдущее отношение равно ЛР' ЯР явь Следствие 3. Сила, могущая заставить тело Р обращаться по какой- либо орбите вокруг центра сил Я, так отиосится к силе, могущей заставить то все тело Рв такое же время обрапсаться по той же орбвте около другого центра сил В, как ЯР ВР' отяосвтся к ЯСь, причем Я6 параллельно ВР, ибо силы для сказаипой орбиты и для ее круга кривизны во вовкой точке Р раппы Фиг.
17. + .сз. Предложение УШ. Задача Ш Тело двпжснгся по полукрусу РсдА; требуется найти и «он центростремительной силн, которая мосла бм про вводить такое движение, будучи направленной к столь отдаленной точке Я, что всв прямьсе РЯ, ьвЯ и пр. можно считать между собою параллельными. Через центр полукруга С (оиг. 18) проводим диаметр, перпеидиссулярвый к сказаииым параллельиым и пересекающий их в ЛГ, .У, в соедиияем СР. Из подобных треугольников СРлХ, РТл, ВЕЯ следует СРь с РЛт ь = ВР': сдТ', по свойству же круга: ВР' = 9В ° (В.У-с- 9Щ или в пределе, когда точки Р и 9 совпадут: ВР'= 2РМ. 9В. ОТ' 2Рл1ь сеть ЯРь 2Рл1ь ° ЯРь Следовательно, будет , „ и сиЛ СРь т. е.
(по след. 1 и 5 вреди Ч1) искомая центростремительная сила обратно 2Р31в ЯРз 9$Рз пропорциональна , изи, отбрасывая постоянную величину — , СРз обратно пропорциональна РМ'. То же самое легко получается нз предыдущего предложения. 110 УЧЕЫИЕ Подобным же образом докажется, что тело может дзнгаться по зллвпсу или даже по гиперболе, изи парабозе, под действием центростремительной силы, обратно пропорциональной кубу ордвнаты, напразлеяной к бесконечно удаленпоиу центру снл.
Предложение 1Х. Задача 1Ч Тело обраолается по спирала Щ пересекающей все радиусм $Р, $Ч и т. д. под заданным умом; требуется найти закон ментростремитсльиой силн, направленной к иеитру спирали. Будем брать весьма малый угол РЯ (пиг. 19) ностоянво одной величины, тогда, в виду постоявстза У всех углов, авгура $РВО' прн всяком у положении точки Р будет постоянна по д виду (т. е.
будет оставаться подобной), ЯХ / и значит, отношение — будет по~~й Ч ДТ' стоянное, следовательно — будет Фею 19. пропорционально Ял', а так как отношение Ял" к $Р также постоянное, то ДХ Я7~ пропорционально $Р, следовательно и — пропорционально $Р. При взмененяи угла Р$ье, отрезок ь)В будет изменяться пропорционально квадрату РВ или ЯТ (лем. Х1) следовательно отношение — останется без изме- ДТ' ЯЯ пения, т. е. попрежнему пропорциональным $Р. Поэтому будет еда. яп фй пропорцвонально $Р', и следовательно ~предь Ч1, след.
1 и б), пентростремительная сила обратно пропорциональна кубу расстояния $Р. То же самое иначе Перпендикуляр $У, опущенный на касательную, и хорда РУ круга кривизны спирали в точке Р находятся в постоянном отношении к расстоя- инто БР, поэтому 8Х' ° РУ пропорционально ЯРз, что обратно пропорционально центростремительной силе (вредя. Ч1, след. 2 и 3). Лемма Х11 Все нараллело1ралемы, нооозроенные на сопряженных диамекзрах заданноео эллипса клн еннерболы, разны между седов но площади. Установлено в учении о конических сечениях. Предложение Х.
Задача Ч уело обраолается но эллипсу; знребуется найкзн закон ненв~росщремивельной силы, нащ>солонкой к Ненюру зллннса. Пусть СА и СВ (оиг. 20)— полуоси эллипса, РО в ЭК вЂ” даа 1Э сопрнжеввых его диаметра, РР и†о,. Р перпендикулнры к этим диаметрам, ф~ — ордивата к диаметру РО. Дополним параллелограмм ЯоРВ; по А теории конических сечений имеем Р еьз = — ° лЬ. ю0 СЗ' 3 Р(Р Х по аодобжо треугольников Яс7 и .РСР будет Фэа эо. ДТ' ° РС' РРе следовательно будет фР ° РС' РУ' СР' - Рю Вместо Ро можно написать 9В, вместо СЭ.
РР— равное ему пронэведение ВС АС (по лемме Х11) н в пределе 2РС вместо об, тогда получим ~УТ' ° РС' 2ВР ° АС' фВ РС следовательно(вредя. Ч1, след. о) центростремвтельная сила обратно пропорциональна а так как 2ВС' АС' есть величина постоянная, 2ВСо ° А1э РС вЂ” 89— 1 то центростремительнзя сила обратно пропорциональна — „т. е.
прямо пропорциональна расстоянию ы до центра РС. уо асе самое иначе На прямой РС, по другую сторону от точки Т, возьми точку и так, чтобы бьыо Та=То, затем возьми мУтак, чтобы было мУ:оС=ЭСз:РС'; а так как по свойствам конических сечений .то будет Слояшв почленно это равенство с следующим (Ро-+-2од)ХЬ =Ро ° пР Рсбз=Ро РУ. Следовательно, круг, касающийся конического сечеввя в точке Р в проиодящвй через точку гб, пройдет и через точку У. При совпадении точек Р в Я, отношение и У: об, равное отношению ЭС*: РС', обратится в отноше2РСл ние РУ: РС, т. е. РУ: 2ХС, и следовательно, будет РУ= —, ° Поэтому сила, заставляющая тело обращаться по эллипсу, будет обратно пропорцно2РСг.
Ррз вэльна,, а так как произведение 2ЭС' ° РХт постоянное, то эта РС сила прямо пропорциональна РС. ы Отнесем эллппс к его сопркжепным дпаметран СР к СВ, донны коих обозэачпм через а» н дз и угол между акмэ — через а, тогда будет: Ьз фа=уз= з (атз — ае); Отт= Сот ° отта) Дв=пз — и отз 2сз. СЛ к тсгда пыражеппе р=, дает 2сз ° (сз — а) зсз (ат — п) зсз 2сз ° пзз пзз .
ре о!оз а Ь е (озз — ае) . зьзз а Ьзе ° еиаз « ° (оз-е- и) оззЬзеажта ° (пае-а) Но пзз Ььз ° а)пе а = ст Ьз, где с н д — полуоси эллнпса; пнесте с тем н пределе будет м = пт = СР, поэтъзгу и пределе: се Э= — а,= — ° СР. птьз ' сзьз ' 2Ьз Обозпачап через эуе = — — параметр эллппса, можем запасать и сз — — ° СР роз — 90— Следотеие 1. Итак, в этом случае сила пропорциональна расстоянию до центра эллипса, и наоборот, если сила пропорциональна расстоянию, то тело будет дввгаться по эллипсу, коего центр совпадает с центром сил, или же в частном случае по кругу, в который эллипс может обратмгьси. Следствие 2.
Времена обращений, совершающихся около того же центра по любым эллипсам, между собою равны. Действительно, эти времена обращения равны между собою для эллвпсов подобных (предл. юг, след. 3 и 8); для эллипсов же, имеющих общую большую ось, эти времена прямо пропорциональны площадям эллипсов и обратно пропорциональны площадям, описываемыи в одинаковые постоянные промежутки времени, иначе — прямо пропорциональны малым осям и обратно пропорциональны скоростнм при проходе через главные вершины, т.
е. прямо пропорциональны малым полуосям и обратно пропорциональны ордиватам, проведенным через ту же самую точку общей большой оси их; частное же от деления этих отношений, равных между собою, равно единице. ПОУЧЕНИЕ Если эллипс, при бесконечном удалении центра, обратится в параболу. и тело будет двигаться по этой параболе, то сила, направленная к бесконечно удаленному центру, станет постоянною. Это есть теорема Галлплея. Если 1при изменение наклонения секущей конус плоскости) параболическое сечение превратится в гиперболическое, то тело будет двигаться по этой гиперболе, если заменить центростремительную силу центробежною.
Подобно тому как для круга или эллипса, если сохранять времена оборота, силы, направленные к его центру, остаются пропорциональными расстоянию, в каком бы отношении ви увеличввались или ни уменьшались ордвваты, или ни менялся угол вх наклонения к оси абсцисс, проходящей через центр, точно так же и для всяких кривых вообще, если ординаты увеличиваются нли уменьшаются в каком угодно отношении, или изменяется угол их наклонения, но время оборота сохраняется, силы, направленные к центру, лежащему на оси абсцисс, будут пропорциональны расстояниям до него для.
всех точек, лежащих ва той же самой ординате. ОТДЕЛ КЧ О ДВИЖЕНИИ 'ХЕЛ ПО ЭКСПЕНТУИЧНЫМ КОНИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЯМ Предложение ХХ. Задача Ч? но ьель = ХЬ, вз подобия же треугольников ХЬо и РСЕ следует 2Ъ: Рп = РЕ: РС, ДВ: Ро = АС: РС, Х ° Рв: Со ° Рв=л.: Со Со оР: ЯИ=РС'.СХг. значат во (З) При совмещении точек ьЕ и Р будет (лем. ЧП, след. 2) Тело обраиьается но оллинсу; требуется ояреде мньь лакан центрсстрелттельноб силн, направленной к фокусу эллипса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
