Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 17
Текст из файла (страница 17)
«наконец рваны», влн «вшюае гаповев евпг гаиовее лечпзпгв11е», т. е. «последние отношения суть отношения равеяства». В переводе все зги термины заиеневы употребляемыми теперь с»свами «предельное отшнпевве» или «предел отношения». 11ереиеввые величины жюбще Ньютон называет илн «неопределенными»вЂ” «шбегегпппагае», шш «текущвми» вЂ” «йпевгее»,величины постоянные всегда зазывает «заяви мыми» или «данными« вЂ” йагае». В переводе этот термин во многих местах сохранен. разность вписанной и описанной ангуры есть суима параллелограммов К1, Хю, Ми,...
(миг. 6), которая (вследстзие равенства всех оснований) равна пргьчоугольнику, построенному на одном из оснований КЬ, и сумме высот Аа, т, е. прямоугольввку АВйь. Но этот прямоугольник, так как его ширина АВ уменьшается бесконечно, может быть сделан менее любой заданной величины. Следовательно (по лем. 1), в пределе авгура вписанная, авгура описанная и тем паче заключающаяся между ними криволинейная будут между собою равны. Лепна Ш Предельные втношекмя тех же сумм параллелограммов равны единмме м в гном случае, когда ширмкы кх АВ, ВС, СЭ,... не равны мелсду 1 собою, но все уменьшаются бесконечно.
а Пусть АР равно нанбольшев из парии 1 и на ней построен параллелограмм АХау'. Этот параллелограмм будет больше разности авгуры вписанной и аигуры описанной; при бесковечвон же уменьшении ширины его, ч площадь может быть сделана менее площади любого заданного прямоугольника. Следствие 1. Таким образом в пределе Л р лг и суьша этих исчезающих параллелограммов Фис. О. вполне совпадает с площадью криволинейной авгуры. Следствие 2.
В еще ббльшей мере прямолинейная авгура, ограниченная хордами дуг аЬ, дс, сд и т. д., совпадает с криволинейною аигурою. Сгедствие 3. То же самое относится и к описанной прямолинейной авгуре, ограняченной касательньпни к сказанным дугам. Следствие 4. Поэтому эти две последние авгуры (по отяошению к первметру асЖ) в пределе не суть прямолшейпые, но составляют криволинейный предел прямолинейных авгур. Лемма 1У .Если в каждую из двух фтур АасВ м.фгУвписать (как указано вьаие) ряд парс.глелвграммов так, что число их то же самое, м если при бесконечном уменьигеним ширин пределы отношенмй плвигадей параллелограммов одном фигуры к параллелограммам другой, каждого к ему совт- ветствуюибему, между собоюуовны, то я утверждаю, чгяо и сомме фиеу)тьл АасЕ и УлргТ находятся в том же отношении.
В свмом деле, в каком отпошенпп находптся каждый вз параллелограммов одной Фпгуры (Фнг. 7) к ему соответствующему другой, в том же отпошевпп друг к другу находятся в суммы всех вх, т. е. площадь одной Фпгуры к площадп другой, вбо по лемме 1П пределы отношевпй площади первой Фпгуры к первой сумме в площадв второй ко второй сумме ровны едпвппе. Следствие. Совершенно тзк же докзжется, что еслв вообще две какого угодно рода велвчввы будут разделены вв одпнаковое число честей а Е р Фиг. 7. и, прв бесконечном возрастзвпв числа пх и умевьшенпп каждой пз нвх, отпошепяе вх соответственно друг к другу, т. е.
первой к первой, второй ко второй и т. д., остается постоянным, то в самые велпчппы будут находпться в этом же отвошевпп. Ибо, если в относящпхся к этой лемме Фпгурзх взять параллелограммы тзк, чтобы овп были пропорнпонэльпы сказанным частям, то суммы частей будут отвосвться между собою, как суммы пврзллелогрзммов, и следовательно, когда число частей и число параллелограммов будет бесконечно возрастать, з самые части уменьшаться, то предельное отвошепве сумм частей будет оставаться равным предельному отношенвю сумв пврэллелограюпов, это же отвошенве равно отвошенпю каждого парзллелограмма, к ему соответствующему, т.
е. (по предположенпю) пределу отвошеввя части к части." лт Эта лемма н ее следствие, сощавляющие в теперешнем наложении основную теорему интегрального исчисления, поотсяиио применяются в аначалахо, в которых аналитические процесс интегриронания заменяется часто сопоставлевпем тов кривой, «оев площдаь ищется, с другое известной кривой хак, чтобы площади соответствующих параллелограммов (алементы интеграла) иаходилвсь н постоянном отнощеиии.
Аващтически щнт процесс равносилен интегрированию при помощи подстановки. — 60— Лемма ю' У подобных фтур длины соопюетствующмх сторон, как прямолмнейкые, юнак и криволинейные, между собес промормиональны, площади же фьпур пропорциональны квадратам сторон. Левка г'Х .Если какая уюдно заданная по положенто фга АСВ стягивается хордою лгВ, м в макай-лкбо ее точке лг, лежащей в области непрерывной крмвьиньг, проведена касательная АЭ, про- А а долженная в обе стороны, и если точки Л и В приближаются друг к дгпюгу и совпадаюпь В.
то я утверждаю, что уыю В 4Э, зак.ноченз ный межгйг хордою и касательной, уменьшается бесконечно м в пределе исчезает. Ибо, если бы этот угол ве исчезал, то между дугою АСВ в касательной АЭ заключался бы угол, равный некоторому данному прямолинейному углу (т. е. ковечвой величины), в следовательно, кривизна в точке Л ъ ве была бы вепрерыввою, в противность вредФт. 8. положению (аиг. 8). Лемма ю'П При гпех же предположениях я утверждаю, что предельное отнотенме дуги, хорды и касательной дгтг к другу равно единице.
Когда точка В приближается к А (миг. 8), то ЯВ и АЭ следует рассматривать продолженными до постояввой прямой Ы, параллельво которой и проводится секущая ВЭ. Пусть дуга сЬ подобна дуге АСВ при всяком положении точке В. При совмещении точек А и В, угол ~ИЬ, по предыдущей лемме, исчезает, следовательво остающиеся постоянка ковечвыми прямые АЬ и Ад и промежуточвая дуга Асй совпадают, и поэтому равны между собою, звачит и постоянно им пропорциовальвые прямые АВ, АЭ и промежуточвав дуга АСВ, исчезающие в пределе, будут иметь своим предельным отвошевием единицу, Следсюпвме 1, Если через точку В провести прямую ВУ(авг.
9) парэллельво касательвой, пересекающую какую-либо прямую АР, проведен- — 61— вую через А в точке Уз, то предельное отношение длины ВГ к исчезающей дуге АСВ равно едшпще, ибо дополявв парзллелограмьш АРВР, вядим что ВВ постоянно равно АЭ. Следствие з. Если через точки .4 и В проводвть различные прямые ВЬ', ВЭ, АУ; АС, пересекающие касательную АЭ и параллельную ей ВВ, то предельное отношение всех отрезков АЭ, АЬ', ВВ, ВС, хорды АВ н дуги АВ друг к другу равно единице.
Следсннте 3. В вяду этого все эти длины, Г !В пря всяком рассуждении о пределах отношений, могут быть взяты одна вместо другой. Фип 9 Лемма УП1 Лемма 1Х .Вели заданные по половкенню прямая АВ и кривая АВСпересекаются под данным ужом А, и от прямой АЪ проводятся внутри этого узла орд инаньы ВЭ, СВ, пересекаюьцие кривую в точках Э и С, и точки В и С совместно приблнясаются к А, то я утверждаю, что плоиизди треуюльников АВЭ и АСЬ' буфт в пределе относиться др4я к друзу, как квадражы сторон. Жели задана прямая А В и направление прямой ВВ, то корда АВ, фьа АСВ и касательная АЭ образуют с прямыми АВ и ВВ тари треуьольника В.4В, ВАСВ, ВАР; ее ьи затем точка В будет приблизкаться к А и совпадет с нею, жо я ужверзкдаю, чню в пределе зти три исчезающие треугольника между собою равны и предельное отношение ик плоигмдей равно единице.
Ибо, когда точка В прибляжается к .4 (онг. 8), то надо рассматрявать, что прямые АВвАР в АВ продолжены довстречи с постоянною прямою «Ьд, параллельно которой и проводится ВЭ, дуге же АСВ строится подобная дуга АсЬ. Когда точки А и В совпадают, то угол ЬАд исчезает, и следовательно, три остающихся постоянно конечными треугольника «АЬ, «.4сЬ, «АЮ совпадают, в виду чего они подобны и равны.
Поэтому и постоянно им подобные треугольники ВАВ, ВАСВ, ВАР будут в пределе между собою равны и подобны. Следсньвие. Следовательно, во всех рассуждениях о пределе отношений эти треуголыаки могут быть взяты одни ва место другого. — 62— Как и в предыдущем, надо подразумевать, что когда точки В и С (евг. 10) приближаются к А, то АР продолжается до заданных прямых дЬ и ес, параллельных ординатам РВ и ЕС и проведенных так, чтобы постоянно было До встречи с этими же прниыми в точках Ь и с продолжзютсл и хорды АВ в АС. Проводщь кривую АЬс, подобную АВС и касательную Ад к обеии кривым в точке А.
Пусп эта кас в сательнзя пересекает ордннаты в точках Р, 6, ~, у. Сохраняя затеи двину Ае неизменной, првближаем точки В и С к точке А до совмещения с нею. Так как в пределе угол сАу исчезает, то кривог б линейные площади АЫ, Асс совпав дут с прямолинейными АУИ, Ауе, следовательно (по леи.
У) онн будут относиться, как квадраты сторон Ад и Ае. Но этим площадки постоянно пропорциональны пло- А щади АВР, АСЕ, и стороны их АР н АЕ пропорциональны сторонаи Ад и Ае, следовательно и площади АВР и АСЕ будут в пределе относиться между собою, как квадраты сторон АР в АЖ Лемма Х Пространства, описываемые телом, накодяиеимся нод действием какой-либо конечной силы, будет ли вта сила постоянная, или нее она будекь ненрврывно увеличиваться или уменьтаться, нри самом начале движения иронорииональны квадраькам времен иа описания. Пусть времена представляются длинамя АР, АЕ (аиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
