А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Однако, подчеркнем еще раз, в классике речьидет об усреднении по периоду колебательного движения. Выражение (6.26) полученодля квантовомеханических средних.А что такое нестационарные состояния осциллятора? Как «увидеть» колебаниячастицы (волнового пакета), аналогичные классическим колебаниям? Рассмотрим самыйпростой случай. Пусть в начальный момент времени состояние частицы описываетсяволновой функцией, которая является суперпозицией двух нижних стационарных состояний осциллятора:1(ψ 0 ( x) + ψ1 ( x) ) .ψ ( x, t = 0) =(6.27)2Тогда, в соответствии с общим способом решения нестационарного уравнения Шредингера, рассмотренным в Л_4, волновая функция системы, удовлетворяющая нестационарному уравнению Шредингера и описывающая эволюцию состояния во времени, запишется виде1 ⎛⎛ ωt ⎞⎛ 3ωt ⎞ ⎞(6.28)ψ ( x, t ) =⎜⎜ ψ 0 ( x) exp⎜ − i ⎟ + ψ 1 ( x) exp⎜ − i⎟⎟ .2 ⎠2 ⎠ ⎟⎠2⎝⎝⎝Для плотности вероятности ρ( x, t ) получаем11222ρ( x, t ) = ψ ( x, t ) = ψ 0 ( x) + ψ 1 ( x) + ψ 0 ( x)ψ 1 ( x) cos ωt .(6.29)22Первые два слагаемых в (6.29) не зависят от времени и дают некоторое статическое распределение плотности вероятности, однако третье слагаемое показывает, что плотностьвероятности в системе перетекает из одной пространственной области в другую, причемэто перетекание происходит с частотой колебаний классической частицы.
Чтобы ещеболее полно установить аналогию с классикой, найдем среднее значение координатычастицы122⎛1⎞x(t ) = ∫ xρ( x, t )dx = ∫ x⎜ ψ 0 ( x) + ψ 1 ( x) + ψ 0 ( x)ψ 1 ( x) cos ωt ⎟dx = x01 cos ωt , (6.30)2⎝2⎠гдеx01 = ∫ xψ 0 ( x)ψ 1 ( x)dx = a 2 = h 2mω .Этот интеграл легко вычисляется с использованием формул Приложения 3. Мы получили, что частица совершает колебательное движение с частотой классических колебанийи амплитудой x01 = h 2mω .Таким образом, мы видели, что движение волнового пакета, подобное движениюклассической частице в осцилляторном потенциале, возникает только в нестационарномсостоянии. В этом смысле стационарные состояния являются чисто квантовыми и неимеют аналога в классической механике.Можно, однако, попытаться сопоставить квантовомеханические плотности вероятности, соответствующие стационарным состояниям, и распределение вероятности обнаружить классический осциллятор в некотором определенном положении в случайныймомент времени.
Пусть классическая частица совершает колебательное движение по законуx = x0 cos ωt .Тогда в интервале координат ( x, x + dx) частица находится в течение времени dtdxdx.dt ==2x&x ω 1 − (x x )008788Поскольку частица проходит все возможные значения своего положения за половинупериода, то вероятность обнаружить ее в интервале ( x, x + dx) есть2dtdxdW ==.(6.31)2Tπx 1 − ( x x )00Как видно, максимальная вероятность для классического осциллятора достигается вблизи точек поворота. Это понятно: вблизи точки поворота скорость частицы мала, и поэтому она там долго находится. Величина1ρ cl ( x) =2πx 0 1 − ( x x0 )в некотором смысле является классической плотностью вероятности и может быть со22поставлена с квантовомеханическим значением ψ (x) .
Зависимости ρ cl (x) и ψ (x) ,соответствующие состояниям с определенным значением энергии, представлены нарис.6.12. Как видно, для малых квантовых чисел поведение кривых существенно раз-лично, однако для больших n (для сильно возбужденных состояний) усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора.Следует, однако, отметить еще раз, что рассмотренная аналогия достаточно условна.
Стационарные состояния квантовой системы не имеют классического аналога.Для классической частицы мы имеем зависимости координаты и импульса частицы отвремени x(t ) и p(t ) , в то время как квантовомеханические средние x и p не зависятот времени и равны нулю для любого стационарного состояния10.
В рассматриваемыхнами стационарных состояниях плотность тока вероятности также равна нулю, то естьотсутствует перетекание плотности вероятности из одной точки пространства в другую.Такая картина не имеет ничего общего с гармоническими колебаниями классическойчастицы в осцилляторном потенциале, также как и с колебаниями квантового волновогопакета, который всегда можно представить в виде суперпозиции некоторого количествастационарных состояний системы.10Следует оговориться. Именно основное состояние квантовой системы (в данном случае, гармоническогоосциллятора) по своим свойствам наиболее близко к состоянию классического осциллятора с минимальным значением энергии. Действительно, в классической механике состоянию с минимальной энергиейсоответствует ситуация, когда частица покоится на дне потенциальной ямы, то есть x(t ) ≡ 0 и p (t ) ≡ 0 .В квантовой теории основному состоянию соответствует волновой пакет с нулевыми средними значениями энергии и импульса, делокализованный вблизи начала координат.
С точностью до квантовой неопределенности значений координаты и импульса (и возникающей вследствие этого энергии нулевых колебаний) такое состояние как раз соответствует частице, «лежащей» на дне потенциальной ямы.88896.1.6.2.Задачи.Определить величину плотности тока вероятности для состоянияψ ( x) = A exp(ikx ) + B exp(− ikx ) .Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольной потенциальной сту⎧0, x < 0,Определить вероятности прохождения и отражения.пеньке V ( x) = ⎨⎩V0 , x ≥ 0.2Нарисовать графики зависимости ψ (x) для случаев «подбарьерного» E < V0 и6.3.6.4.6.5.«надбарьерного» E > V0 движения.Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольном потенциальномбарьере высотой V0 и шириной a , причем E > V0 (надбарьерное прохождение).Определить энергии, при которых вероятность отражения от барьера равна нулю(резонанс прозрачности).Поток частиц с энергией E туннелирует через прямоугольный потенциальныйбарьер высотой V0 и шириной a , причем E = V0 .
Определить зависимость прозрачности барьера от его ширины.238Оценить время жизни α - радиоактивных ядер 22286 Rn и 92 U . Энергии Eα выле-тающих α - частиц соответственно равны 6.6 МэВ и 4.2 МэВ.6.6. Определить средние значения кинетической и потенциальной энергии в основном состоянии линейного гармонического осциллятора.6.7. Волновая функция частицы, находящейся в осцилляторном потенциалеV = mω 2 x 2 / 2 , имеет вид11а) ψ ( x) = Ax 2 exp(− ( x / a) 2 ) ; б) ψ ( x) = Ax 3 exp(− ( x / a) 2 ) ; a = h mω .22Определить, какие значения энергии и с какой вероятностью в этих состоянияхмогут быть измерены.6.8.
Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний системы связанных линейных гармонических осцилляторов с гамильтониа)))))ном H = H 1 + H 2 + α( x1 − x 2 ) 2 , где H i = Ti + mω02 xi2 / 2 - гамильтониан гармонического осциллятора с частотой ω0 , α - константа связи.6.9. Определить энергии стационарных состояний заряженной частицы, находящейсяв гармоническом потенциале U = mω2 x 2 2 , в присутствие внешнего однородногопостоянного электрического поля.6.10. Волновая функция частицы, находящейся в гармоническом потенциале, в момент времени t = 0 определяется выражением1⎛ 1⎞φ( x) = 2 3 ⋅⋅ (1 + x a ) exp⎜ − ( x a ) 2 ⎟ ,⎝ 2⎠a πгде a 2 = h / mω .
Определить среднее значение координаты частицы, как функциювремени.8990Лекция 7.Стационарные состояния в центрально - симметричном поле. Задача Кеплера.Задача об определении стационарных состояний частицы в центральносимметричном потенциале является важнейшей для атомной физики, поскольку любойатом, и в том числе простейший – атом водорода, представляет собой систему с центральной симметрией. Эта же задача важна и в физике атомного ядра, поскольку в первом приближении нуклоны в ядре также движутся в центральном поле.Пусть поле внешних сил описываетсяrцентральным потенциалом V = V ( r ) , потенциал зависит лишь от удаления частицыот силового центра. В частном случаеZe 2V =−(7.1)rтакой потенциал описывает взаимодействиеэлектрона с атомным ядром с зарядом Z .Для задач с центральной симметриейудобно использовать сферическую системукоординат, в которой положение частицыописывается длиной радиус-вектора r идвумя углами θ и ϕ (см.
рис.7.1). Запишемпоэтому стационарное уравнение Шредингера в виде:h2 2∇ ψ(r , θ, ϕ) + V (r )ψ (r , θ, ϕ) = Eψ (r , θ, ϕ) .(7.2)2mПрежде чем приступить к решению задачи на собственные значения (7.2) обратим внимание на то, что в случае поля с центральной симметрией оператор Гамильтона коммутирует с оператором квадрата момента количества движения L̂2 и оператором его z проекции L̂ z , то естьHˆ , Lˆ2 = 0 ,Hˆ , Lˆ = 0 .(7.3)−[][z]Эти равенства легко получаются прямым вычислением коммутаторов, если вспомнить,чтоh2 2h2 1 ∂2Lˆ2∇ =−r,Tˆ = −+2m2m r ∂r 22mr 2∂ ⎞1 ∂2 ⎞⎛ 1 ∂ ⎛⎟,(7.4)Lˆ2 = −h 2 ∆θϕ = −h 2 ⎜⎜ sin θ ⎟ +∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎟⎠⎝ sin θ ∂θ ⎝Lˆ = −ih ∂ ∂ϕ ,zи учесть, что потенциал не зависит от углов θ и ϕ . Вспомним также, что оператор L̂2коммутирует с оператором любой из проекций момента, в том числе, с L̂z :Lˆ2 , Lˆ = 0 .[z]Это значит, что в произвольном центрально-симметричном поле можно найти такие состояния, в которых сразу три физических величины, а именно энергия, квадрат моментаколичества движения и его проекция на ось z имеют точно определенные значения.9091Именно к нахождению таких состояний мы сейчас и перейдем.
При этом найденные нами решения задачи (7.2) будут справедливы для любого центрального поля. Затем болееподробно мы остановимся на особенностях решения задачи для случая кулоновского потенциала (7.1)Наличие центрально симметрии потенциала позволяет искать решение задачи(7.2) методом разделения переменныхψ (r , θ, ϕ) = R(r )Y (θ, ϕ) ,(7.5)где соответственно R(r ) - радиальная, а Y (θ, ϕ) - угловая волновые функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
