А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 19
Текст из файла (страница 19)
B >> 1 . Отметим также, что решение задачи о яме бесконечной глубиныявляется предельным случаем полученного нами решения для ямы конечной глубиныпри выполнении условия B → ∞ . Действительно, из данных, представленных на рис.5.2,5.3, видно, что в этомслучае корни уравнениясоответствуют точкамka → nπ( n = 1,3,5,... для четных иn = 2,4,6,...
для нечетныхсостояний), что как разсоответствует энергетическому спектру бесконечно глубокой ямы.На рис. 5.5 представленыволновыефункции двух нижнихсостояний в потенциальной яме конечной глубины. Важной особенностью этих волновых функций является ненулевая вероятность обнаружить частицу в области классиче− ka ⋅ ctg (ka 2) =7374ски запрещенного движения, то есть для значений координаты x > a 2 . Эту вероятностьможно определить как∞w = 2 ∫ ψ ( x) dx .2a 2Причем, чем ближе энергия состояния к величине V0 , тем медленнее убывает волноваяфункция в области классически запрещенного движения, и тем больше величина w .В заключение этого раздела остановимся на случае E > V0 , соответствующегоинфинитному движению частицы.
Решение стационарного уравнения Шредингера можно найти аналогично случаю, рассмотренному выше. При этом оказывается, что это решение существует для любого значения энергии, т.е. инфинитному движению частицысоответствует непрерывный энергетический спектр, причем стационарные состояниятакже двукратно вырождены: каждому значению энергии можно поставить в соответствие два разных состояния, характеризующихся различной пространственной четностью.На этом примере отметим важную закономерность. Всякий раз, когда движениесистемы ограничено некоторой пространственной областью у системы возникает дискретный энергетический спектр, и, наоборот, если движение инфинитно, энергетическийспектр является сплошным.
Возникает континуум состояний. При этом волновые функции состояний континуума (в простейшем случае, рассмотренном нами, это волны деБройля) не могут быть нормированы на единицу в соответствии с условием2∫ ψ dτ = 1 ,поскольку на бесконечности волновая функция таких состояний не стремится к нулю,хотя и остается ограниченной. Можно показать, что условие нормировки на δ - функцию (см. Л_4) является общим условием нормировки состояний непрерывного спектра.Как мы уже отмечали, невозможность удовлетворить условию квадратичной интегрируемости означает, что стационарные состояния в континууме не могут быть реальнореализованы. На практике состояние частицы в этом случае может быть представленокак волновой пакет, составленный из состояний континуума и обладающий некоторойэнергетической шириной.5.1.5.2.5.3.5.4.Задачи.Показать, что для частицы, движущейся в произвольном потенциальном полеV ( x) , среднее по квантовому состоянию значение импульса удовлетворяет соотd x.
Здесь x - среднее значение координаты, m - масса часношению p x = mdtтицы.Показать, что для частицы, движущейся в гармоническом потенциалеV = mω2 x 2 2 , изменение во времени среднего значения координаты x(t ) опре-деляется классическим законом движения.Частица массы m находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольнойпотенциальной яме шириной a . Написать волновые функции хотя бы двух со2π 2 h 2.стояний, в которых среднее значение энергии частицы равно E =ma 2Состояние частицы в свободном пространстве характеризуется волновой функцией ψ ( x, y, z ) = A( y, z ) sin kx .
Какие значения x - проекции импульса могут бытьизмерены в этом случае?74755.5.Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной бесконечноглубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a . Найти значения p x ,которые могут быть измерены в этом состоянии.
Какова вероятность их измерения? Чему равно среднее значение величины p x ?⎧∞ x < 0,⎪5.6. Частица массы m находится в одномерном потенциале V ( x) = ⎨0, 0 ≤ x ≤ a.⎪V , x > a.⎩ 0Определить, сколько связанных состояний находится в яме в следующих случаях: а) V0 a 2 = 75h 2 m , б) V0 a 2 = h 2 m .5.7. Определить энергию нижнего стационарного состояния частицы в одномернойпрямоугольной потенциальной яме конечной глубины в случаях: а)2mV0 a 2 h 2 << 1 , б) 2mV0 a 2 h 2 >> 1 ( V0 - глубина потенциальной ямы, a - ееширина).5.8. Показать, что волновая функция системы из двух взаимодействующих частицможет быть представлена в виде произведения волновых функций, описывающих относительное движение частиц и движение центра масс.5.9. Дейтрон имеет энергию связи E = 2.23 МэВ, среднее расстояние между протоном и нейтроном a = 2 ⋅ 10 −13 см, возбужденного состояния у дейтрона нет.
Используя эти данные, оценить глубину потенциальной ямы поля ядерных сил.Указание: Яму считать прямоугольной, а ее размер положить равным расстоянию a .5.10. Частица находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме всостоянии ψ ( x, t = 0) = αϕ1 ( x) + βϕ 2 ( x) , ϕ1 ( x) и ϕ 2 ( x) - волновые функции нижних стационарных состояний, α и β - действительные числа, причем α 2 + β 2 = 1 .Определить среднее значение и дисперсию координаты частицы как функциювремени.7576Лекция 6.Туннельный эффект.Рассмотрим теперь одно из важнейших квантовомеханических явлений, котороеделает движение частиц принципиально неклассическим.
Речь идет о так называемомтуннельном эффекте – возможности туннелирования (просачивания) частицы через область классически запрещенного движения.Качественно понять происхождение такого эффекта можно на основе анализарассмотренной выше задачи о стационарных состояниях частицы в потенциальной ямеконечной глубины. Мы видели (см. Л_5), что в области классически запрещенного движения волновая функция, описывающая состояние частицы, отлична от нуля, причемψ ( x) ~ exp(− κx) ,где x - удаление частицы от классической точки поворота, а κ = 2m(V0 − E ) h 2 (см.рис.6.1).
Это значит, что вероятность обнаружить частицу в области классически запрещенного движения (под барьером) на глубине d есть2⎛ 2⎞D ~ ψ ( x = d ) ~ exp(− 2κd ) = exp⎜ −2m(V0 − E ) d ⎟ .(6.1)⎝ h⎠Если рассматривать частицу в яме,отделенной от области инфинитногодвижения потенциальным барьеромконечной ширины d (см. рис.6.1), тоинтуитивно ясно, что выражение (6.1)определяет вероятность проникновения (туннелирования) частицы черезпотенциальный барьер. Величину Dназывают также туннельной проницаемостью (прозрачностью) барьера.Нетрудно обобщить полученный результат на случай потенциального барьера произвольной формы (см.рис.6.2).
Пусть поток частиц с энергией E налетает на потенциальный барьер, описываемыйфункциейV (x) ,слева,причемE < max(V ( x) ) . Тогда с классической точкизрения частицы дошла бы до точки с координатой x1 (классическая точка поворота) и отразились бы от потенциального барьера. Квантовомеханическое просачивание частиц в подбарьерную область приводит к тому, что с ненулевой вероятностью они могут оказаться в другой области классически разрешенногодвижения ( x ≥ x 2 ), т.е. протуннелировать через барьер. По аналогии с (6.1) для вероятности этого процесса запишем⎛ 2 x2⎞D ~ exp⎜ − ∫ 2m(V ( x) − E )dx ⎟ ,(6.2)⎜ hx⎟1⎝⎠где интеграл берется по области классически запрещенного движения. Очевидно, в частном случае потенциального барьера прямоугольной формы выражение (6.2) переходит7677в (6.1).
Как видно из (6.2), вероятность туннелирования экспоненциально сильно зависитот ширины потенциального барьера и его высоты (точнее высоты потенциала в областиклассически запрещенного движения). Также видно, что вероятность туннелированиябыстро убывает с ростом массы частицы. Именно последнее обстоятельство приводит ктому, что туннелирование практически никогда не наблюдается для макроскопическихобъектов.Наши рассуждения являются, конечно, нестрогими и не позволяют определить, втом числе, предэкспоненциальный множитель в выражении (6.2). Более строгий анализрассмотренной ситуации для случая потенциального барьера прямоугольной формы содержится в Приложении 2.
В общем случае выражение (6.2) может быть получено врамках так называемого квазиклассического приближения в квантовой механике.Рассмотрим теперь несколько явлений, некоторые из которых были известны задолго до создания квантовой механики, физическую суть которых удалось понять только в рамках концепции туннелирования.Автоэлектронная эмиссия.Автоэлектронной эмиссией называют явление испускания электронов проводящими телами под действием внешнего электрического поля достаточно большой напряженности. В отличие от термоэлектронной эмиссии, когда эмиссионный ток возникает врезультате нагрева поверхности и образования некоторой доли «горячих» электронов,способных покинуть поверхность, автоэлектронная эмиссия не связана с нагревом поверхности и потому называется холодной или полевой эмиссией. Явление автоэлектронной эмиссии было экспериментально обнаружено Р.Вудом1 в 1897 году, в 1928-1929 году Р.Фаулером2 и Л.Нордхеймом3 была предложена теоретическая модель, в основе которой лежит представление о туннелировании электронов через потенциальный барьер.Действительно, металлический проводник для находящихся в нем свободныхэлектронов представляет потенциальную яму глубиной V0 , схематический вид которойпредставлен на рис.6.3а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
