А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Естественно предположить, что и в квантовой теории частица не можетбыть обнаружена в области бесконечно высокого потенциала, т.е. ψ ( x > a 2) ≡ 0 , то есть уравнение (5.33) можно переписать в виде:d 2 ψ 2mE+ 2 ψ = 0.(5.34)dx 2hЗдесь x ∈ (− a 2 , a 2) . Полагая волновую функцию непрерывной, мы должны потребовать, чтобы на границах ямы она обращалась в нуль, т.е.ψ ( x = ± a 2) = 0 .(5.35)Вводя k 2 = 2mE h 2 , запишем общее решение (5.34) в видеψ ( x) = A sin(kx) + B cos(kx) .(5.36)6869Условия (5.35) дают:kaka+ B cos= 0,22(5.37)kaka− A sin + B cos= 0.22Мы получили систему однородных уравнений для определения неизвестных коэффициентов A и B .
Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель обращается вноль, т.е.kakasincos22 = 0,kaka− sincos22откуда находим sin(ka) = 0 , то естьnπn = 0,1,2,...kn =,aТогда для энергии состояний имеемπ2h 2 2En =n , n = 1,2,3,...(5.38)2ma 2Решение с n = 0 следует отбросить, так как в этом случае из (5.35) и (5.36) получаемψ( x) ≡ 0 .Таким образом, в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме формируется дискретный энергетический спектр, определяемый соотношением (5.38).
Положение энергетических уровней представлено на рис.5.1. В частности, минимальнаяэнергия частицы в яме (энергия основного состояния) естьπ2h 2E1 =.(5.39)2ma 2и не равна нулю, как это следовало ожидать сточки зрения классической механики. Происхождение этой ненулевой энергии основногосостояния легко понять исходя из соотношениянеопределенностей. Действительно, если частица локализована в размере a (ширина ямы),то у нее есть неопределенность значения импульса ∆p ~ h a , а с этой неопределенностьюсвязано наличие у частицы кинетической энергии. Поскольку в рассматриваемых нами условиях среднее значение импульса частицы равнонулю (это очевидно: частица находится в одномерном статическом потенциале), то характерную величину кинетической энергии можноопределить какh2(∆p) 2~,(5.40)T≅2m2ma 2что качественно совпадает с точным значением(5.39).
Конечно, речь идет лишь о качественA sin6970ном понимании эффекта, однако мы установили фундаментальный факт: ограничениеобласти пространственной локализации частицы неизбежно ведет к появлению у неечисто квантовой добавки к энергии, которая тем больше, чем меньше размер областилокализации частицы. В частности, для электрона, локализованного в размере a ~ 1 А,получаем энергию в несколько электронвольт. Аналогично, если нуклон локализован вразмере ~10-13 см, то его кинетическая энергия окажется порядка нескольких мегаэлектронвольт. Таким образом, зная пространственный размер системы, в квантовой теориимы тут же можем оценить некоторый минимальный масштаб энергии системы.Закончим теперь решение задачи и найдем систему собственных функций оператора Гамильтона для частицы в яме.
Из соотношений (5.37) имеемB A = ±tg (k n a 2) = ±tg (πn 2) .Это означает, что для нечетных n A = 0 , B ≠ 0 , а для четных, наоборот A ≠ 0 , B = 0 ,т.е. система характеризуется следующим набором состоянийnπx⎧⎪⎪ Bn cos a , n = 1,3,5,...ψ n ( x) = ⎨(5.41)⎪ A sin nπx , n = 2,4,6,..⎪⎩ naКоэффициенты Bn и An должны быть определены из условия нормировки квадрата модуля волновой функции на единицу. Несложный расчет дает An = Bn = 2 a . Волновыефункции нескольких нижних состояний также приведены на рис.5.1.Итак, система волновых функций стационарных состояний построена.
Легко вчастности убедиться, что условие ортонормированности базиса выполнено, т.е.a 2∫ψ*m( x)ψ n ( x)dx = δ mn .−a 2Остановимся на еще одном важном свойстве полученных базисных функций. Все онихарактеризуются определенной четностью: состояния с n = 1,3,5,... характеризуются четными волновыми функциями, состояния с n = 2,4,6,.. - нечетными. С математическойточки зрения удобно ввести новую физическую величину – четность и соответствующийей оператор четности P̂ . Определим этот оператор следующим образомPˆ ψ ( x) = ψ (− x) .(5.42)А теперь рассмотрим задачу на собственные значения оператора четности:Pˆ ψ ( x) = λψ ( x)(5.43)Подействуем на соотношение (5.43) оператором четности еще раз:Pˆ ( Pˆ ψ ( x)) = Pˆ (λψ ( x)) = λPˆ ψ ( x) = λ2 ψ ( x) .С другой стороны из (5.42) имеемPˆ ( Pˆ ψ ( x)) = Pˆ (ψ(− x)) = ψ ( x) .Поэтому λ2 = 1 , илиλ = ±1 ,т.е.
из (5.42), (5.43) следует, чтоψ (− x) = ±ψ ( x) ,то есть собственные функции оператора четности должны быть либо четными, либо нечетными функциями координаты. Именно такому условию удовлетворяют найденныенами функции стационарных состояний.
То есть мы нашли состояния, в которых сразу7071две величины (энергия и четность) имеют точно определенные значения. Значит операторы, соответствующие этим величинам должны коммутировать между собой, т.е.Pˆ , Hˆ = 0 .В последнем равенстве легко убедиться непосредственно, учитывая свойство симметриипотенциала V ( x) = V (− x) . Это означает, что мы могли заранее облегчить себе задачу иискать набор функций стационарных состояний в виде системы четных и нечетныхфункций. Мы воспользуемся этим приемом при анализе следующей системы.[ ]Частица в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины.Рассмотрим теперь задачу об определении стационарных состояний частицы впрямоугольной потенциальной яме конечной глубины.
Пусть потенциал задан в следующем виде:⎧⎪0, x ≤ a 2 ,(5.44)V ( x) = ⎨⎪⎩V0 , x > a 2 .Запишем стационарное уравнение Шредингера в каждой из областей непрерывности потенциала (см. рис.5.2)h 2 d 2ψ−+ V0 ψ = Eψ ,области I,III2m dx 2h 2 d 2ψобласть II−= Eψ .2m dx 2Мы должны рассмотреть две возможности: E < V0 ,что соответствует связанному состоянию частицы вяме, и E > V0 , что соответствует инфинитному движению частицы в пространстве.Более подробно остановимся на случае связанных состояний частицы в яме E < V0 . Введемk 2 = 2mE h 2 и κ 2 = 2m(V0 − E ) h 2 . Обе введенныевеличины являются положительными. Тогда в каждой из областей непрерывности потенциала уравнение Шредингера имеет видобласти I,IIIψ ′′ − κ 2 ψ = 0 ,область IIψ ′′ + k 2 ψ = 0 .Решения этих уравнений запишем в видеψ I ( x) = AI exp(− κx) + BI exp( κx) ,область Iψ II ( x) = AII sin( kx) + BII cos(kx) ,(5.45)область IIобласть IIIψ III ( x) = AIII exp(− κx) + BIII exp( κx) .Волновая функция должна удовлетворять условию квадратичной интегрируемости.
Поэтому необходимо потребовать, чтобы коэффициенты AI = BIII = 0 . Остается четыре коэффициента BI , AII , BII , AIII , для которых из условий непрерывности волновой функциии ее первой производной2 легко получить четыре уравнения.2С физической точки зрения эти условия означают требование непрерывности вектора плотности токавероятности в точках разрыва потенциала.7172Однако, можно существенно упростить решение задачи, если учесть, что в рассматриваемом нами случае состояния также характеризуются определенной четностью.Поэтому из набора функций (5.45) мы должны выделить решения, характеризующиесяопределенной честностью.
Рассмотрим сначала систему четных волновых функций, т.е.функций, не меняющих свой знак при инверсии координаты ψ( x) = ψ (− x) . Очевидно,соответствующие решения имеют видψ I ( x) = BI exp( κx) ,область Iобласть IIψ II ( x) = B II cos(kx) ,(5.46)ψ III ( x) = AIII exp(− κx) .область IIIПри этом BI = AIII . «Сшивая» функции и первые производные в точке разрыва потенциала x = a 2 , найдем3B II cos(ka 2) = AIII exp(− κa 2 ) ,− kBII sin( ka 2) = − κAIII exp(− κa 2 ) .Поделив одно уравнение на другое, и, учитывая, что κ = 2mV0 h 2 − k 2 , получим2mV0 a 2ka ⋅ tg (ka 2) =− (ka) 2 .(5.47)2hПолученное уравнение есть уравнение для определения энергетического спектра системы. Будем анализировать решениеуравнения (5.47) графически.
Корниуравнения могут быть определены какабсциссы точек пересечения функцииf1 (ξ) = ξ ⋅ tg (ξ 2) и дуги окружностиf 2 (ξ) = B − ξ 2 (здесь ξ = ka ) радиусаB = 2mV0 a 2 h 2(см. рис.5.3). Каквидно, хотя бы один корень уравнения,т.е. одно четное связанное состояниевсегда существует. С увеличением радиуса окружности (глубины ямы, илиее ширины) число связанных состоянийвозрастает.Аналогичным образом легкорассмотреть случай нечетных состояний ψ (− x) = −ψ ( x) . Запишем для этого случая решения стационарного уравнения Шредингера в видеψ I ( x) = BI exp( κx) ,область Iψ II ( x) = B II sin( kx) ,(5.48)область IIобласть IIIψ III ( x) = AIII exp(− κx) ,причем BI = − AIII . Так же как и в предыдущем случае из условия непрерывности функции и ее первой производной получаем уравнение для определения значений энергиинечетных состояний3Условия непрерывности в точке x = − a 2 дают такие же соотношения.72732mV0 a 2− (ka) 2 .(5.49)h2Структуру энергетического спектра, получающегося из решения уравнения (5.49), иллюстрирует рис.5.4.
В рассматриваемом случае, если яма достаточно мелкая, связанногосостояния может и не быть. Из графика видно, что условием его возникновения являетсянеравенство2mV0 a 2≥ π2 .(5.50)2hПри дальнейшем увеличении радиуса окружности B появляются новые связанные состояния, характеризующиеся нечетной волновой функцией.
Сопоставление рис.5.3 и 5.4показывает, что, как и в случае ямыбесконечной глубины, четные и нечетные состояния чередуются: основноесостояние является четным, следующее состояние – нечетное, потом –снова четное и т.д.Важной особенностью рассматриваемой задачи является то, чтоструктура спектра определяется параметром B = 2mV0 a 2 h 2 . Например,если глубина ямы увеличилась в 4раза, а ее ширина уменьшилась в двараза, общее число связанных состояний и их относительное расположениепо энергиям остается неизменным.Глубокой ямой мы будем считать яму,в которой имеется большое число состояний, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
