А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поэтому для его решения необходимо задать одно начальное условие, аименно, волновую функцию в некоторый начальный (например, нулевой) момент времениrrψ (r , t = 0) = ψ 0 (r ) .(4.11)Тогда, зная волновую функцию системы в начальный момент времени, проинтегрировав(4.10), мы сможем определить волновую функцию в любой наперед заданный моментвремени.Нестационарное уравнение Шредингера есть основное уравнение квантовой механики и фактически приходит на смену классическим уравнениям Ньютона. Как мыуже отмечали, постановка задачи в классической механике (по начальным значениямкоординаты и скорости (или импульса) определить значения этих величин в любой наперед заданный момент времени) невозможна в квантовой теории.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга не позволяют в принципе задать начальные условия так, какэто делается в классической теории. Состояние микрообъекта в квантовой теории описывается волновым полем, ψ - функцией. Вся информация, которую мы можем узнать осистеме, содержится в ее волновой функции.Релятивистское волновое уравнение.Прежде чем перейти к обсуждению важнейшего вопроса теории о физическомсмысле волновой функции и о том, как по известной волновой функции определять измеряемые в экспериментах параметры микрообъекта, попытаемся получить («угадать»)релятивистское волновое уравнение.
Как известно, в релятивистской теории пространственные координаты и время образуют единый четырехмерный вектор. Поэтому в релятивистское волновое уравнение производные по времени и по пространственным коор2Во избежание недоразумения отметим, что проведенные рассуждения ни в коей мере не являются «выводом» уравнения Шредингера, которое не может быть получено из каких-либо более общих физическихзаконов. Это лишь некоторый способ «угадать» его.4748динатам должны входить симметричным образом: например, уравнение может содержать производные второго (или первого) порядка и по времени и по координате.Для релятивистской частицы связь энергии и импульса задается соотношениемE 2 = p 2c 2 + m 2c 4 .(4.12)Поэтому дисперсионное соотношение ω(k ) для волны де Бройля записывается в видеω2 = k 2 c 2 + m 2 c 4 h 2 .(4.13)Теперь легко угадывается волновое уравнение, допускающее решение в виде плоскойволны (4.1) с зависимостью ω(k ) в виде (4.13):21 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ⎛ mc ⎞= 2 −⎜(4.14)⎟ ψ.∂xc 2 ∂t 2⎝ h ⎠Полученное уравнение называется уравнением Клейна3 – Гордона4 и было получено имив 1926 году.
В частном случае, если масса частицы равна нулю (фотон), уравнение (4.14)превращается в «обычное» волновое уравнение, описывающее, например, электромагнитное поле5. Мы не будем здесь обсуждать целый комплекс проблем, возникших с толкованием смысла уравнения Клейна – Гордона в квантовой теории. Отметим только, чтооказывается возможным написать еще одно релятивистское волновое уравнение, содержащее только производные первого порядка по времени и по пространственной координате, такое, что его решением является плоская волна де Бройля (4.1), а связь ω(k ) задается с помощью (4.13). Соответствующее уравнение было получено Дираком в 1928 году и носит его имя.Волновая функция и ее физический смысл.Какой физический смысл следует придать введенной нами волновой функции?rМы уже обсуждали это вопрос (см.
Л_2) и пришли к выводу, что это поле ψ (r , t ) определяет вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства в заданныйr 2момент времени. Точнее, квадрат модуля волновой функции ψ (r , t ) есть плотность веrроятности обнаружить частицу в точке с координатой r в момент времени t :rs 2ρ(r , t ) = ψ(r , t ) .(4.15)Естественно полагать, что где-то в пространстве частица достоверно существует. Поэтому волновая функция должна удовлетворять следующему условию нормировкиr 2 3(4.16)∫ ψ(r , t ) d r = 1 .VЗдесь интеграл берется по области определения волновой функции, как правило, это всебесконечное пространство.
Таким образом, состояния частицы должны описыватьсяфункциями с интегрируемым квадратом модуля.Здесь нас ожидает «неприятность». Единственная волновая функция, которую мыуже знаем, это волна де Бройля, соответствующая частице с заданным значением импульса. Поскольку для этой волны2r 2⎛ i rr⎞ψ (r , t ) = exp⎜ ( pr − Et ) ⎟ ≡ 1 ,⎝h⎠(4.17)3O.Klein (1894 – 1977) – шведский физик – теоретик.W.Gordon (1893 – 1939) – немецкий физик – теоретик.5Некоторое отличие есть и в этом случае: наше уравнение записано для одной скалярной функции, в теории электромагнитного поля аналогичное уравнение возникает для векторной функции, например, векторного потенциала.44849то нормировочный интеграл, очевидно, расходится.
С другой стороны, такая ситуацияпонятна. Если импульс известен точно (а для волны де Бройля это именно так), то из соотношения неопределенностей для неопределенности координаты получаем∆x ~ h ∆p x → ∞ ,(4.18)т.е. частица делокализована по всему бесконечному пространству. Именно такое абсолютно делокализованное состояние и задает плоская волна. Конечно, к реальному состоянию частицы плоская волна прямого отношения не имеет.
Это математическая абстракция. Любой физический процесс происходит, может быть и в макроскопическибольшой, но ограниченной области пространства. Поэтому мы можем утверждать, чтосостояние частицы с точно определенным значением импульса принципиально невозможно, а волновая функция вида (4.1) или (4.7) не описывает никакого состояния реального физического объекта. С другой стороны, если волновой пакет достаточно широкий,т.е.
его пространственной размер много больше длин волн де Бройля его образующих,приближение плоской волны часто оказывается очень удобным с математической точкизрения.Таким образом, помимо функций с интегрируемым квадратом модуля в квантовой механике бывает удобно работать и с функциями, которые условию нормировки(4.16) не удовлетворяют.
Рассмотрим вопрос о нормировке таких функций на примересостояния (4.1). Мы опять для простоты ограничимся одномерным случаем. Будем считать, что состояние в виде плоской волны⎛i⎞ψ p ( x) = A exp⎜ px ⎟(4.19)⎝h ⎠( A = 1 L - нормировочная константа, индекс « p » указывает, что это состояние с импульсом p ) задано на отрезке x ∈ (− L 2 , L 2 ) . Мы полагаем, что L велико и в дальнейшем перейдем к пределу L → ∞ .Рассмотрим значение следующего интегралаL2I=∫ψ*p'( x)ψ p ( x)dx(4.20)−L 2Вычисление интеграла (4.20) даетL2sin ∆kL 21⎛i⎞I=exp⎜ ( p − p' ) x ⎟dx =.∫L −L 2∆kL 2⎝h⎠(4.21)Здесь ∆k = ( p − p ' ) h . При ∆k ≠ 0 в пределе L → ∞ получаем, что I → 0 , т.е.
волновыефункции состояний с различными значениями импульса становятся ортогональны другдругу. В случае ∆k ≡ 0 получаем, что I = 1 для любого конечного сколь угодно большого значения L , т.е. условие нормировки (4.16) оказывается выполненным. Указаннаяпроцедура может быть использована при решении конкретных задач, однако не совсемудобна, так как в исходной функции (4.19) появился нормировочный размер L . Поэтомуобычно поступают немного иначе. Пусть нормировочная константа A = 1 . Тогда вычисление интеграла (4.21) в пределе L → ∞ даетL2sin ∆kL 2⎛i⎞I = lim ∫ exp⎜ ( p − p' ) x ⎟dx = lim= 2πhδ( p − p' ) .L →∞L →∞∆k 2⎝h⎠−L 2sin(αx)= πδ( x) , δ(ax) = δ( x) a .α →∞xОтсюда возникает условие нормировки на δ - функцию:Мы здесь использовали известные соотношения lim4950∞∫ψ*p'( x)ψ p ( x)dx = δ( p − p' ) ,(4.22)−∞где1iexp( px) .h2πhВ трехмерном случае аналогично получаемr 3r r* r∫ ψ p ' ( r ) ψ p ( r ) d r = δ( p − p ' ) ,ψ p ( x) =(4.23)(4.24)причем1i rrexp( pr ) .(4.25)32h(2πh)Условие нормировки на δ - функцию используется в квантовой теории всякий раз, когдаволновая функция не может быть нормирована согласно условию (4.16).rψ p (r ) =Уравнение непрерывности.
Вектор плотности тока вероятности.Получим теперь одно очень важное свойство, которому удовлетворяют волновыефункции, являющиеся решениями нестационарного уравнения Шредингера в произвольном потенциальном поле. Запишем для этого еще раз уравнение Шредингераrr∂ψh2 2ih=−∇ ψ + V ( r , t )ψ ( r , t ) ,(4.26)2m∂tа также уравнение, комплексно сопряженное ему:rr∂ψ *h2 2 *− ih=−∇ ψ + V ( r , t )ψ * ( r , t ) .(4.27)2m∂trrУмножим (4.26) на ψ * (r , t ) , (4.27) – на ψ(r , t ) , а затем вычтем одно из другого. Получим:⎛ ∂ψ∂ψ * ⎞h2 * 2⎟⎟ = −(ih⎜⎜ ψ *+ψψ ∇ ψ − ψ∇ 2 ψ * ) ,(4.28)∂t∂tm2⎝⎠илиr 2∂ ψ(r , t )h=−∇ ψ * ∇ ψ − ψ ∇ψ * .(4.29)∂t2mir 2rВспоминая, что ψ(r , t ) = ρ(r , t ) - плотность вероятности, перепишем (4.29) в видеr∂ρ+ div j = 0 ,(4.30)∂tгде введено обозначениеrh(4.31)j=ψ * ∇ψ − ψ ∇ψ * .2miУравнение типа (4.30) хорошо известно в различных областях физики, в частности, вэлектродинамике и является математическим выражением закона rсохранения электрического заряда, причем ρ есть плотность электрического заряда, а j - плотность электрического тока.
Уравнение (4.30) означает, что электрический заряд не исчезает и не появляется, а только перетекает из одной точки пространствав другую. Аналогичное уравrнение в гидродинамике ( ρ - плотность жидкости, j - поток массы) означает закон соrхранения массы. Поэтому по аналогии естественно в квантовой теории величину j на-(())5051звать вектором плотности тока вероятности. Полученное нами уравнение непрерывности (4.30) означает, что плотность вероятности в квантовой теории перетекает из однойпространственной точки в другую подобно заряду в электродинамике, или массе в гидродинамике.Отметим, что полученные соотношения являются общими и не зависят от конкретного вида потенциального поля, в котором движется частица. Для нас было важнымrтолько требование, чтобы потенциальная функция V (r , t ) была вещественной.
Легко показать, что введение в теорию комплексного потенциала может быть использовано дляописания процесса рождения или гибели частицы, причем скорость рождения (гибели)rбудет определяться мнимой частью потенциала Im V (r , t ) .Определение средних значений и дисперсии импульса и координаты частицы.rИтак, в квантовой механике волновая функция ψ(r , t ) определяет состояние системы.
Однако сама волновая функция непосредственно не может быть измерена в эксперименте. Вместо нее экспериментатор измеряет такие величины, как координата, импульс, энергия, момент импульса и т.д. Как, зная волновую функцию системы, определить значения этих и других физических величин? Мы знаем уже, что результат измерения, вообще говоря, может оказаться различным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
