А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, мы показали, что одной из причин24 изотопическогосмещения уровней является конечная масса атомных ядер.Чуть подробнее остановимся на изотопическом сдвиге в водороде. Как известно,в природе существует три изотопа атомов водорода: собственно водород, тяжелый водород (дейтерий) и сверхтяжелый водород (тритий). Ядро тяжелого изотопа (дейтрона) состоит из протона и нейтрона, ядро сверхтяжелого изотопа (тритона) – из протона и двухнейтронов. Поэтому, например, выражения для потенциалов ионизации всех трех изотопов можно записать в виде:I ≈ Ry (1 − m M ) ,(3.55)где M - масса каждого из ядер.
В первом приближении можно считать, что массы дейтрона и тритона превосходят массу протона соответственно в два и три раза. Поэтомудля разницы потенциалов ионизации изотопов водорода и дейтерия имеем⎛ mmm ⎞⎟−(3.56)= Ry≈ 2.7 ⋅ 10 − 4 Ry ,I D − I H ≈ Ry⎜⎜m⎟22mmp ⎠p⎝ pАналогично, для изотопа трития получим⎛ m2mm ⎞⎟−= Ry≈ 3.6 ⋅ 10 − 4 Ry .I T − I H ≈ Ry⎜(3.57)⎜m⎟33mmppp⎝⎠Аналогично можно рассчитать и изменение длин волн спектральных линий.
Очевидно,соответствующая величина будет достаточно малой, поэтому для селективного воздействия электромагнитного излучения на атомы только одного из изотопов (например, дляего ионизации с целью последующего разделения изотопов) требуется излучение с высокой степенью монохроматичности.Мюонный атом водорода.Рассмотрим еще одну интересную водородоподобную систему – так называемыймюонный атом водорода. В этой системе вокруг протона (а может быть дейтрона, илитритона) вращается не электрон, а отрицательно заряженный мюон.
Эта частица по своим свойствам очень похожа на электрон, но тяжелее электрона в 207 раз: mµ = 207m .Кроме того, частица нестабильна, время ее жизни составляет τ µ ≈ 2.2 мкс. Это оченьмного, почти бесконечно много по масштабам атомного времени. Используя модель Бора для описания этой системы (в пренебрежении эффектами, связанными с конечноймассой ядра), получим, что радиус первой орбиты в такой системе равенaµ = h 2 mµ e 2 = a 0 207 ≈ 2.5 ⋅ 10 −11 см,а потенциал ионизацииI µ = mµ e 4 2h 2 = 207 Ry ≈ 2.8 кэВ.Система оказывается очень компактной, и именно это обстоятельство вызывает к нейинтерес.
Мюонные атомы могут образовывать молекулы также как и обычные атомы.При этом расстояние между ядрами оказывается порядка размера орбит электронов, образующих химические связи25. Поэтому, если характерное расстояние между атомамиводорода в обычной молекуле водорода составляет величину порядка ангстрема, то вмюонной молекуле это расстояние на два порядка меньше. Это делает мюоонные молекулы водорода интересными с точки зрения проблемы ядерного синтеза. Оказывается,Существуют и другие причины возникновения изотопического сдвига, с которыми мы познакомимся44позже.25Строение простейших молекул мы будем обсуждать более подробно в конце курса.2445при расстоянии между дейтронами (или дейтроном и тритоном) достигаемом в мюонноймолекуле реакция синтеза происходит с достаточно большой вероятностью, так что ужене требуется создание высокотемпературной плазмы.
При этом сам мюон в реакции неучаствует, выступая в роли своеобразного катализатора (отсюда название – мюонныйкатализ). Принципиальная возможность такого способа осуществления управляемойтермоядерной реакции была продемонстрирована в экспериментах группыЛ.Альвареца26 в 1956 году.3.1.3.2.3.3.Задачи.Показать, что в пределе больших квантовых чисел ( n >> 1 ) частота излучения напереходе n → n − 1 совпадает с классической частотой обращения электрона поорбите.Считая движение электрона в атоме классическим, определить время паденияэлектрона на ядро в водородоподобном ионе с зарядом Z .
Радиус начальной орбиты r0 = a 0 n 2 / Z .Последовательность длин волн линий в спектральной серии некоторого элементаопределяется соотношением (серия Пикеринга)11 ⎞⎛ 1= R⎜ 2 − 2 ⎟ , n = 2.5,3,3.5,4,...λnn ⎠⎝2Определить, что это за элемент, и переходам между какими уровнями соответствует данная серия.3.4.3.5.3.6.3.7.3.8.26В рамках модели Бора определить радиусы орбит, уровни энергий и потенциалионизации мюонного атома водорода (р + µ- ).В рамках модели Бора определить радиусы орбит, уровни энергий и потенциалионизации атома позитрония (е+ + е-).Воспользовавшись квантовым условием Бора, определить радиусы орбит и уровrrни энергий в центрально-симметричном силовом поле F = −kr .
Орбиты считатькруговыми.Электрон движется по круговой орбите в центрально-симметричном потенциалеV (r ) = −V0 exp − α 2 r 2 , V0 > 0 . В рамках модели Бора найти условие, при выполнении которого в яме существует хотя бы один уровень.Квантование в макроскопической системе: Искусственный спутник массыm = 100 кг движется по круговой орбите на высоте H = 100 км над поверхностью Земли. В рамках модели Бора оценить номер квантового числа, соответствующего движению по такой орбите. Определить изменение радиуса орбиты приизменении квантового числа на величину ∆n ≅ 1 .()45L.Alvarez (1911-1988) – американский физик – экспериментатор, Нобелевская премия (1968) «За вклад вфизику элементарных частиц …»46Лекция 4.Основы формализма квантовой механики.Нестационарное уравнение Шредингера.Выше мы уже отмечали, что модели Бора и Бора – Зоммерфельда, являющиесяполуклассическими по своей сути, не могут описать особенности динамики атомныхэлектронов.
Более того, эти модели, в основе которых лежит движение электронов понекоторым разрешенным орбитам, противоречат нашим представлениям о необходимости вероятностного описания процессов в микромире атомно-молекулярных масштабов(см. Л_2). Наша задача теперь – формализовать описание движения микрочастиц (вдальнейшем для определенности мы будем говорить об электронах) в пространстве, рассмотренное нами ранее на качественном уровне. Мы уже говорили о том, что частицуследует описывать с помощью некоторого волнового поля, причем это поле связано свероятностью обнаружения микрообъекта в той или иной области пространства.
В частности, частице с импульсом p (мы рассматриваем одномерный случай) соответствуетволна⎛i⎞ψ ( x, t ) = exp⎜ ( px − Et ) ⎟ = exp(i(kx − ωt ) ) .(4.1)⎝h⎠Попробуем теперь угадать волновое уравнение, решением которого является плоскаяволна (4.1), причем связь ω и k (дисперсионное соотношение) задается в виде:h 2k 2E = p 2 2m или.(4.2)hω =2mДифференцируя один раз ψ ( x, t ) по времени и дважды – по пространственной координате, получим∂ψ∂ 2ψ= −iωψ ,= −k 2 ψ .(4.3)2∂t∂xСопоставляя теперь (4.3) с дисперсионным соотношением (4.2), мы понимаем, что искомое уравнение будет уравнением первого порядка по времени и - второго по пространственной координате. Действительно, умножая первое из соотношений (4.3) на ih , получим∂ψih= hωψ .(4.4)∂tАналогично, домножим второе из соотношений (4.3) на − h 2 2m :h 2 ∂ 2ψ h 2k 2=ψ.(4.5)2m ∂x 22mСравнивая (4.4) и (4.5), получаем, что решение в виде плоской волны (4.1) с дисперсионным соотношением (4.2) удовлетворяет уравнению∂ψh 2 ∂ 2ψ=−ih.(4.6)∂t2m ∂x 2Уравнение (4.6) было получено Э.
Шредингером1 в 1926 году, носит его имя и описывает движение частицы в свободном пространстве.Обобщение на трехмерный случай делается элементарно. Выражение для волныде Бройля запишем в виде−1E.Schroedinger (1887-1961) – австрийский физик – теоретик, Нобелевская премия (1933).4647(причем)rrr⎛ i rr⎞ψ (r , t ) = exp⎜ ( pr − Et ) ⎟ = exp i (k r − ωt ) ,⎝h⎠(4.7)rh 2k 2 h2 2=k x + k y2 + k z2hω =(4.8)2m2mЗдесь k x , k y , k z - проекции волнового вектора на соответствующие оси координат.()Тогда, очевидно, нестационарное уравнение Шредингера имеет вид∂ψh 2 ⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎞h2 2⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = −(4.9)=−∇ ψ.ih∂t2m ⎝ ∂x2m∂y∂z ⎠rОбобщим это уравнение на случай движения частицы в потенциальном поле V (r , t ) .
Дляэтого вспомним, что в правой части уравнения (4.9) фактически стоит кинетическаяэнергия частицы (см. выражение (4.2)). При наличии потенциального поля ее следуетзаменить на полную энергию, т.е. добавить в (4.9) потенциальный членrr∂ψh2 2ih=−∇ ψ + V ( r , t )ψ ( r , t ) .(4.10)∂t2mУравнение (4.10) есть нестационарное уравнение Шредингера, описывающее движениечастицы в произвольном потенциальном поле2.Как видно, уравнение Шредингера (4.10) является уравнением первого порядкапо времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
