А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В рамках такого подхода оказывается невозможным прогресс в описании строения многоэлектронных атомов, их взаимодействия с внешними электромагнитными полями и друг с другом, в частности вопрос овозникновении химической связи и образовании молекул. Более того, само описаниедвижения электрона по некоторым разрешенным орбитам противоречит нашим квантовым представлениям о том, что такие орбиты в принципе не могут существовать, поскольку в силу соотношения неопределенностей одновременно точные значения координаты и скорости электрона определены быть не могут.Модель Бора и гипотеза де Бройля.Обсудим теперь связь между постулатом квантования момента количества движения в атоме и волновыми свойствами электрона (гипотеза де Бройля). Для этого перепишем квантовое условие Бора (3.22) в виде2πhL z = mv n rn =⋅ rn = nh ,λDилиnλ D = 2πrn ,(3.41)т.е.
на длине орбиты укладывается целое число волн де Бройля. Условие (3.41) имеетпонятный физический смысл. Фактически стационарные орбиты Бора соответствуютстоячим электронным волнам де Бройля в атоме.15Одна из причин этого – быстрое уменьшение вероятности перехода с увеличением длины волны спектральной линии. Причину этого мы будем обсуждать при изучении квантовой теории электромагнитныхпереходов.16Возможность перехода к классическому пределу при описании квантовой системы требует, конечно,40гораздо более подробного рассмотрения.17A.Sommerfeld (1868-1951) – немецкий физик – теоретик.41Релятивистское обобщение модели Бора.Выше мы уже обращали внимание на то, что в тяжелых водородоподобных системах ( Z >> 1 ) электрон становится релятивистским, т.е. нашей модели уже недостаточно.
Рассмотрим теперь релятивистское обобщение модели Бора. Так же как и раньше,ограничимся случаем круговых орбит. Запишем релятивистское уравнение движения ввидеrdmvZe 2 r=− 3 r.(3.42)dt 1 − (v c )2rПоскольку на круговой орбите модуль вектора скорости остается постоянным, уравнение (3.42) можно переписать в видеγmv 2 Ze 2= 2 .(3.43)rrЗдесь γ = 1 1 − (v c ) - релятивистский фактор. Фактически уравнение движения (3.43)отличается от нерелятивистского случая (3.23) появлением множителя γ .Будем также считать, квантовое условие Бора (3.22) верно и при релятивистскихскоростях. Тогда имеем:L z = γmvr = nh .(3.44)Опять имеем два уравнения (3.43) и (3.44) для определения радиусов орбит и соответствующим им скоростей движения.
После несложных преобразований получаемv n c = αZ n ,(3.45)2n221 − (αZ n ) .(3.46)ZОтметим, в частности, что выражения для скорости движения по орбите, полученные врелятивистском и нерелятивистском случаях, совпадают. Найдем теперь энергию электрона на орбите. Поскольку при движении в кулоновском полеZe 22E = γmc 2 −= γmc 2 (1 − v 2 c 2 ) = mc 2 1 − (v c ) ,(3.47)rполучимrn = a 0E n = mc 2 1 − (αZ n ) .(3.48)Может быть, наиболее удивительным является то, что решение задачи существует недля любых Z .
Как видно из (3.46) и (3.48) для основного состояния системы ( n = 1 ) полученные выражения теряют смысл для сверхтяжелых ядер с зарядом больше некоторого критического Z * :Z > Z * = 1 α = 137 .(3.49)2При Z = Z * = 137 полная энергия электрона (включая энергию покоя) обращается вноль, а орбита имеет нулевой радиус. Для ядер с большим зарядом устойчивой орбиты,соответствующей случаю n = 1 , в рамках модели Бора найти нельзя. То есть модель Борафактически предсказывает существование конца таблицы Менделеева.
Интересно, чтоточно такой же ответ получается и в рамках релятивистской квантовой теории, базирующейся на решении волнового уравнения Дирака18. Проверить сделанные предсказания напрямую вряд ли возможно, поскольку синтезировать ядра со столь большим зна-4118P.A.M.Dirac (1902-1984) – английский физик – теоретик, Нобелевская премия (1933).42чением Z (необходимо еще электронную оболочку создать) в настоящее время проблематично19.Чуть более подробно остановимся теперь на случае небольших значений Z ирассмотрим вопрос о релятивистских поправках к энергетическим уровням атома водорода и водородоподобных ионов. Отметим, прежде всего, что в выражение (3.48) включена также энергия покоя электрона, которую мы не учитывали в рамках нерелятивистской теории. Поэтому для сравнения результатов и нахождения релятивистских поправок перепишем выражение (3.48), исключив из него энергию покоя~2E n = E n − mc 2 = − mc 2 ⎛⎜1 − 1 − (αZ n ) ⎞⎟ .(3.50)⎠⎝Проводя в (3.50) разложение корня в ряд Тейлора, получаем1Z2~(3.51)E n ≈ − α 2 mc 2 2 ,2nчто, как нетрудно видеть, совпадает с выражением (3.35).
Релятивистская поправка кэнергии δE p получается при учете второго члена разложения корня в (3.50):11 α2Z 2 ⎛Z2 ⎞4⎜⎟.⋅−δE p ≈ − mc 2 (αZ n ) =Ry84 n 2 ⎜⎝n 2 ⎟⎠Например, для основного состояния атома водорода имеем11δE p ≈ mc 2 α 4 = α 2 Ry ≈ 1.8 ⋅ 10 − 4 эВ.84(3.52)(3.53)Экспериментальное доказательство дискретной структуры атомных уровней.Опыты Франка и Герца.В 1913 году Джеймсом Франком20 и Густавом Герцем21 был проведен эксперимент, доказавший наличие в атоме дискретных энергетических уровней. Опыт Франка иГерца состоял в следующем. К разрядной трубке, содержащей катод (К), анод (А) и сетку (С), подавалось напряжение, как показано на рис.3.3 (ускоряющее напряжение междуК и С VKC и слабое тормозящее напряжение между С и А VCA ). Трубка заполнялась насыщенными парами ртути.
Электроныэмитировались с поверхности катода, ускорялись в пространстве между К и С, азатем попадали в тормозящее поле междуС и А. В процессе движения от катода каноду электроны испытывают упругие инеупругие соударения с атомами ртути.При упругих соударениях атом ртути остается в основном состоянии, при этомэнергия электрона практически не меняется. В неупругом соударении электронтеряет энергию, атом переходит в возбужденное состояние. В эксперименте измерялся анодный ток (количество электронов,пришедших на анод) в зависимости от величины напряжения между К и С.
Типичная19На самом деле при таких больших значениях Z необходимо учитывать неточечность атомного ядра, чтоприводит к еще большему увеличению критического заряда.4220J.Franck (1882-1964) – немецкий физик, Нобелевская премия (1925).21G.Hertz (1887-1975) – немецкий физик, племянник Генриха Герца, Нобелевская премия (1925).43вольт - амперная характеристика (ВАХ), получающаяся в таких экспериментах, приведена на рис.3.4. Она характеризуется немонотонной зависимостью анодного тока от напряжения между катодом и сеткой, причем «расстояние» между максимумами (минимумами) тока составляет примерно 4.9 эВ. Физическая причина этого заключается в следующем.
Если энергия электрона, набранная в промежутке между катодом и сеткой, недостаточна для того, чтобы возбудить атом, он будет испытывать только упругие столкновения и без труда преодолеет тормозящее поле между сеткой и катодом (мы полагаем,что VKC > VCA ), внеся свой вклад в анодный ток. Если энергия электрона лишь немногопревышает величину потерь на возбуждение, электрон будет задержан тормозящим полем и вернется обратно на сетку, что приведет к уменьшению анодного тока. В случаеесли набираемая электроном энергия, немного превышает величину, кратную минимально необходимой для возбуждения атома, на зависимости анодного тока от ускоряющего напряжения также возникают провалы.
Эти провалы обусловлены тем, что электрон с некоторой вероятностью может отдатьэнергию на возбуждение двух и более атомовртути22. Таким образом, понять полученнуюВАХ можно, если предположить, что минимальная порция энергии, которую электрондолжен передать атому ртути при возбуждении, составляет 4.9 эВ, т.е. спектр состоянийатома является действительно дискретным.Изотопический сдвиг атомных уровней.До сих пор при рассмотрении движенияатомного электрона мы предполагали, чтоатомное ядро является бесконечно тяжелым.Это приближение является вполне оправданным, так как даже для самого легкого атома,атома водорода, ядро которого состоит изединственного протона, выполнено условиеm m p ≈ 1 1836 ≈ 5.4 ⋅ 10 −4 ( m p - масса прото-на). Однако более строго, мы имеем задачу двух тел, и электрон и протон обращаютсявокруг общего центра масс.
Учесть конечность массы атомного ядра легко: для этоговсюду в теории вместо массы электрона m надо использовать приведенную массуµ = mM (m + M ) , где M - масса атомного ядра. Тогда, учитывая, что m M << 1 , выражение для энергии n -го стационарного состояния в водородоподобном ионе, запишем ввидеZ2 ⎛m⎞µe 4 Z 2E n = − 2 2 ≈ − Ry 2 ⎜1 − ⎟ .(3.54)n ⎝ M⎠2h nПоскольку масса ядер различных изотопов23 одного и того же химического элемента является различной, мы получаем, что положение энергетических уровней у различныхизотопов также отличается друг от друга.
Это смещение уровней носит название изото22С увеличением ускоряющего напряжения немонотонная структура зависимости постепенно размывается, что связано с возможностью возбуждения вышележащих атомных состояний.4323Изотопами называются атомы одного и того же химического элемента, ядра которых содержат различное число нейтронов.44пического сдвига.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
