А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому фактически можно говорить овычислении вероятности того или иного результата измерения, а также среднем значении физической величины в данном квантовом состоянии, описываемом функцийrψ(r , t ) .Начнем обсуждение вопроса о вычислении квантовомеханических средних с определения среднего значения пространственной координаты частицы. В данном случаесреднее значение можно определить исходя из вероятностного смысла волновой функции. Величинаr 2dW (t ) = ψ(r , t ) d 3 r(4.32)есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в элементе объема d 3 r вблиrзи точки с координатой r . Поэтому среднее по квантовому состоянию значение координаты частицы определяется по формулеr r 2r r rvr (t ) = ∫ r ψ (r , t ) d 3 r = ∫ ψ * (r , t )r ψ (r , t )d 3 r .(4.33)Здесь скобкиозначают процедуру усреднения по квантовому состоянию системы.Выражение (4.33) легко расписать для каждой из проекций радиус-вектора x, y, z .
Например, для x - проекции имеемr 2rrx (t ) = ∫ x ψ (r , t ) d 3 r = ∫ ψ * (r , t ) xψ (r , t )d 3 r(4.34)Отметим, что речь идет о принципиально новом способе усреднения, не имеющем аналога в классической теории. Действительно, в классической физике часто производитсяусреднение некоторой величины по времени. Еще один способ усреднения, типичныйдля задач с большим числом частиц, – вычисление среднего значения физической величины по ансамблю, например вычисление средней скорости движения молекул в газе. Внашем случае усреднение проводится по квантовому состоянию микрообъекта в фиксированный момент времени.
Важно отметить, что определить экспериментально этосреднее по квантовому состоянию значение координаты не так просто. Действительно,мы уже говорили о том, что в микромире процедура измерения влияет на протеканиеизучаемого физического процесса. Поэтому после измерения волновая функция системыоказывается уже иной. Эта ситуация на примере измерения x – координаты частицы5152проиллюстрирована на рис.4.1.
Сплошная кривая соответствует величине ψ ( x)2до из-мерения. Пусть в результате измерения мы обнаружили частицу где-то вблизи точки скоординатой x1 . Новая волновая функция системы оказывается локализована около этойточки (штриховая кривая) и описывает уже совсем другое состояние частицы, котороевозникло после измерения. Поэтому, если мы хотим определить среднее значение координаты в заданном состоянии, мы должны позаботиться о том, что каждый раз сноваприготавливать это состояние после очередного измерения.На практике обычно подразумевается, что имеется большое количество идентичных невзаимодействующих квантовых систем, например, сгусток из N электронов6( N >> 1 ). Тогда при измерении коорплотность вероятностидинат каждого из них мы получаемраспределение значений, определяемое квадратом модуля волновойфункции, а по этому распределению всоответствии с выражением (4.33) или(4.34) определим среднее значение2|Ψ(x1)|координаты электронного сгустка.Аналогично тому, как это делается в теории вероятностей удобнокоординатаx1ввестиеще и дисперсию среднего0,00Рис.4.1.
К вопросу об измерении координаты частицы. значения координаты, характеризующую разброс измеряемых значенийотносительно среднего значения. Определим дисперсию следующим образомD x = (x − xЗдесь символоммер)2= x 2 − 2x x + x22= x2 − x .(4.35)всюду также обозначена интегральная операция типа (4.34). Напри-rrx 2 (t ) = ∫ ψ * (r , t ) x 2 ψ (r , t )d 3 r(4.36)- среднее значение квадрата координаты частицы.
Таким образом, для вычисления дисперсии необходимо определить среднее от квадрата и квадрат от среднего, а затем вычесть одно из другого.А как определять средние и дисперсии других физических величин, например,импульса? Прежде чем ответить на этот вопрос, вспомним, что мы уже знаем состояния,в которых импульс частицы точно определен. Это плоская волна де Бройля1⎛i⎞ψ p ( x) =exp⎜ px ⎟ .(4.37)2πh⎝h ⎠Рассмотрим теперь состояние, построенное в виде линейной суперпозиции состояний(4.37)ψ ( x) = ∑ C pi ψ pi ( x) .(4.38)iКакое значение импульса будет измерено в этом состоянии? Правильный ответ заключается в следующем, и это принципиально важно для дальнейшего понимания основ формализма квантовой механики. Будет измерено одно из значений pi , соответствующееволновой функции, входящей в разложение (4.38), причем вероятность определения это6При этом принципиально важно, чтобы взаимодействие между электронами было пренебрежимо мало.52532го значения определяется величиной квадрата модуля C p1 , поэтому саму величину C piчасто называют амплитудой вероятности.
Для экспериментального определения этихвероятностей надо приготовить совокупность идентичных невзаимодействующих квантовых систем, тогда измерение импульсов для всех систем как раз и позволит опреде2лить значения вероятностей C p1 .В общем случае, поскольку величина измеряемого импульса «пробегает» непрерывный набор значений, вместо (4.38) следует записать интегральное представление:ψ ( x) = ∫ C p ψ p dp .(4.39)Повторим еще раз: данное представление волновой функции есть ее разложение по состояниям с точно определенным значением импульса.
При этом величина C p2естьплотность вероятности того, что при измерении у частицы будет обнаружено значение2импульса, равное p , а C p dp есть вероятность измерить значение импульса в интервале от p до p + dp .С математической точки зрения представление (4.39) есть разложение функцииψ(x) в интеграл Фурье. Поэтому величина C p может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье:⎛ i⎞ dxC p = ∫ ψ ( x) exp⎜ − px ⎟= ∫ ψ ( x)ψ *p ( x)dx .(4.40)⎝ h ⎠ 2πhТеперь легко определить среднее значение импульса в состоянии, описываемом функцией ψ(x) .
Поскольку C p2есть плотность вероятности импульсного распределения, то поаналогии с определением x запишем2p = ∫ p C p dp .(4.41)Казалось, нам предстоит достаточно трудоемкая процедура. По волновой функции ψ ( x)надо определить C p , а уже затем вычислить интеграл (4.41). Однако, покажем, что процедуру можно существенно упростить.
Перепишем (4.41) в видеp = ∫ ∫ dpdp' pC *p ' C p δ( p − p' ) ,(4.42)а затем воспользуемся интегральным представлением для δ - функции1⎛i⎞δ( p − p ' ) =exp⎜ ( p − p' ) x ⎟dx .(4.43)∫2πh⎝h⎠Подставляя (4.43) в (4.42) и, затем, меняя местами порядок интегрирования, получим⎛ i⎞ dp'⎛i⎞ dpp = ∫ dx ∫ C *p ' exp⎜ − p ' x ⎟C p p exp⎜ px ⎟.(4.44)∫⎝ h⎠ 2πh⎝ h ⎠ 2πhОчевидно, что первый вложенный в (4.44) интеграл есть просто ψ * ( x) . Второй интеграллегко сводится к производной от волновой функции∂ψ⎛i⎞ dp(4.45)∫ C p p exp⎜⎝ h px ⎟⎠ 2πh = −ih ∂x .Поэтому окончательно для p получаемp = ∫ ψ * ( x)( pˆ ψ ( x))dx ,(4.46)5354где введено обозначениеpˆ = −ih ∂ ∂x .Аналогично для дисперсии значения импульса можно записать2Dp = p2 − p ,(4.47)(4.48)где квадрат среднего значения импульса определяется выражением2⎛∂ 2ψ ⎞p 2 = ∫ p 2 C p dp = ∫ ψ * ( x)⎜⎜ − h 2 2 ⎟⎟dx = ∫ ψ * ( x) pˆ 2 ψ ( x)dx .(4.49)∂x ⎠⎝Ниже выражения для средних, аналогичные (4.34), (4.46), будут получены и длядругих измеряемых физических величин.Операторы.Итак, полученные в предыдущем разделе выражения для средних значений координаты и импульса можно записать единым образом, если ввести операторы координатыx̂ и импульса p̂ x :rvxˆψ (r , t ) = xψ(r , t ) ,(4.50)rr∂)p x ψ (r , t ) = −ih ψ (r , t ) ,(4.51)∂xт.е.
оператор x - проекции координаты есть просто умножение на величину x , а оператор импульса есть (с точностью до постоянного множителя − ih ) оператор дифференцирования по координате. Аналогичные соотношения можно записать и для двух другихпроекций.
Поэтому в общем случае для оператора импульса можно записатьrp̂ = −ih∇ .(4.52)А теперь сделаем важное обобщение. Каждой физической величине, введенной в классической механике, в квантовой механике ставится в соответствие оператор этой величины. При этом соотношение между величинами в классической механике в квантовоймеханике переносится на операторы.
Например, оператор кинетической энергии естьpˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2h2 ⎛ ∂2h2 2pˆ 2∂2∂2 ⎞ˆ⎜⎟T==−∇ ,(4.53)==−++2m2m2m ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠2mrоператор потенциальной энергии Vˆ (r , t ) есть также оператор умножения на потенциrальную функцию V (r , t ) 7:rrrVˆψ (r , t ) = V (r , t )ψ (r , t ) .Важную роль в квантовой механике играет оператор полной энергии. Его также называют оператором Гамильтона или гамильтонианомrh2 2∇ + V (r , t ) .Hˆ = Tˆ + Vˆ = −(4.54)2mВведенный нами оператор Гамильтона позволяет записать нестационарное уравнениеШредингера (4.10) в более компактном виде∂ψih= Hˆ ψ .(4.55)∂t7Для того, чтобы это увидеть, достаточно разложить потенциальную функциювспомнить свойства оператора координаты.rV (r , t ) в ряд Тейлора и5455Построим еще оператор момента количества движения. Поскольку в классической мехаr r rнике L = [r × p ] , то для операторов имеемr̂rL = −ih[r × ∇] .(4.56)Распишем последнее определение отдельно для каждой изкомпонент:Lˆ x = −ih( y ∂ ∂z − z ∂ ∂y ),(4.57)Lˆ = −ih( z ∂ ∂x − x ∂ ∂z ),yLˆ z = −ih( x ∂ ∂y − y ∂ ∂x ).Для нас будет важен еще оператор квадрата момента количества движенияLˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .(4.58)В ряде задач нам будет удобно использовать сферическую систему координат.
Поэтому приведем выражениядля некоторых из введенных нами операторов в сферической системе координат. Напомним, что в этой системевместо тройки чисел x,y,z, задающих декартовы координаты, используются модуль радиус-вектора r и два угла θ и ϕ (см. рис.4.2). Здесь мыприведем выражения для оператора Лапласа1 ∂21∂ ⎞1 ∂ ⎛1 ∂2+=θsin∇2 =r+∆,где∆⎜⎟θϕθϕ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2sin θ ∂θ ⎝r ∂r 2r2- угловая часть оператора Лапласа, а также для операторов z – проекции момента количества движения и квадрата момента количества движенияLˆ z = −ih ∂ ∂ϕ ,Lˆ2 = −h 2 ∆θϕ .Теперь у нас есть универсальный рецепт вычисления средних значений. Если некоторой физической величине A поставлен в соответствие оператор Â , то среднее значение физической величины A в некотором квантовом состоянии, описываемом функrцией ψ(r , t ) , можно определить по формулеrrA(t ) = ψ * (r , t ) Aˆ ψ (r , t )d 3 r ,(4.59)∫Дисперсию величины A , характеризующую разброс результатов возможных измеренийотносительно среднего значения, можно вычислить как2DA = A2 − A .(4.60)Все операторы, введенные нами, являются линейными операторами, действующими впространстве функций с интегрируемым квадратом L2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
