А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В каждый момент времени ее состояние задается некоторым волновым пакетом, имеющим конечную область пространственной локализации. Мы теперь1D.Hartree (1897-1958) – английский физик – теоретик.6364обсудим условия, при выполнении которых квантовомеханическое движение можетбыть описано в классическом пределе и возникает представление о движении микрообъекта по классической траектории.Докажем прежде всего справедливость следующего утверждения (теорема Эренфеста). Основное уравнение классической механики, описывающее движение частицы вrпотенциальном поле V (r )rdp r= F = −∇V ,dtв квантовой теории справедливо для усредненных по квантовому состоянию величин,т.е.d rp = − ∇V ,(5.11)dtгдеrr r rp = ∫ ψ * (r , t ) pˆ ψ (r , t )d 3 r ,(5.12)rrr∇V = ∫ ψ * (r , t )∇V (r )ψ (r , t )d 3 r .(5.13)Докажем это утверждение.
Дифференцируя (5.12) по времени, получим⎞⎛ ∂ψ * rˆ⎛ ∂ψ * rˆrd r∂ r ⎞p = ∫ ⎜⎜pψ + ψ * ( pˆ ψ ) ⎟⎟d 3 r = ∫ ⎜⎜pψ + ψ * pˆ (∂ψ ∂t )⎟⎟d 3 r .dt∂t⎠⎠⎝ ∂t⎝ ∂tВыражения для производных по времени от ψ и ψ * возьмем из уравнения Шредингераih∂ψ= Hˆ ψ ,∂t− ih∂ψ *= Hˆ ψ * .∂tТогда получимrrrrrd riiip = ∫ ( Hˆ ψ * ) pˆ ψ − ψ * pˆ Hˆ ψ d 3 r = ∫ ψ * Hˆ pˆ ψ − ψ * pˆ Hˆ ψ d 3 r = ∫ ψ * Hˆ , pˆ ψd 3 r.dthhhЗдесь мы воспользовались свойством эрмитовости оператора Гамильтонаr**∫ ψ Hˆ φdτ = ∫ Hˆ ψ φdτ . Вычисляя коммутатор операторов Ĥ и p̂rrHˆ , pˆ = Vˆ , pˆ = ih∇V ,окончательно получимr rd rp = − ∫ ψ * (∇V )ψd 3 r = − ∇V = F (r ) .(5.14)dtТаким образом, теорема Эренфеста доказана.Уравнение Эренфеста (5.14) по форме совпадает с уравнением классической механики.
Это совпадение будет выглядеть еще более полным, если доказать следующееутверждение (см. задачу 5.1)rd r1 rp ,=(5.15)dtmто есть производная по времени от среднего значения координаты частицы равна средrнему значению скорости p m . С учетом соотношения (5.15) уравнение (5.14) можно((переписать в виде( )))()[ ][ ] [ ]rd2 rdt2=1∇V .m(5.16)6465Казалось бы, для определения средних значений физических величин достаточно классических уравнений движения. На самом деле это не так. Уравнение (5.16) не можетбыть непосредственно использовано для решения задач динамики, так как для определения средних значений необходима информация о волновой функции системы, котораяможет быть получена из решения уравнения Шредингера.
Рассмотрим, однако, случай,когда величина среднего по квантовому состоянию значения импульса частицы существенно превышает его неопределенность ∆p , т.е.p >> ∆p ~ h a ,(5.17)a - начальная ширина волнового пакета. В такой ситуации перемещение частицы за некоторое время tL= p t mокажется много больше, чем неопределенность координаты частицы (ширина пакета)∆ x ~ h t τ ( ma ) , обусловленная расплыванием волнового пакета во времениL >> ∆x(t ) ,т.е. можно приближенно считать, что частица характеризуется определенным значениемкоординаты, совпадающим с положением «центра тяжести» пакета x(t ) .Для того чтобы из (5.16) следовал классический закон движения для x(t ) , необходимо также выполнение условияF ( x) = F ( x ) ,то есть среднее значение силы должно совпадать с величиной силы в «средней» точке.Последнее условие, очевидно, выполнено, если на размере ∆x , определяющем ширинуволнового пакета, величина F (x) почти не меняется, т.е.
потенциальная функция естьплавная функция координаты(5.18)∇V << V ( x) / ∆x .Таким образом, условием перехода к классическому описанию движения микрообъекта является его движение с большой скоростью (см. условие(5.17)) в плавно меняющемся в пространстве силовом поле (см.(5.18)).Оптико-механическая аналогия.Мы уже неоднократно обращали внимание на сходство в описании движениямикрочастиц в квантовой механике и распространение электромагнитных волн в пространстве. Покажем теперь, что при выполнении некоторых условий уравнения электродинамики Максвелла сводятся к уравнению, с математической точки зрения эквивалентного уравнению Шредингера.Рассмотрим пространственно неоднородную среду, характеризующуюся диэлекrтрической проницаемостью ε(r ) . Тогда система уравнений Максвелла для напряженностей электрического и магнитного полей может быть записана в виде:rr1 ∂HrotE = −,c ∂trr ε ∂E(5.19)rotH =,c ∂trdiv εE = 0,rdivH = 0.( )6566Воспользовавшись известной формулой векторного анализаrrrrot rotE = grad divE − ∇ 2 E ,и учитывая, что диэлектрическаяпроницаемость среды не зависит от времени, получимr2rrε ∂ E2=∇E−graddivE.(5.20)c 2 ∂t 2rВ пространственно однородной среде divE = 0 и мы получаем обычное волновое уравнение.
В нашем случае ситуация оказывается более сложной, посколькуrr rdiv εE =ε divE + E∇ ε = 0 .(5.21)Пусть диэлектрическая проницаемость среды является плавной функцией координаты,т.е. на расстоянии порядка длины волны излучения величина ε практически не меняется:∇ε << kε ,( )( )k = 2π λ - волновой вектор. В этом приближении получаем, чтоrdivE ≈ 0 ,т.е. процесс распространения электромагнитной волны описывается волновым уравнениемrrε ∂2E(5.22)= ∇2E ,22c ∂tгде диэлектрическая проницаемость есть функция пространственной координаты. Будемискать решение уравнения (5.22) в виде линейно поляризованного пучка света, распространяющегося вдоль оси z с плавно меняющейся по пространству амплитудой:rrE (r , t ) = E 0 (r ) exp(i (kz − ωt ) ) ,(5.23)где k = ω c . Приближение медленно меняющейся амплитуды означает, что∇E 0 << kE 0 .(5.24)rПолучим теперь уравнение для медленно меняющейся амплитуды E 0 (r ) .
Вычисляя∂E ⎞∂E ⎛= ⎜ ikE 0 + 0 ⎟ exp(i (kz − ωt ) ) ,∂z ⎝∂z ⎠2∂E ⎞∂ E ⎛ 2≈ ⎜ − k E 0 + 2ik 0 ⎟ exp(i (kz − ωt ) )2∂z ⎠∂z⎝(здесь в силу условия (5.24) мы пренебрегли слагаемым ∂ 2 E 0 ∂z 2 ), найдем∂E⎛⎞∇ 2 E ≈ ⎜ − k 2 E 0 + 2ik 0 + ∇ ⊥2 E 0 ⎟ exp(i (kz − ωt ) ) .∂z⎝⎠(5.25)2Здесь ∇ ⊥ = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 - оператор Лапласа по координатам, лежащим в плоскостиперпендикулярной направлению распространения пучка.
Дифференцирование выражения (5.23) по времени дает∂2E(5.26)= −ω 2 E 0 exp(i (kz − ωt ) ) .∂t 2Вспоминая, чтоε = 1 + 4πχ( χ - восприимчивость вещества), из уравнения (5.22) с учетом (5.25) и (5.26), получим6667∂E 0r1= − ∇ 2⊥ E 0 + η(r⊥ , z ) E 0 .(5.27)∂z2rrrЗдесь η(r⊥ , z ) = −2πk 2 χ(r⊥ , z ) , а вектор r⊥ = {x, y} .Как видно, уравнение (5.27) с математической точки зрения эквивалентно нестационарному уравнению Шредингера. Задача о временной эволюции волновой функциидвумерной системы оказывается аналогична задаче о вычислении стационарного распределения амплитудного значения напряженности электрического поля в пространствепри распространении электромагнитной волны в среде.
При этом координата z , вдолькоторой распространяется световой пучок, аналогична времени в квантовой теории, аrфункция η(r⊥ , z ) , определяемая поляризуемостью среды, имеет смысл потенциалаrrV (r⊥ , t ) . В частности, если η(r⊥ , z ) = 0 (вакуум), то задача (5.27) эквивалентна задаче освободном движении частицы. Отметим, что среды с показателем преломленияn = ε > 1 (для таких сред χ > 0 ) в оптике называются фокусирующими. В квантовоймеханике им надо поставить в соответствие притягивающий потенциал V < 0 . Наоборот,среды с n = ε < 1 ( χ < 0 ) называются дефокусирующими, в квантовой механике такимсредам соответствует отталкивающий потенциал V > 0 .Математическая тождественность уравнения метода медленно меняющихся амплитуд в оптике и уравнения Шредингера является основой оптико – механической аналогии.
Существует огромное количество квантово-механических процессов, оптическиеаналоги которых давно известны и хорошо изучены. В частности можно показать, чторассмотренный нами предельный переход к классической механике эквивалентен переходу от волновой оптики к геометрической, когда возникает представление о световыхлучах, а интерференционные эффекты становятся пренебрежимо малыми.ikСтационарное уравнение Шредингера.
Спектры простейших одномерныхсистем.В этом разделе мы рассмотрим ряд простейших одномерных задач об определении уровней энергии и волновых функций стационарных состояний частицы в потенциальном поле.Свободное движение частицы.Рассмотрим простейшую задачу об определении стационарных состояний свободной частицы. Гамильтониан такой системы имеет видh2 d 2ˆ,(5.28)H =−2m dx 2а стационарное уравнение Шредингера имеет видh 2 d 2ψ E(5.29)−= Eψ E .2m dx 2Здесь E - собственное значение оператора Гамильтона, а индекс «E» у функции подчеркивает ее принадлежность к собственному значению E.
Вводя k 2 = 2mE h 2 > 0 , перепишем (5.29) в видеψ ′E′ + k 2 ψ E = 0 ,откуда получаем, что собственному значению E соответствуют две функции⎧exp(ikx),E = h 2 k 2 2m .(5.30)ψE = ⎨ikxexp(−),⎩6768На значение волнового вектора k никаких ограничений не возникло, т.е. система имеетнепрерывный спектр.Найденные функции стационарных состояний совпадают с введенными ранеесобственными функциями оператора импульса. Состояния (5.30) одновременно являются собственными состояниями оператора импульса, соответствующими собственнымзначениям p = ±hk . Это не удивительно, и могло быть предсказано заранее.
Посколькуоператор импульса и оператор кинетической энергии (в рассматриваемом случае операторы Гамильтона и кинетической энергии тождественны) коммутируют между собой, томожно найти состояния, в которых обе физические величины энергия (кинетическая) иимпульс имеют точно определенные значения.Как видно, существует два разных состояния, которые соответствуют одному итому же значению энергии. Такие состояния называются вырожденными. Кратность вырождения в рассматриваемом случае равна двум.
Отметим, что наличие вырождения всистеме позволяет построить неограниченное число состояний с одним и тем же значением энергии. Действительно, любая линейная комбинация базисных функций (5.30)ψ E = A exp(ikx) + B exp(−ikx)(5.31)дает состояние с тем же точно определенным значением энергии E . В частности, можетбыть удобен другой набор базисных состояний⎧sin(kx),ψE = ⎨(5.32)⎩cos(kx).Отметим при этом, что состояния (5.32) (как и состояния (5.31) при ненулевых значениях коэффициентов A и B) уже не являются состояниями с точно определенным значением импульса.Частица в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме.Рассмотрим теперь стационарные состояния частицы в потенциале⎧⎪0, x ≤ a 2 ,V ( x) = ⎨⎪⎩∞, x > a 2.Стационарное уравнение Шредингера записывается в видеh 2 d 2ψ−+ V ( x)ψ = Eψ .(5.33)2m dx 2Наша задача заключается в нахождении таких значений энергии E , при которых уравнение (5.33) имеет ненулевое решение, и соответствующих волновых функций.В классической механике движение частицы происходит в областиx ∈ (− a 2 , a 2) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
