А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Рассмотрим теперь одномерную цепочку атомов, расположенных друг от друга нанекотором расстоянии d . Если величина d много больше характерного атомного размера, то мы имеем совокупность изолированных атомов. Если же мы сближаем атомытак, что расстояние между ними оказывается порядка атомного размера, то наша система представляет собой простейшую модель кристалла. Характерный вид потенциалаV (x) в такой системе имеет вид, изображенный на рис.6.9. Пусть изолированный атомхарактеризуется некоторой системой энергетических уровней.
Очевидно, электрон, локализованный первоначально в одной из потенциальных ям, может протуннелировать всоседние ямы. Поэтому время жизни электрона в конкретной яме τ оказывается конечным и определяется длительностью процесса туннелирования. Но тогда в силу соотношения неопределенностей для энергии – времени∆Eτ ~ hэнергия состояния оказывается точно не определена: энергетический уровень размывается и превращается в энергетическую зону шириной ∆E .
Отметим также, что проведенные рассуждения показывают, что электрон в периодическом потенциале принадлежит не конкретному атому, а делокализован по всему кристаллу. Очевидно, чем выше положение исходногоэнергетического состояния в спектреисходного изолированного атома, тембольше вероятность туннелирования,и, следовательно, тем больше ширинаэнергетической зоны. Таким образом,мы приходим к выводу о существовании зонной структуры энергетического спектра кристаллов. Дискретныеатомные уровни превращаются в разрешенные энергетические зоны, разделенные друг от друга запрещенными зонами (см. рис.6.9). Иногда зоны, созданныедвумя различными атомными уровнями могут перекрываться, создавая единую разрешенную энергетическую зону.
Зоны, полностью заполненные электронами, называютвалентными, частично заполненные или пустые – зонами проводимости. Если при нулевой температуре в отсутствие внешних воздействий в кристалле имеется не полностьюзаполненная зона (т.е. в зоне проводимости присутствуют электроны), то такой образецявляется металлом. Если зона проводимости является пустой, то в зависимости от ширины запрещенной зоны, разделяющей верхнюю валентную зону и нижнюю зону проводимости, образец называют диэлектриком или полупроводником. Например, в кристалле8283алмаза (широкозонный диэлектрик) ширина запрещенный зоны составляет 5 эВ, в кристалле кремния (типичный полупроводник) – 1.1 эВ.
С повышением температуры (мы,конечно, говорим о диапазоне температур, не превышающих пороговые значения, прикоторых происходит разрушение кристаллической структуры) в полупроводниках в зонепроводимости появляются электроны, которые приводят к способности полупроводникапроводить электрический ток. Поскольку число электронов в зоне проводимости экспоненциально растет с температурой, можно ожидать, что зависимость собственной проводимости полупроводникового материала от температуры также будет экспоненциальной8.Гармонический осциллятор.Рассмотрим теперь задачу об определении стационарных состояний одномерногогармонического осциллятора.
Эта задача является одной из важнейших в квантовой теории. Приближение гармонического осциллятора часто используется в физике молекулпри изучении колебательного движения молекул, в теории атомного ядра при изучениинизколежащих ядерных состояний, в различных задачах физики твердого тела и т.д.Важно отметить также, что электромагнитное поле также может быть рассмотрено каксовокупность полевых мод, каждая из которых является гармоническим осциллятором.Пусть потенциальная энергия системы записывается в видеV ( x) = mω 2 x 2 2 ,где ω - частота колебаний. Тогда гамильтониан гармонического осциллятора имеет видh 2 d 2 mω 2 x 2Hˆ = −.(6.12)+2m dx 22Наша задача заключается в определении собственных функций и собственных значенийоператора Ĥ :h 2 d 2 ψ mω 2 x 2−+ψ = Eψ ,2m dx 22или⎛ d 2 m 2 ω 2 x 2 2mE ⎞⎜⎜ 2 −(6.13)+ 2 ⎟⎟ψ ( x) = 0 .2dxhh ⎠⎝При этом на бесконечности ( x → ±∞ ) волновая функция должна стремиться к нулю.Уравнение (6.13) удобно обезразмерить.
Вводя новые безразмерные координату ξ = x aи энергию ε = E E 0 ( a = h mω , E 0 = hω 2 ), перепишем (6.13) в виде⎛ d2⎞⎜⎜ 2 − ξ 2 + ε ⎟⎟ψ (ξ) = 0 .(6.14)⎝ dξ⎠Начнем решение задачи с анализа асимптотического поведения волной функции приξ → ±∞ . При больших значениях ξ последним слагаемым в (6.14) можно пренебречь,то есть:8Мы использовали здесь термин «собственная проводимость», поскольку на практике полупроводникичасто легируют, вводя некоторое количество примесных атомов, энергетически уровни которых расположены в запрещенной зоне исходного полупроводника.
В зависимости от того, где они располагаются(близко к валентной зоне, или зоне проводимости) возникают полупроводники p или n типа, проводимостькоторых может быть значительной уже при комнатных температурах и определяется, прежде всего, уровнем легирования.8384d 2ψ− ξ2ψ ≈ 0 .(6.15)2dξЭто уравнение имеет асимптотикуψ ~ exp(− ξ 2 2) .Действительно ψ ′′ = (ξ 2 − 1) exp(− ξ 2 2) , т.е. для ξ >> 1 уравнение (6.15) оказываетсявыполненным. Будем поэтому искать решение уравнения (6.14) в видеψ (ξ) = v(ξ) exp(− ξ 2 2) ,(6.16)где v(ξ) - некоторая новая неизвестная функция, не меняющая асимптотику функцииψ(ξ) на бесконечности. Подставим представление (6.16) в уравнение (6.14). Тогда учитывая, чтоd 2ψ d=((v ′ − ξv) exp(− ξ 2 2) ) = (v ′′ − v − 2ξv ′ + ξ 2 v )exp(− ξ 2 2) ,2dξdξдля функции v(ξ) получим новое уравнениеv ′′ − 2ξv ′ + (ε − 1)v = 0 .(6.17)Будем искать решение уравнения (6.17) в виде полинома конечной степени ξ , т.е.nv ( ξ) = ∑ a k ξ k .(6.18)k =0Как мы увидим позже, необходимость искать решение (6.17) именно в виде полинома, ане бесконечного ряда, связана с необходимостью сохранить правильное асимптотическое поведение волновой функции на бесконечности.
Подставляя разложение (6.18) вуравнение (6.17) и собирая члены при одинаковых степенях ξ , получимn∑ ((k + 2)(k + 1)ak =0k +2+ (ε − 1 − 2k )a k )ξ k = 0 .Поскольку это равенство должно удовлетворяться при любом значении ξ , получаемследующее рекуррентное соотношение между коэффициентами полинома:2k − (ε − 1)ak +2 =ak .(6.19)(k + 2)(k + 1)Если известны коэффициенты a 0 и a1 , то остальные можно найти с помощью (6.19). Рядбудет конечным, если на некотором слагаемом с номером n коэффициент a n обратитсяв ноль.
Из (6.19) имеем, что это возможно еслиε = 2n + 1 ,или переходя к размерным единицамE n = hω(n + 1 2) , n = 0,1,2,...(6.20)Условие обрыва ряда не может быть выполнено одновременно и для четных и для нечетных членов разложения. Поэтому полином (6.19) должен содержать только четные,или только нечетные степени ξ , т.е.a 0 → a 2 → a 4 → ... , a1 = a3 = ...
= 0 ,илиa1 → a3 → a5 → ... , a 0 = a 2 = ... = 0 .Таким образом, задача решена. Выражение (6.20) определяет энергетическийспектр гармонического осциллятора, а волновые функции представимы в виде (6.16), гдефункции v(ξ) есть полиномы, которые легко построить с помощью соотношения (6.19).8485При этом значения коэффициентов a 0 и a1 должны быть определены из условия нормировки волновой функции.Если бы мы искали решение уравнения (6.17) в виде бесконечного ряда, то длябольших значений k мы бы получили связь между коэффициентами (см. (6.19)):2ak +2 ≈ ak .kТакая связь между коэффициентами возникает при разложении функции∞ξkexp(ξ 2 ) = ∑,k = 0 , 2 , 4 ,... ( k 2)!то есть приводит к тому, что волновая функция на бесконечности неограниченно возрастает.Полиномы, коэффициенты которых удовлетворяют рекуррентному соотношению(6.19), хорошо известны в математике и называются полиномами Эрмита.
Приведем явные выражения для первых нескольких полиномов:H 0 (ξ) = 1 , H 1 (ξ) = 2ξ , H 2 (ξ) = 4ξ 2 − 2 , H 3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ ,…(6.21)Все они являются либо четными, либо нечетными функциями ξ . Значит, в нашем случаестационарные состояния опять характеризуются определенной четностью. Об этомможно было догадаться, конечно, заранее, т.к.
легко видеть, что оператор четности коммутирует с гамильтонианом.Часто бывает удобно использовать и другой способ построения полиномов Эрмита:dnn2H n (ξ) = (−1) exp(ξ ) n exp(−ξ 2 ) .(6.22)dξВыпишем также условие ортонормированности полиномов:∞∫Hn()(ξ) H m (ξ) exp − ξ 2 dξ = 2 n n! πδ mn .(6.23)−∞Эти и некоторые другие свойства полиномов Эрмита более подробно обсуждаются вПриложении 3.Условие (6.23) позволяет записать удовлетворяющие условию нормировки волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятораψ n ( x) = N n H n ( x a) exp − x 2 2a 2 ,(6.24)где нормировочный множитель N n - определяется как1Nn =.(6.25)2 n n!a πПерейдем теперь к обсуждению свойств полученного решения.Прежде всего отметим, что энергетический спектр осциллятора строго дискретный, как и у всякой системы совершающей финитное движение.
Энергия основного состояния осциллятора отлична от нуля: существуют так называемые нулевые колебания,их энергия оказывается равнаE 0 = hω 2 ,и это минимально возможное значение энергии осциллятора.Происхождение нулевых колебаний нетрудно понять на основе соотношения неопределенностей Гейзенберга. Действительно, локализация частицы в области размером∆x ведет к появлению у нее кинетической энергии T ~ h 2 2m(∆x) 2 .
С другой стороны()8586для частицы с такой областью пространственной локализации, и находящейся в осцилляторном потенциале, величина потенциальной энергии будет составлятьV ~ mω 2 (∆x) 2 2 . Минимум полной энергии E = T + V достигается для вполне определенной пространственной ширины волнового пакета ∆x = h mω . Для минимальновозможного значения энергии осциллятора при этом получаем E min = hω .
Это значениевсего в два раза отличается от точного значения энергии нулевых колебаний осциллятора.На рис.6.10 приведено положениенескольких нижних энергетических уровней осциллятора. Для этих же состояний нарис.6.11представленыраспределения2плотности вероятности ψ (x) . Важнойособенностью энергетического спектра является его эквидистантность, т.е. энергетическое расстояние между любой паройуровней одинаковоE n − E n −1 = hω .При этом, так же как и в ранее рассмотренных задачах, существует ненулевая вероятность обнаружить частицу в области классически запрещенного движения.Необходимо отметить, что хотя энергия возбужденного состояния осциллятораможет быть весьма велика, средние значения координаты и импульса частицыоказываются равны нулю.
В этом легкоубедиться прямым вычислением интегралов2x = ∫ x ψ ( x) dx ,p = ∫ ψ * ( x) pˆ ψ( x)dx .В этом смысле все стационарные состояния соответствуют неподвижнойчастице. Более того, как мы уже ранееотмечали, распределение плотности ве2роятности ψ также не зависит от времени. Однако, средние значения кинетической и потенциальной энергии отличны от нуля. Действительно9,hω1T n = p 2 2m =ψ *n pˆ 2 ψ n dx =(n + 1 2) ,∫n2m2hωmω 22 2V n = mω x 2 =ψ *n x 2 ψ n dx =(n + 1 2) .∫n22При этом для квантовомеханических средних оказывается выполненным равенствосредних значений кинетической и потенциальной энергииT n = V n = En 2 ,(6.26)9Эти интегралы легко вычисляются с учетом формул, приведенных в Приложении 3.8687знакомое нам по классической механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
