А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Подставимразложение (7.5) в уравнение (7.2). Получим:h2h21 d2()Y (θ, ϕ)−rR(r)−R(r )∆θϕY (θ, ϕ) + V (r ) R(r )Y (θ, ϕ) = ER(r )Y (θ, ϕ) ,r dr 22m2mr 2откуда после несложных преобразований находим:∆θϕY (θ, ϕ)r d22mr 2()rR(r)( E − V (r )) = −+.(7.6)22R(r ) drY (θ, ϕ)hЛевая часть уравнения (7.6) зависит только от радиальной координаты, в то время какправая – только от совокупности угловых координат. Следовательно, каждая из частейуравнения есть некоторая константа λ . Тогда имеем− ∆θϕY (θ, ϕ) = λY (θ, ϕ) .(7.7)Решение задачи (7.7) в математике хорошо известно: это сферические функции Ylm ,причем λ = l(l + 1) .
Здесь l - любое целое неотрицательное число, т.е. l = 0,1,2,... , а mдля каждого l пробегает целочисленный набор значений от − l до l : m = 0,±1,±2,... ± l ,всего 2l + 1 значений.С физической точки зрения уравнение (7.7) представляет собой задачу на собственные значения оператора квадрата момента количества движения:Lˆ2Ylm = h 2 l(l + 1)Ylm ,(7.8)т.е. сферическая функция Ylm определяет состояние с точно определенным значениемквадрата момента количества движения, причемL2 = h 2 l(l + 1) .(7.9)Свойства сферических функций хорошо изучены.
Общее представление для Ylmимеет следующий видYlm (θ, ϕ) = Pl( m ) (cos θ) exp(imϕ) ,(7.10)где Pl( m ) (cos θ) - присоединенный полином Лежандра. В частном случае m = 0 присоединенные полиномы превращаются в обычные полиномы Лежандра Pl (cos θ) . Приведемявные выражения для первых нескольких сферических функций (без учета нормировки):Y00 (θ, ϕ) = 1Y10 (θ, ϕ) = cos θ ,Y1, ±1 (θ, ϕ) = sin(θ) exp(±iϕ) ,1(3 cos 2 (θ) − 1) , Y2, ±1 (θ, ϕ) = sin(θ) cos(θ) exp(±iϕ) ,2Y2, ±2 (θ, ϕ) = sin 2 (θ) exp(±2iϕ) .Y2, 0 (θ, ϕ) =Некоторые свойства сферических функций, а также полиномов Лежандра и присоединенных полиномов обсуждаются в Приложении 4.9192Нетрудно видеть, что сферические функции являются также собственными функциями оператора z - проекции момента количества движения с собственным значениемmh .
Действительно∂Lˆ z Ylm (θ, ϕ) = −ih Ylm (θ, ϕ) = hmYlm (θ, ϕ) ,∂ϕпоэтому квантовое число m определяет величину L z в состоянии, описываемом функцией Ylm . Таким образом, мы нашли состояния, в которых величина квадрата момента иего z - проекции имею точно определенные значения. Такие состояния описываютсясферическими функциями Ylm (θ, ϕ) , при этомL2 = h 2 l(l + 1) , L z = mh ,причем l = 0,1,2,...
, m = 0,±1,±2,... ± l .Введенные нами сферические функции удовлетворяют следующему условиюнормировки*∫ Yl 'm' (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)dΩ = N lm δ ll' δ mm' .Здесь4π (l + m)!.2l + 1 (l − m)!В дальнейшем нам будет удобно использовать нормированные на единицу сферическиефункции, т.е.2(7.11)∫ Ylm (θ, ϕ) dΩ = 1 .N lm =Такие функции отличаются от введенных ранее умножением на численный множи2l + 1 (l − m)!тель.
В дальнейшем мы сохраним для этих функций то же обозначе4π (l + m)!ние Ylm .Что касается двух других проекций момента количества движения, то в рассматриваемых нами состояниях они не имеют точно определенного значения1. В этом смысле в квантовой теории вектор момента не имеет строго определенного направления впространстве. Точно известны лишь его длина и проекция на одну из осей (например,ось z )2. Можно показать, что для любого состояния Ylm (θ, ϕ) средние значения двухдругих проекций равны нулю:Lx = L y = 0 .Вычислим теперь дисперсии L2xи L2y .
Полагая, что вследствие симметрии задачиэти дисперсии равны между собой, и используя очевидное соотношениеL2x + L2y + L2z = L2 ,получимL2x = L2y =1h2(l(l + 1) − m 2 ) .2Это утверждение справедливо для всех состояний с ненулевым значением орбитального квантового числа. В случае l = 0 все три проекции орбитального момента имеют точно определенное значение, равноенулю.2Можно, конечно, построить набор состояний с заданной величиной проекции момента на любую ось,например, на ось x. В этом случае проекция на ось z не будет иметь точно определенного значения.9293Как видно, максимальное значение дисперсии измеряемых значений x - и y - проекциймомента импульса реализуется для состояния с L z = 0 , а минимальное – для состояния смаксимально возможной величиной Lz = ±lh . В этом случае:L2x = L2y =h2l.2В случае l >> 1 для состояния Yll имеемL2x≈L1l<< 1 .Поскольку, как уже отмечалось, в этом состоянии L x = L y = 0 , то в предельном случае l >> 1 и m = l реализуется классический случай: вектор момента имеет определенное направление в пространстве (направлен вдоль оси z ).Договоримся теперь о следующей терминологии.
Квантовое число l будем называть орбитальным квантовым числом. Оно задает значение квадрата момента количествадвижения. Обычно состояния с различными значениями l обозначают буквами латинского алфавита. Состояние с l = 0 называют s -состоянием, с l = 1 - p -состоянием,l = 2 - d -состоянием, l = 3 - f -состоянием, и далее по латинскому алфавиту3:l = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...s,p, d ,f , g , h,...Например, когда говорят о p -электроне, то это означает, что электрон находится в состоянии с орбитальным квантовым числом равным единице.2Величина ρ θ (θ) = Ylm (θ, ϕ) определяет угловое распределение электроннойплотности в состоянии с заданным l . Как видно, это распределение характеризуется аксиальной симметрией.
Распределения угловой плотности для s - и p - состояний с различными z -проекциями момента ( m = 0,±1 )приведены на рис.7.2.Отметим еще одно важное свойствосостояний в центрально – симметричномполе. Эти состояния также характеризуютсяопределенной четностью. Действительно,rrинверсия координаты r → − r означает, чтосферические координаты точки (r , θ, ϕ)преобразуются в (r , π − θ, ϕ + π) . Посколькусферическая функция Ylm (θ, ϕ) обладаетсвойствомYlm (π − θ, ϕ + π) = (−1) l Ylm (θ, ϕ) ,то все состояния с четным значением орбитального квантового числа (s, d, g,…) характеризуются положительной четностью, а3Происхождение такой терминологии обусловлено названием серий в спектрах атомов щелочных металлов и будет обсуждаться позже.9394состояния с нечетным значением l (p, f, h,…) – отрицательной четностью.Завершим теперь решение задачи на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона.
С учетом сделанного выше, из (7.6) получим уравнение длярадиальной волной функции R(r ) :h2 1 d 2h 2 l(l + 1)(rR(r ) ) +−R (r ) + V (r ) R(r ) = ER(r ) .(7.12)2m r dr 22mr 2Вводя новую функциюu (r ) = rR(r ) ,получимh 2 d 2 u (r )−+ Veff (r )u (r ) = Eu (r ) ,(7.13)2m dr 2гдеh 2 l(l + 1).Veff (r ) = V (r ) +.(7.14)2mr 2Таким образом, для функции u (r ) имеем обычное одномерное уравнение Шредингера,но с эффективным потенциалом.
Добавку h 2 l(l + 1) 2mr 2 называют центробежным потенциалом. Точно такое же слагаемое L2 2mr 2 возникает и в решении классической задачи о движении в центрально симметричном поле. Именно этот потенциал «отжимает»частицу от центра, препятствуя ее падению на силовой центр.
Квантовая специфика заключается только в том, что квадрат момента количества движения принимает строгоопределенный дискретный набор значений.Как видно, вследствие центральной симметрии задачи эффективный потенциалVeff (r ) не зависит от магнитного квантового числа. Это означает, что состояния с заданным l , но различными m , описываются одним и тем же радиальным волновым уравнением. Следовательно, такие состояния характеризуются одинаковыми радиальнымиволновыми функциями и имеют совпадающий набор энергетических уровней.
Такимобразом, состояния с заданным l , но различными m , оказываются вырождены по проекции орбитального момента, причем кратность вырождения g = 2l + 1 . Это очень важная особенность решения задачи(7.2) в произвольном центральносимметричном поле.Перейдем теперь к болееподробному обсуждению случая кулоновского потенциала. В этом случае эффективный потенциал, в котором происходит радиальное движение частицы, записывается в видеZe 2 h 2 l(l + 1)+Veff (r ) = −.(7.15)r2mr 2Графики функций для различныхзначений l приведены на рис.7.3.Для s -состояний эффективный потенциал совпадает с кулоновским,для состояний с ненулевым моментом в области малых r возникает центробежныйбарьер, тем больший, чем больше значение орбитального квантового числа.9495Наша задача теперь проанализировать решение радиального уравнения (7.13) спотенциалом (7.15).
Решение задачи можно искать как в области отрицательных значений энергии E < 0 , так и при E > 0 . Мы ограничимся рассмотрением только случаяE < 0 , соответствующего связанному состоянию частицы в кулоновском потенциале4.Обезразмерим уравнение (7.13). Вводя ξ = r a 0 и ε = E Ry (здесь a 0 = h 2 me 2 боровский радиус, Ry = h 2 2ma 02 ), перепишем уравнение (7.13) в виде⎛ 2Z⎞d 2 u (ξ) l(l + 1)−u (ξ) + ⎜⎜− ε ⎟⎟u (ξ) = 0 .(7.16)22ξdξ⎝ ξ⎠Установим, прежде всего, асимптотическое поведение радиальной волновойфункции u (ξ) в области больших значений ξ → ∞ . В этой области уравнение (7.16)имеет видu ′′(ξ) ≈ εu (ξ) ,откуда находимu (ξ → ∞) ~ exp − εξ .(7.17)С другой стороны, в области малых ξ ( ξ → 0 ) наиболее существенным оказываетсяцентробежный потенциал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
