А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Подставляя представление (7.34) вуравнение (7.33), получим2d 2φ⎛ dφ ⎞2(7.35)⎜ ⎟ − ih 2 = p ( x ) .dx⎝ dx ⎠Переход к классическому пределу предполагает малость второго слагаемого в левойчасти уравнения (7.35). В этом случае имеемdφ dx = p (x) ,откуда⎞⎛i(7.36)ψ ( x) = exp⎜ ∫ p( x)dx ⎟ .⎠⎝hВ случае, если движение частицы носит периодический характер, в силу однозначностиопределения волновой функции ψ (x) имеем6Фактически обсуждаемый метод представляет собой так называемое квазиклассическое приближение вквантовой механике.100101∫ p( x)dx = 2πnh ,n = 1,2,3,...(7.37)Покажем, что соотношение (7.37) в случае движения по круговой орбите эквивалентно квантовому условию Бора. Действительно, при движении по круговой орбите(см.
рис.7.8)p = mv = const , dx = rdϕ .Поэтому∫ p( x)dx = mvr ∫ dϕ = 2πmvr ,откуда получаем mvr = nh , т.е. боровское условие квантования момента количества движения.В общем случае трехмерного движенияаналогичным образом легко получить(7.38)∫ pi dqi = 2πni h ,где qi - обобщенные координаты, соответствующие обобщенному импульсу pi ( i = 1,2,3 ).Соотношения (7.38) известны как квазиклассические условия квантования Бора – Зоммерфельда и были получены А.Зоммерфельдомеще до создания квантовой теории, на основемодели атома Бора.Условия квантования Бора – Зоммерфельда позволяют легко обобщить модельатома Бора на случай эллиптических орбит. Действительно, выбрав систему координаттак, чтобы орбита электрона находилась в плоскости z = 0 , запишем условия квантования Бора – Зоммерфельда в виде(7.39)∫ pr dr = 2πnr h ,∫pϕdϕ = 2πnϕ h ,(7.40)где p r = mr& и p ϕ = mr 2 ϕ& - радиальная и азимутальная проекции обобщенного импульса, n r и nϕ - соответствующие им радиальное и азимутальное квантовые числа.
Так какв центральном поле p ϕ = mr 2 ϕ& = const (закон сохранения момента количества движения), то из условия (7.40) получаем:p ϕ = nϕ h ,nϕ = 1,2,3,...т.е. условие квантования момента количества движения. Тогда можно показать, чтоквантовое условие для радиальной компоненты импульса (7.39) дает выражение дляэнергииme 4 Z 2(7.41)E=− 2 2 ,2h nгде n = nr + nϕ . При этом значения радиального квантового числа n r пробегают наборзначений n r = 0,1,2,... , причем случай n r = 0 соответствует круговой орбите.Сопоставляя полученное выражение (7.41) с квантовомеханическим результатом(7.21) замечаем, что в отличие от модели Бора – Зоммерфельда в квантовой теории существуют состояния с нулевым значением орбитального момента, что в принципе невозможно в классической задаче о движении электрона в кулоновском поле.101102В заключение этого раздела остановимся на понятии «круговой» орбиты в квантовой механике.
Как видно, в рамках модели Бора – Зоммерфельда существует целыйнабор орбит с одинаковой энергией (одинаковым значением главного квантового числа),но различными значениями орбитального момента (азимутального квантового числа).Случаю круговой орбиты соответствует состояние с максимальным значением величинымомента импульса. Аналогично, в квантовомеханической теории атома водорода круговой орбите соответствует состояние с максимальным l , т.е. l = n − 1 . «Круговой» орбитой в квантовой теории следует считать ту, для которой дисперсия радиальной координаты является минимальной. Эту величину можно вычислить как2Dr = r 2 − r ,где∞r2= ∫ r R (r )dr ,42nl0∞r = ∫ r 3 Rnl2 (r )dr .(7.42)0Интегралы (7.42) могут быть вычислены аналитически для произвольного состояния nl :a0a 02 n 222(r =3n − l(l + 1) ) ,5n 2 + 1 − 3l(l + 1) ,r =22Z2ZПоэтомуa2Dr = 0 2 n 2 (n 2 + 2) − l 2 (l + 1) 2 .4ZОчевидно, минимальное значение Dr достигается для l = n − 1 : Dr = a02 n 2 (2n + 1) 4Z 2 ,а относительная неопределенность радиальной координатыDr∆r1.==rr2n + 1Для больших значений n эта неопределенность стремится к нулю, что соответствуетдвижение электрона по классической траектории радиуса r .
При этом состояние с(())максимально возможным значением проекции момента количества движенияrm = l = n − 1 характеризуется почти точным определенным направлением вектора L впространстве (см. (7.11)), что еще больше сближает представления о квантовомеханических и классических электронных орбитах. Состояния с m = l = n − 1 называют циркулярными состояниями. Именно они являются аналогом круговых орбит в классическойтеории.7.1.7.2.7.3.7.4.Задачи.Определить средние значения кинетической и потенциальной энергии в основномсостоянии атома водорода.Определить среднее и наиболее вероятное удаление электрона от ядра в атомеводорода, находящемся в состояниях 1s, 2 s и 2 p .Нарисовать радиальные волновые функции и распределения вероятности обнаружить электрон на расстоянии r от ядра в атоме водорода, находящимся в состояниях с главным квантовым числом n = 4 .В сферической системе координат электрон в атоме водорода характеризуетсяволновой функцией ψ (r , θ, ϕ) = (ψ 2,1,1 + ψ 2,1, −1 + 2ψ 2, 0,0 ) / 6 , здесь ψ n ,l ,m - волно-вая функция стационарного состояния с квантовыми числами n, l ,m.
Какие, и с102103какой вероятностью значения энергии, квадрата момента количества движения иего z – проекции могут быть измерены в этом состоянии?7.5. В начальный (нулевой) момент времени состояние электрона в атоме водородаrзадано волновой функцией ψ (r ) = ψ 1s + 2ψ 2 s / 3 , здесь ψ 1s и ψ 2 s - волновыефункции стационарных состояний.
Какие, и с какой вероятностью значения энергии могут быть измерены в этом состоянии? Как зависит от времени распределение плотности вероятности обнаружить частицу в различных точках пространства.7.6. Угловая часть волновой функции некоторой системы в сферических координатахопределяется выражением ( A - нормировочная константа):а) ψ (θ, ϕ) = A sin(2θ) cos(ϕ) ,б) ψ (θ, ϕ) = A cos(θ)(1 + sin(θ) sin(ϕ)) .Какие значения квадрата момента количества движения и с какой вероятностьюмогут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее значение и дисперсиявеличины L2 ?7.7. Доказать, что в состоянии описываемом сферической функцией Ylm (θ, ϕ) средниезначения x - и y - проекций орбитального момента равны нулю.7.8. Определить вектор плотности тока вероятности для циркулярного состояния( ml = l , l = n − 1 ) атома водорода.
Полученное выражение сравнить с классической величиной электрического тока, создаваемого электроном в атоме водорода,движущимся по круговой орбите.7.9. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных s – состояний в сферической сферически симметричной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме радиуса R .7.10. Определить условие существования хотя бы одного связанного s – состояниячастицы в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме радиусом R и глубиной V0 .7.11. Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний трехмерного изотропного гармонического осциллятора V = mω2 r 2 2 .7.12.
Волновая функция частицы массой m , находящейся в трехмерном изотропномгармоническом осцилляторе с частотой ω имеет вид:а) ψ ( x, y, z ) = Ax 2 exp − r 2 2a 2 ,б) ψ ( x, y, z ) = Ayz exp − r 2 2a 2 ,(())()где r = x 2 + y 2 + z 2 , a = h mω . Определить, какие значения энергии, квадратамомента количества движения и его проекции на ось z могут быть измерены вэтих состояниях.7.13. Для частицы, находящейся в центрально-симметричном поле, построить общийвид волновых функций с орбитальным квантовым числом ( l = 1 ) и единичнойпроекцией орбитального момента на оси x (и y ).7.14.
В атоме трития ядро 13 H испытывает β - распад с образованием ядра 23 He . Определить вероятность того, что образующийся водородоподобный ион гелия будетнаходиться в основном состоянии. Какова будет вероятность его возбуждения в2 s и 2 p состояния. Указание: Поскольку образующийся при β - распаде электрон является быстрым, изменение заряда можно считать мгновенным.103104Лекция 8.Орбитальный механический и магнитный моменты электрона.Выше мы ввели понятие момента количества движения электрона, обусловленного его движением по «орбите» вокруг атомного ядра.
В дальнейшем об этом моменте мыбудем говорить как об орбитальном механическом моменте электрона. Из курса электродинамики мы знаем, что если орбитальным механическим моментом обладает некоторая заряженная частица (например, электрон), у нее имеется также и магнитный момент. Величину этого магнитного момента проще всего вычислить для случая круговойорбиты (см.
рис.8.1). Действительно, запишем выражение для магнитного моментаr 1 rµ = iS ,(8.1)cгде i = − e T - ток в атоме, T = 2π ω rкруговая частота обращения электронавокруг ядра, а S = πr 2 - площадь контура,rохватываемого током (вектор S направлен по нормали к поверхности и образуетс направлением обтекания контура правовинтовую систему). Учитывая также, чтоорбитальный момент количества движения частицы естьr rrL = [r × mv ] ,из (8.1) получимre rL.µ=−(8.2)2mcrrКак видно, вектора L и µ направлены в противоположные стороны, что обусловленоотрицательным зарядом электрона. Величину e 2mc называют гиромагнитным отношением.
Гиромагнитным отношением (или g -фактором) часто также называют безразмерную величину отношения магнитного и механического моментов частицы (взятых помодулю):µ Lg== 1.(8.3)e 2mcВсе выше сказанное относится к классической теории. Переход к квантовой теории осуществляется просто. Та связь между величинами, которая существует в классической теории, в квантовой теории переносится на операторы. Таким образом, мы можем ввести новый оператор – оператор магнитного момента частицыre rˆµˆ l = −L.(8.4)2mcНас прежде всего будет интересовать оператор z - проекции магнитного момента:e ˆµˆ l z = −Lz .(8.5)2mcНетрудно видеть, что состояния с точно определенным значением z - проекции орбитального момента одновременно характеризуются точным значением z - проекции магнитного момента, причем104105ehml .(8.6)2mcЗдесь ml = 0,±1,±2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
