А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 26
Текст из файла (страница 26)
- магнитное квантовое число. Величина µ B = eh 2mc определяетхарактерное значение атомного магнитного момента и носит специальное название –магнетон Бора. Численное значение µ B = 0.927 ⋅ 10 −20 эрг/Гс.Модуль магнитного момента электрона может принимать значенияµ l = µ B l(l + 1) ,(8.7)µlz = −здесь l = 0,1,2,... - орбитальное квантовое число.rЭкспериментальное определение атомных магнитных моментов.rПри помещении частицы с магнитным моментом µ во внешнее магнитное полеΗ она приобретает дополнительную энергиюr rW = −(µΗ ) .(8.8)zВыбирая направление оси вдоль направления магнитного поля, перепишем (8.8) в видеW = −µ z Η .Поскольку величина z - проекции магнитного момента принимает строго дискретныйнабор значений, то квантуется и величина дополнительной энергии атома в магнитномполе1∆E = −µ z Η = ml µ B Η ,ml = 0,±1,±2,... ± l .(8.9)То есть при наложении внешнего магнитногополя уровни, вырожденные по проекции орбитального момента, расщепляются на 2l + 1 подуровней.
Говорят также, что внешнее магнитное поле снимает вырождение по магнитномуквантовому числу.В качестве примера рассмотрим, какдолжно происходить расщепление d - состояния атома водорода, помещенного во внешнеемагнитное поле с напряженностью Η (см.рис.8.2). Очевидно, уровень расщепится на пятькомпонент, причем расстояние между соседними компонентами составляет µ B Η . Фактически по числу компонент и величине расщепления можно экспериментально проверить выражение (8.9) и определить значениеатомного магнитного момента.
Однако, с практической точки зрения удобнее поступитьиначе – исследовать расщепление атомного пучка при пролете через область неоднородного магнитного поля. Такие опыты впервые были осуществлены О.Штерном иВ.Герлахом2 в 1922 году. Схема опыта приведена на рис.8.3. В неоднородном магнитномполе (ось z направим вдоль градиента магнитного поля) на атом, обладающий магнитным моментом, действует сила∂Η.F = −µ z∂z1На самом деле, сделанное утверждение совершенно не очевидно. Более строгий путь рассуждений будетприведен позже.2O.Stern (1888-1969), W.Gerlaсh (1889-1979) – немецкие физики – экспериментаторы.105106В результате пучок расщепляется на 2l + 1 компонент. По величине расщепления с учетом конкретной геометрии установки могут быть измерены значения атомных магнитных моментов.Некоторые результаты опытов оказались неожиданными.
Казалось бы, наша теория предсказывает, что число компонент должно быть обязательно нечетным. Однако, внекоторых экспериментах было обнаружено четное число компонент, на которые расщепился атомный пучок. Например, невозбужденный пучок атомов водорода расщепляется на две компоненты,хотя, казалось бы, онвообще не должен расщепляться, так как в основном состоянии уатома водорода l = 0 .Фактически это означает, что у атома имеетсяеще какой-то магнитный момент, не связанный с орбитальнымдвижением электронов.Ранее также было выяснено, что спектральные линии рядаатомов (водорода и щелочных металлов) образуют дуплеты, т.е.
совокупность двухблизко расположенных линий. Для объяснения этой тонкой структуры спектраДж.Уленбек и С.Гаудсмит3 в 1925 году выдвинули гипотезу, согласно которой электронобладает собственным механическим и связанным с ним магнитным моментом. Этотсобственный механический момент электрона был назван спином.Собственный механический и магнитный моменты электрона. Спин.Таким образом, мы пришли к пониманию того, что у электрона в атоме помимоорбитального момента количества движения существует еще и собственный механический и связанный с ним магнитный момент4. При этом, если в s - состоянии происходитрасщепление пучка атомов на две компоненты, то по аналогии с рассмотренной вышетеорией электрону следует приписать значение спинового квантового числа s = 1 2 .
Тогда возможные значения проекции собственного механического момента электрона навыделенную ось z будут принимать два возможных значения и характеризоваться квантовым числом m s = ± 1 2 , а число компонент расщепления будет равно 2 s + 1 = 2 . Чтокасается самих величин квадрата спинового момента и его проекции на ось z , то3S 2 = h 2 s ( s + 1) = h 2 ,(8.10)4S z = ms h = ± h 2 .(8.11)3G.Uhlenbeck (1900-1988), S.Goudsmit (1902-1978) – американские физики – теоретики.Попытка классического трактования спина заключается в рассмотрении электрона, как некоторого шарика (например, с размером, равным классическому радиусу электрона) вращающегося вокруг собственной оси. Такая картина, однако, не может быть признана удовлетворительной.
Даже если распределитьзаряд по экватору шарика, окажется. что угловая скорость его вращения должна быть слишком большой:линейная скорость на экваторе превысит скорость света. Спин следует рассматривать, как такое же «врожденное» свойство электрона, как, например, масса или заряд.1064107Таким образом, абсолютная величина z - проекции спина электрона равняется h 2 .Именно в этом смысле говорят, что спин электрона равен одной второй.Из опытов Штерна и Герлаха, зная величину градиента магнитного поля ∂Η ∂z , атакже геометрические размеры установки, можно установить саму величину собственного магнитного момента электрона.
Оказалось, что величина гиромагнитного отношения для спинового момента электрона в два раза больше, чем для орбитального5, т.е. мыможем записатьre rµS = −S.(8.12)mcВ этом случае для g - фактора находимµ Sg= S= 2.e 2mcВ рамках формализма квантовой теории соотношение (8.12) надо понимать как соотношение между операторами спина и собственного магнитного момента электронаre rˆe ˆµˆ S = −S , µˆ S z = −Sz(8.13)mcmcТогда, очевидно, дополнительная энергия системы с заданным значением величины z проекции спинового момента во внешнем однородном магнитном поле будет равна6∆E = −µ S z Η = ±µ B Η .(8.14)С математической точки зрения спиновому движению электрона надо поставить всоответствие еще одну (четвертую) степень свободы, причем соответствующая координата, описывающая спиновое движение, принимает всего два возможных значения.
Тогда наиболее естественно задать состояния с проекцией спина на выделенную ось z ввиде двурядных столбцов: например, состоянию с проекций спина на ось z , равной⎛1 ⎞⎛ 0⎞+ h 2 , ставится в соответствие столбец ⎜⎜ ⎟⎟ , а состоянию с S z = − h 2 - столбец ⎜⎜ ⎟⎟ . В⎝ 0⎠⎝1 ⎠дальнейшем такие спиновые состояния электрона мы будем обозначать функциямиχ(ms = 1 2) и χ(ms = − 1 2) :⎛1 ⎞⎛ 0⎞χ(m s = 1 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ , χ(m s = − 1 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 0⎠⎝1 ⎠(8.15)⎛α⎞Произвольное спиновое состояние электрона, очевидно, есть столбец ⎜⎜ ⎟⎟ . Поскольку⎝β ⎠⎛α⎞⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = α⎜⎜ ⎟⎟ + β⎜⎜ ⎟⎟ ,(8.16)⎝β ⎠⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠2то α есть вероятность того, что при измерении будет обнаружена величина проекции,2равная + 1 2 (в единицах h ), а β - есть вероятность того, что при измерении будет об5С теоретической точки зрения наличие у электрона собственного механического момента (спина) является прямым следствием релятивистского волнового уравнения Дирака.
Из этого уравнения также следует,что величина гиромагнитного отношения для спинового момента ровно в два раза больше, чем для орбитального момента. Следует, однако, иметь в виду, что уравнение Дирака было получено в 1928 году, т.е.позже, чем эти факты были установлены экспериментально.6Для справедливости этих рассуждений важно полагать, что электрон находится в состоянии с нулевымзначением орбитального момента.10710822наружена величина проекции, равная − 1 2 .
При этом, естественно, α + β = 1 . Нашаrˆзадача теперь определить операторы спина S = Sˆ x , Sˆ y , Sˆ z , которые действуют в про-()странстве спиновых функций. Очевидно, такие операторы – матрицы размера 2 × 2. Ихможно записать в следующем виде:rˆ h rS = σˆ ,(8.17)2где⎛0 − i⎞⎛⎞⎛ 0 1⎞⎟ , σˆ z = ⎜1 0 ⎟ .σˆ x = ⎜⎜ ⎟⎟ , σˆ y = ⎜(8.18)⎜i 0 ⎟⎜ 0 − 1⎟⎝1 0 ⎠⎝⎠⎝⎠Матрицы (8.18) называются матрицами Паули7 и представляют собой основу математической теории спина.Принципиально важным для дальнейшего является утверждение, что все соотношения, которые были ранее получены для операторов орбитального момента L̂ x , L̂ y ,L̂z , являющихся дифференциальными операторами и действующими в пространствефункций с интегрируемым квадратом модуля, оказываются справедливы и для матричных операторов Ŝ x , Ŝ y , Ŝ z , действующих в пространстве двурядных столбцов.Проверим, прежде всего, что введенные нами состояния (8.15) действительно являются собственными состояниями оператора z - проекции спина с собственными значениями S z = ± h 2 .
Действительно:⎛1 ⎞ h ⎛1 0 ⎞⎟⎛1 ⎞ h ⎛1 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ,Sˆ z ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎝ 0 ⎠ 2 ⎜⎝ 0 − 1⎟⎠⎝ 0 ⎠ 2 ⎝ 0 ⎠(8.19)⎛ 0 ⎞ h ⎛1 0 ⎞⎟⎛1 ⎞h ⎛ 0⎞⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ ⎟⎟ ,Sˆ z ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜2 ⎝1 ⎠⎝1 ⎠ 2 ⎜⎝ 0 − 1⎟⎠⎝ 0 ⎠hт.е. Sˆ z χ(m s = ± 1 2) = ± χ(m s = ± 1 2) .2В качестве другого примера проверим правила коммутации операторов Ŝ x и Ŝ y .Вычисляя[σˆполучимx⎛ 0 1⎞⎛ 0 − i ⎞ ⎛ 0 − i ⎞⎛ 0 1⎞⎛⎞⎟−⎜⎟⎜ ⎟ = 2⎜ i 0 ⎟ = 2iσˆ z ,, σˆ y = σˆ x σˆ y − σˆ y σˆ x = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜0 − i⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎝1 0 ⎠⎝ i 0 ⎠ ⎝ i 0 ⎠⎝1 0 ⎠⎝⎠][Sˆ , Sˆ ] = h4 ⋅ 2iσˆ2xyz= ihSˆ z ,(8.20)т.е.
соотношение эквивалентное (4.93).Ведем теперь оператор квадрата спинового момента Ŝ 2 :h2 23 ⎛1 0 ⎞ 3(σˆ x + σˆ 2y + σ 2z ) = h 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = h 2 Iˆ .Sˆ 2 = Sˆ x2 + Sˆ y2 + Sˆ z2 =4 ⎝ 0 1⎠ 447W.Pauli (1900-1958) – физик –теоретик, Нобелевская премия (1945).108109Здесь Iˆ - единичная матрица. Следовательно,3Sˆ 2 χ(m s = ± 1 2) = h 2 χ(m s = ± 1 2) = h 2 s ( s + 1)χ(m s = ± 1 2) ,(8.21)4где квантовое число s = 1 2 .Произвольное спиновое состояние электрона (любой частицы со спином 1 2 ),⎛α⎞очевидно, может быть описано столбцом ⎜⎜ ⎟⎟ , где α и β - комплексные числа, причем⎝β ⎠22α + β = 1 . Нетрудно убедиться, что такое состояние является собственным состояни-ем оператора Ŝ 2 с собственным значением h 2 s ( s + 1) , однако, в общем случае, не является собственным для оператора Ŝ Z .
При этом физический смысл коэффициентов α и βзаключается в том, что квадраты их модуля определяют вероятности обнаружить проекции спинового момента на ось Z, равные + 1 2 и − 1 2 соответственно.Обсудим еще вычисление среднего значения проекции спина на любую из коор⎛α⎞динатных осей в заданном состоянии ⎜⎜ ⎟⎟ . Очевидно, поступать надо так:⎝β ⎠h ⎛α⎞S i = (α * β * ) σˆ i ⎜⎜ ⎟⎟ ,(8.22)2 ⎝β ⎠где i = x, y, z - любая из координатных осей.Таким образом, на ряде примеров мы действительно убедились в том, для спинового и орбитального моментов количества движения действуют одни и те же правила. Вчастности, существует такой набор состояний, в которых точно одновременно определены квадрат момента и его проекция на одну из осей (наиболее удобно выбирать ось z ).В центрально - симметричном поле атома можно построить набор стационарных состояний с точно определенными значениями L2 и Lz .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
