А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В тоже время легко убедиться, что полный атомный гамильтониан коммутирует с операторами ĵ 2 и ĵ z . На этом основании мы приходим к выводу, что в присутствие спин – орбитального взаимодействия мы должны работать в базисе состояний n, l, j , m j . Тогда,учитывая, чтоˆj 2 n, l, j , m j = j ( j + 1) n, l, j , m j ,ˆl 2 n, l, j , m = l(l + 1) n, l, j , m ,jjsˆ 2 n, l, j , m j = s ( s + 1) n, l, j , m j ,запишем выражение для поправки к энергии состояния, обусловленную учетом спин орбитального взаимодействия, в виде1∆E ls = Zµ 2B 3 ( j ( j + 1) − l(l + 1) − s ( s + 1) ) ,(9.28)r11где 3 = ∫ Rnl2 (r )dr - усредненное по квантовому состоянию значение 1 r 3 .
Значениеrrэтого интеграла также известно:1Z3=.(9.29)r3n 3 a 03 l(l + 1)(l + 1 2)Тогда, учитывая, что s = 1 2 , j = l ± 1 2 , из (9.28) получим⎧ α2Z 21,E nl ⋅j = l +1 2,⎪−2(l + 1 2)(l + 1)n⎪∆E l s = ⎨ 2 21⎪α Z E ⋅,j = l − 1 2.nl⎪⎩ n2l(l + 1 2)Окончательный ответ получается, если просуммировать обе поправкиα 2 Z 4 Ry ⎛ 13 ⎞⎜⎜(9.30)∆E n l = ∆E T + ∆E l s = −− ⎟⎟ .3n⎝ j + 1 2 4n ⎠Формула (9.30) называется формулой тонкой структуры (формулой Дирака) и описываетрелятивистские поправки в положение энергетических уровней в спектре водородоподобного иона7.
Как видно, спин – орбитальное взаимодействие приводит к расщеплениюуровней по значению полного механического момента атома. Уровень с большим значеС точки зрения теоретической физики полученная формула является разложением по параметру αZрешения уравнения Дирака для частицы в кулоновском поле.1227123нием j = l + 1 2 лежит выше, чем уровень с меньшим значением j = l − 1 2 . Такая ситуация имеет понятную физическую интерпретацию. Величина энергии спин - орбиrrтального взаимодействия определяется скалярным произведением Vls ~ ls .
Если векrrтора l и s «параллельны» друг другу (т.е. j = l + 1 2 ), величина энергии Vls оказывается положительной. Наоборот, при«антипараллельной» ориентации векторов скалярное произведение меняетзнак, и энергия Vls оказывается отрицательной. Заметим, однако, что вырождение снимается частично. В соответствии с нашей теорией состояния с различными значениями l , ноодним и тем же значением j (например, 2s1 2 и 2 p1 2 ) оказываются попрежнему вырожденными.Общий вид спектра атома водорода с учетом тонкой структурыприведен на рис.9.3.
Как видно, всеуровни с ненулевым значением орбитального момента расщепились надвое (стали дублетами). Величина этого дублетного расщепления может быть легко определена с помощью формулы Дирака:α 2 Z 4 Ry.(9.31)δE = ∆E nl ( j = l + 1 2) − ∆E nl ( j = l − 1 2) = 3n l(l + 1)( )В частном случае для дублета 2 p1 2,3 2 в атоме водорода имеем δE = α 2 Ry 16 ≈ 4.5 ⋅ 10 −5эВ. Это максимальная величина тонкого расщепления в атоме водорода. Как видно из(9.31), она быстро убывает с увеличением главного и орбитального квантового чисел.Тонкая структура спектров многоэлектронных атомов.Мы пока не рассматривали особенности строения многоэлектронных атомов.
Однако, некоторые соображения о тонкой структуре их спектров можно высказать ужесейчас. Так, в отличие от атома водорода, где для расчета тонкой структуры надо принимать во внимание спин – орбитальное взаимодействие и релятивистскую связь импульса и энергии, в многоэлектронных атомах тонкая структура спектра обусловленатолько спин – орбитальным взаимодействием в атоме.
Это связано с отсутствием «случайного» вырождения в спектрах многоэлектронных атомах. Действительно, рассмотренная нами первая релятивистская поправка лишь слегка смещает положение уровня,но не приводит к его расщеплению. В такой ситуации ее влиянием на положение уровней с различными значениями орбитального момента l в многоэлектронном атомеможно пренебречь. В то же время спин – орбитальное взаимодействие приведет к расщеплению уровня в мультиплет, число компонент которого определяется числом возrrrможных ориентаций векторов l и s в пространстве, т.е. числом различных значений j .Более подробно с тонкой структурой спектров многоэлектронных атомов мы познакомимся в Л_11.123124Понятие о сверхтонкой структуре атомных спектров.Атомное ядро, так же как и электрон, обладает собственным механическим моментом количества движения. Он складывается из собственных механических моментов(спинов) и орбитальных моментов протонов и нейтронов.
Известно, что спины протонаи нейтрона равны I p = I n = 1 2 . Поэтому, спин ядра атома водорода I H = I p = 1 2 , спинядра атома дейтерия I D = 1 (в дейтроне спины протона и нейтрона «параллельны» другдругу). Наличие орбитального движения протонов в атомном ядре приводит к существованию ненулевого магнитного момента атомных ядер. Кроме того, у нуклонов есть собственный магнитный момент, связанный со спином:rrµ N = g N µ NB I n ,(9.32)здесь g N - так называемый g – фактор нуклона, µ NB = eh 2m p c - ядерный магнетон Бора, m p - масса протона. Оказывается для протона g p ≈ 5.6 , а для нейтрона g n ≈ −3.8 .Отметим, что наличие ненулевого магнитного момента у электрически нейтральногонейтрона косвенно свидетельствует о наличии у него некоторой пространственнойструктуры.
Поскольку проекция спинов нуклонов на некоторую выделенную ось равна1 2 , то проекции магнитных моментов на ту же ось, очевидно, определяются какµ p z = 2.8µ NB ,µ n z = −1.9µ NB .Как видно собственные магнитные моменты нуклонов примерно на три порядка меньше,чем магнитный момент электрона.
То же самое касается и магнитного момента, связанного с орбитальным движением протона.Учет взаимодействия магнитных моментов атомного электрона (или всей совокупности атомных электронов, если мы говорим о многоэлектронном атоме) и атомногоядра приводит к возникновению сверхтонкой структуры атомных спектров. Величинадополнительной энергии атома, обусловленной взаимодействием ядерного магнитногомомента с магнитным моментом электронной оболочки атома, может быть оценена какµ µm 2δE ~ B 3 NB ~α Ry ~ 10 −6 эВ.(9.33)mpa0С другой стороны по аналогии со спин – орбитальным взаимодействием мы можем записать оператор взаимодействия, приводящего к сверхтонкой структуре, в видеrˆrˆVˆJI = B( JI ) ,(9.34)r̂r̂где J и I - операторы полного механического момента электронной оболочки атома испина ядра, B - константа связи, ее численное значение может быть оценено по формулеr̂r̂(9.33).
Величина энергии (9.34) зависит от ориентации векторов J и I в пространствеотносительно друг друга. Число таких ориентаций определяется квантовым числом F ,r r rопределяющим значение суммарного механического момента атома F = J + I . Из общих правил сложения моментов (см. Л_8) число различных значений F определяетсякак min{(2 J + 1), (2 I + 1)}.
Это и будет число компонент сверхтонкого расщепления.В качестве примера чуть более подробно остановимся на сверхтонкой структуреосновного состояния атома водорода 1s1 2 . В этом случае полный механический моментатома равен спиновому моменту единственного атомного электрона, а спин ядра определяется спиновым моментом протона. Поэтому квантовое число F может приниматьдва значения: F = 1 если спины электрона и протона «параллельны» и F = 0 в случае124125«антипараллельной» ориентации спинов.
В соответствии с этим приходим к выводу, чтосверхтонкая структура основного состояния атома водорода состоит из двух компонент.Длина волны перехода между этими подуровнями лежит в радиочастотном диапазоне исоставляет λ = 21 см. Излучение атомов водорода на этой длине волны широко используется в современной радиоастрономии при изучении пространственного распределенияатомарного водорода во Вселенной.Еще одной причиной смещения атомных уровней является наличие у многих ядерэлектрического квадрупольного момента, обусловленного отличием их формы от сферической.
Как правило, этот эффект следует учитывать, прежде всего, для тяжелых атомов ( Z >> 1 ).Отметим, что спины и магнитные моменты, а также электрические квадрупольные моменты атомных ядер различных изотопов одного и того же химического элементаимеют разные значения. Поэтому оказывается различной и их сверхтонкая структура(как по величине расщепления, так и по числу компонент). В этом смысле сверхтонкаяструктура также является одним из проявлений изотопических эффектов в атомныхспектрах.
Это означает также, что по характеру сверхтонкого расщепления часто оказывается возможным определить спин и магнитный момент атомного ядра, т.е. методамиатомной радиоспектроскопии исследовать свойства атомных ядер.9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.9.7.9.8.9.9.Задачи.Определить заряд ядра Z водородоподобного иона, при котором величины изотопического сдвига 1s состояния, связанные с конечной массой и конечным размером ядра, совпадают. Оценку провести в предположении, что число протонови нейтронов в ядре одинаково, а радиус ядра связан с его массовым числом соотношением R ≅ 1.4 ⋅ 10 −13 ⋅ A1 / 3 см.Определить величину расщепления 2s и 2p состояний, обусловленную конечнымразмером ядра, в водородоподобном ионе с зарядом Z (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
