А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть состояние одного из электронов описывается функцией ψ 1 (ξ1 ) , а вто8Понятие классического электромагнитного поля является значительно более сложным, чем представление о состоянии с большим числом фотонов. Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в Л_13.9В настоящее время экспериментально получены и неклассические электромагнитные поля, несущие макроскопически большую энергию и содержащие огромное количество фотонов – так называемый «сжатыйсвет». Такие поля представляют собой еще один макроскопический квантовый эффект и широко изучаются в современной квантовой оптике.10Сказанное нуждается в некотором уточнении.
Как мы увидим в дальнейшем, в тяжелых системах крайне существенным оказывается спин-орбитальное взаимодействие. В этом случае состояние атомного электрона правильнее характеризовать квантовыми числами n, l, j , m j .131132рого - ψ 2 (ξ 2 ) . Тогда каждый из электронов создает в пространстве электростатическийпотенциал, определяемый какrrρ1 (r1 ) 3ρ 2 (r2 ) 3vvϕ1 (r ) = ∫ r r d r1 , ϕ 2 (r ) = ∫ r r d r2 ,(10.15)r − r1r − r2rr 2где ρ i (ri ) = e ψ i (ri ) - плотность заряда, создаваемая в пространстве каждым из электронов.
Поэтому самосогласованный потенциал, в котором движется каждый их электронов, имеет видrrrrZe 2Ze 2V1( eff ) (r1 ) = −+ eϕ 2 (r1 ) , V2( eff ) (r2 ) = −+ eϕ1 (r2 ) ,(10.16)r1r2а уравнения самосогласованного поля записываются в видеrrrTˆ1 + Vˆ1( eff ) (r1 ) ψ 1 (r1 ) = E1ψ 1 (r1 ) ,rrrTˆ2 + Vˆ2( eff ) (r2 ) ψ 2 (r2 ) = E 2 ψ 2 (r2 ) .(10.17)Отметим, что полученные уравнения Хартри не удовлетворяют принципу тождественности.
Полная волновая функция системы двух электроновr rrrψ ( r1 , r2 ) = ψ 1 (r1 )ψ 2 (r2 )не является ни симметричной, ни антисимметричной относительно перестановки электронов местами. Модификация уравнений самосогласованного поля Хартри с цельюудовлетворить принципу тождественности была выполнена В.А.Фоком11. Поэтому в современной литературе по атомной физике приближение самосогласованного поля известно также как метод Хартри – Фока.
Следует иметь в виду, что эффективность использования метода Хартри или Хартри - Фока для описания структуры многоэлектронного атома в значительной мере обусловлена тем, что главной частью самосогласованного потенциала является потенциал взаимодействия с атомным ядром, а энергия межэлектронного взаимодействия, как правило, существенно меньше. Это позволяет в рядеслучаев (особенно при качественном анализе атомной структуры) существенно упростить задачу и рассматривать структуру многоэлектронного атома в рамках теории возмущений, выбирая в качестве нулевого приближения приближение невзаимодействующих электронов.(())Атомные оболочки и подоболочки.
Электронная конфигурация.Принцип Паули оказывается ответственным за существование оболочечнойструктуры атомов и многообразие их свойств. Если бы не принцип запрета, все электроны заняли основное состояние с минимальной энергией. Как мы уже отмечали, состояние атомного электрона может быть задано с помощью набора из четырех квантовыхчисел n, l, ml , m s , причем не может быть двух электронов, у которых эти наборы квантовых чисел совпадают. В результате, по мере увеличения числа электронов, они должнызанимать состояния со все более высокими значениями главного и орбитального квантового чисел.Договоримся о следующей терминологии.
Атомной оболочкой (слоем) мы будемназывать совокупность электронов с одинаковым значением главного квантового числа.Оболочки принято обозначать буквами латинского алфавита. Оболочку, соответствующую n = 1 , называют K – оболочкой. Далее используют последующие буквы латинскогоалфавита L, M, ... Атомной подоболочкой мы будем называть совокупность электронов ватоме с одинаковыми значениями главного и орбитального квантовых чисел. Очевидно,11В.А.Фок (1898 - 1974)- советский физик – теоретик.132133число мест в подоболочке определяется набором различных значений ml и m s для заданного l и равно 2(2l + 1) .
Для данного значения n главного квантового числа орбитальное число может принимать n различных значений. Например, K - оболочка состоитиз единственной подоболочки 1s , L - оболочка ( n = 2 ) состоит из двух подоболочек 2 sи 2 p , и так далее. Общее число мест в оболочке - 2n 2 . Суммируем все вышесказанное вследующей таблице:n1234оболочкиKLMNподоболочки1s2s, 2p 3s, 3p, 3d4s, 4p, 4d, 4fчисло мест22, 62, 6, 102, 6, 10, 14Электроны, которые находятся в одной подоболочке, называются эквивалентными.Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам называется электроннойконфигурацией. Принято следующее обозначение электронной конфигурации: записываются обозначения подоболочек, в которых имеются электроны, и справа вверху указывается их количество. Например, имеется конфигурация 1s 2 2s 2 2 p 3 .
Эта запись означает, что имеется семь электронов, два из них находятся на K – оболочке (значит, этаоболочка является полностью занятой), на L – оболочке находится пять электронов, изних два – в 2s и три – в 2p - подоболочках. При этом 2s –подоболочка также являетсяполностью занятой, а в 2p - подоболочке имеется еще три свободных места. Рассмотренная конфигурация соответствует атому азота, причем электроны в этой конфигурациизанимают состояния с минимальным значением энергии.Отметим, что задание электронной конфигурации позволяет грубо оценить энергию атома. Фактически мы учли энергию взаимодействия атомных электронов с ядром инекоторую часть энергии электростатического взаимодействия электронов друг с другом. Для лучшего понимания общих принципов, используемых для описания строенияэлектронных оболочек многоэлектронных атомов, мы сначала рассмотрим ряд простейших многоэлектронных систем.
К простейшим системам мы относим, во-первых, атомыщелочных металлов, содержащие единственный электрон сверх полностью заполненныхоболочек и подоболочек, а, во-вторых, двухэлектронную систему - атом гелия и гелиеподобные ионы. Затем эти принципы будут обобщены на случай атомов с произвольнымчислом электронов.Атомы щелочных металлов.К атомам щелочных металлов относятся литий Li , натрий Na , калий K , рубидий Rb и цезий Cs . Это элементы, которые стоят в первой группе таблицыД.И.Менделеева, и имеют по одному электрону во внешней оболочке атома.
В качествепримера приведем электронные конфигурации для атомов лития и натрия:Li :1s 2 2s ,Na :1s 2 2 s 2 2 p 6 3s .У более тяжелых атомов щелочных металлов (калий K , рубидий Rb и цезий Cs ) внешний электрон находится в 4 s , 5s и 6 s подоболочках соответственно.Внешний электрон находится достаточно далеко по сравнению с остальнымиэлектронами, образующими атомный остов. Поэтому в первом приближении можносчитать, что внешний электрон движется в поле остова, состоящего из ядра с зарядом Zи Z − 1 атомных электронов.
Полный заряд остова оказывается единичным, однако, посравнению с атомом водорода он не является точечным, а распределен по размеру по-133134рядка боровского радиуса (размер остова). Схематически такая структура атома щелочного металла изображена на рис.10.3. На расстояниях, превышающих размер атомногоостова, очевидно, потенциал совпадает с потенциалом поля точечного заряда, наоборот,вблизи атомного ядра экранирующее действие остова пропадает и потенциал определяется зарядом атомного ядра Z .
В общемвиде это потенциал можно задатькакZ eff (r )e 2V (r ) = −,(10.18)rгде Z eff (r ) - эффективный заряд,учитывающий степень экранировки ядра атомным остовом. Конкретный вид функции Z eff (r ) определяется распределением зарядапо атомному остову, однако, прилюбом распределении заряда она должна удовлетворять следующим условиям⎧1, r → ∞,⎪Z eff (r ) → ⎨(10.19)⎪Z , r → 0.⎩Качественный вид распределения потенциала, в котором движется внешний атомныйэлектрон приведен на рис.10.4. Как видно, потенциальная яма для этого электрона оказывается глубже, чем для электрона в атоме водорода, а, значит, уровни сместятся внизпо оси энергий. Качественный анализ ситуации можно повести в рамках теории возмущений аналогично тому, как мы рассматривали смещение атомных уровней, обусловленное конечным размером атомного ядра (см.
Л_9). Отличие заключается в знаке и величине эффекта. Учет конечного размера ядра делал потенциальную яму, в которой движется атомный электрон,менее глубокой – в результатеэнергия уровней возрастала. Сейчас – ситуация обратная. Более существенным является то, что размер атомного остова на несколькопорядков больше радиуса атомногоядра и составляет величину порядка боровского радиуса. Как следствие, происходит не только смещение s - уровней, но и состояний с ненулевым значением орбитального момента. Есливоспользоваться теорией возмущений, то величину сдвига уровней в атоме щелочногометалла относительно их положения в атоме водорода можно определить какδE nl = ∫ Rn2l (r ) ⋅ δV (r )r 2 dr ,(10.20)134135где n, l квантовые числа внешнего электрона, δV = − ( Z eff (r ) − 1)e 2 r , а интеграл фактически берется по размеру остова. Вычисление интеграла должно быть проведено дляконкретного вида функции Z eff (r ) .
Мы ограничимся лишь общими соображениями.Наибольшая величина поправки к энергии будет наблюдаться для s - состояний, т.к. дляэтих состояний отсутствует центробежный потенциальный барьер, и электрон с наибольшей вероятностью может оказаться внутри остова. По мере увеличения орбитального квантового числа центробежный потенциал возрастает, что приводит к уменьшениювероятности обнаружить электрон внутри остова.
В результате положение уровня оказывается все ближе к положению аналогичного уровня в атоме водорода. Расчет показывает, что с учетом конечного размера атомного остова положение энергетических уровней в атомах щелочных металлов можно описать следующей формулойRyE nl = −,(10.21)(n − ∆n,l )2где ∆n,l - квантовый дефект, зависящий от квантовых чисел n и l . Спектр получилсяводородоподобным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
