А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Отметим только, что учет неточечности кулоновского центра привел к снятию «случайного» вырождения по величине орбитального момента.Для проведения более точных расчетов следует еще учесть поляризацию атомного остова внешним электроном. Поляризация остова приводит к появлению у остова наведенного дипольного момента и к дополнительному взаимодействию типа «заряд - диполь). С учетом эффекта поляризации взаимодействие электрона с атомным остовомможет быть записано в виде:a e2e2V (r ) = − − C1 0 2 .(10.22)rrЗдесь постоянная C1 фактически определяет величину наведенного дипольного момента.
Радиальное уравнение Шредингера для функции u nl (r ) = rRnl (r ) записывается в видегдеd 2 u nl 2m+ 2 (E − Veff (r ) )u nl = 0 ,hdr 2(10.23)a 0 e 2 h 2 l(l + 1)e2.(10.24)Veff (r ) = − − C1 2 +rr2mr 2Как видно, поляризационная добавка к эффективному потенциалу не меняет его вида12.Поэтому, вводя эффективное орбитальное квантовое число l * , мы можем записать эффективный потенциал (10.24) в обычном виде:e 2 h 2 l * (l * + 1)Veff (r ) = − +.r2mr 2Здесь l * (l * + 1) = l(l + 1) − 2C1 . Отсюда находим1 1(2l + 1)2 − 2C1 ≈ l − C1 .l* = − +2 2l +1 2Вспоминая, что решение уравнения (10.23) записывается в виде (Л_7)RyE nl = −(nr + l * + 1)212Это утверждение, конечно, не справедливо для состояний с нулевым значением орбитального момента.Для s - состояний решение уравнения (10.23) с потенциалом (10.24) требует отдельного рассмотрения.135136( n r - радиальное квантовое число), введем квантовый дефект13 в соответствии с выражеC1.
Тогда выражение для энергетического спектра также может быть занием ∆l =l +1 2писано в видеRyE nl = −.(10.25)(n − ∆l )2Как видно, с увеличением орбитального момента величина квантового дефекта падает, ив пределе больших l мы переходим к спектру атома водорода. Такая зависимость квантового дефекта от орбитального квантового числа обусловлена наличием центробежногопотенциального барьера, который возрастает с увеличением l . Как уже отмечалось, вобщем случае величина квантового дефекта зависит не только от орбитального, но и отглавного квантового числа, хотя зависимость от главного квантового числа являетсяслабой и ей часто пренебрегают.Данные по величинам квантового дефекта основных состояний атомов щелочныхметаллов в состояниях с различными значениями орбитального момента приведены втаблице14. В той же таблице приведены значения потенциалов ионизации тех же атомов.∆s∆p∆d∆f3Li0.412*0.0410.0020.000Потенциалионизации, эВ5.3711Na1.373*0.883*0.0100.0015.1219K2.230*1.776*0.146*0.0074.3237Rb3.195*2.711*1.233*0.0124.1655Cs4.131*3.649*2.448*0.0223.89ZЭлементКак видно из данных, представленных в таблице, величины квантовых дефектов, обусловленные неточечностью остова, существенно превышают по величине значения «поляризационных» дефектов.
Отметим также, именно возрастание размера атомного остова у тяжелых атомов щелочных металлов приводит к увеличению квантовых дефектоватомных состояний по мере увеличения заряда ядра.В заключение, в качестве примера, приведем диаграмму энергетических уровнейатома натрия (см. рис.10.5), наглядно иллюстрирующую отмеченные выше особенностиспектров атомов щелочных металлов. Нижнее состояние атома натрия - 3s1 2 . Выше поэнергии лежит дублет 3 p1 2,3 2 , еще выше – дублет 3d 3 2,5 2 . Положение этого дублетапрактически не отличается от положения уровней с n = 3 в атоме водорода15. В результате оказывается, что уровень 4s1 2 лежит по энергии даже ниже, чем 3d 3 2,5 2 , но выше,чем 3 p1 2,3 2 . Такое же расположение s, p и d - состояний реализуется и для более вы13Иногда в литературе вводят поправку Ридберга δ l = − ∆l .
В этом случае в знаменателе выражения(10.25) знак меняется на противоположный.14Знаком «*» в таблице помечены квантовые дефекты, при расчете которых поправка, связанная с конечным размером остова, доминирует.15Расщепление этих и вышележащих дублетов обусловлено спин – орбитальным взаимодействием и вданном разделе не рассматривается.136137соких значений главного квантового числа. На диаграмме указаны также f - состояния,существующие для n ≥ 4 . В дальнейшем мы увидим, что именно такое расположениеэнергетических уровней определяет последовательность заполнения атомных оболочеки подоболочек в многоэлектронных атомах.137138Задачи.10.1.
В потенциальной яме трехмерного изотропного гармонического осциллятораV = mω 2 r 2 2 находятся восемь одинаковых ферми-частиц. Пренебрегая их взаимодействием между собой, определить энергию основного состояния такой системы. Как изменится эта энергия при добавлении еще одной такой же частицы?10.2. Оценить среднее значение кинетической энергии электронного ферми-газа в металлах при нулевой температуре. Сравнить полученную величину с характернойэнергией кулоновского взаимодействия электронов. Указание: Определить числоэнергетических состояний в интервале энергий от E до E + dE и, считая, чтоконцентрация свободных электронов в металле ~ 10 23 см-3, найти максимальновозможную энергию электрона в металле.10.3. Атом щелочного металла можно рассматривать, как одноэлектронную систему, вкоторой единственный электрон движется в поле атомного остова, представляющего ядро с зарядом Z и совокупность Z − 1 электронов.
Оценить размератомного остова атома лития ( Z = 3 ), считая, что по объему остова отрицательный заряд распределен равномерно. Потенциал ионизации атома лития I i = 5.37эВ.10.4. Определить энергии и волновые функции стационарных состояний в центральноe2ae2- симметричном потенциале V (r ) = − − α 2 0 , a0 - боровский радиус, α < 1 rrбезразмерный численный множитель.10.5. Потенциал ионизации атома цезия (Z=55) равен 3.89 эВ. Определить квантовыйдефект основного состояния.10.6. Определить энергию кванта головной линии диффузной серии в атоме лития(Z=3).
Квантовые дефекты p - и d – состояний равны ∆ p = 0.041 и ∆d = 0.002 со-ответственно.10.7. Потенциал ионизации иона Be+ (Z=4) равен 18.3 эВ. Определить квантовый дефект основного состояния.10.8. Сколько компонент имеет тонкая структура нижнего возбужденного состоянияатома натрия (Z=11). Оценить величину расщепления.138139Лекция 11.Атом гелия.Перейдем теперь к рассмотрению простейшей двухэлектронной системы – атомагелия или гелиеподобного иона. Основные идеи этого рассмотрения затем на качественном уровне будут использованы для анализа многоэлектронных систем.Запишем гамильтониан нашей системы в виде (обозначение координат см. нарис.11.1):Hˆ = Hˆ 1 + Hˆ 2 + Vˆ12 ,(11.1)гдеh 2 2 Ze 2 ˆh 2 2 Ze 2Hˆ 1 = Tˆ1 + Vˆ1 = −∇1 −∇2 −, H 2 = Tˆ2 + Vˆ2 = −2mr12mr2- гамильтонианы, учитывающие взаимодействие каждого из электронов с ядром,Vˆ12 = e 2 r12 - межэлектронное взаимодействие.
Наша задача – найти собственные значения и собственные функции гамильтониана (11.1), т.е. решить следующее стационарноеуравнение Шредингераr rr rHˆ ψ (r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 )(11.2)Здесь волновая функция определена в шестимерном пространстве. В общем случае такоеуравнение не может быть решено аналитически.Для анализа задачи (11.2) можно использовать приближение самосогласованногополя. Однако, мы поступим еще проще. Будемискать приближенное решение, воспользовавшись теорией возмущений.
В качествевозмущения будем рассматривать оператормежэлектронного взаимодействия Vˆ12 . Такоеприближение правомерно, если ядро имеетдостаточно большой заряд, и энергия взаимодействия каждого из электронов с ядромзначительно превышает энергию межэлектронного взаимодействия. В случае атома гелия ( Z = 2 ) указанные энергии имеют один порядок величины. Поэтому рассчитыватьна хорошее согласие с экспериментальными данными будет трудно, и мы сможем провести анализ структуры системы лишь на качественном уровне.Итак, в нулевом приближении имеем уравнение Шредингера для невозмущенного гамильтонианаrrr rr rHˆ 1 (r1 ) + Hˆ 2 (r2 ) ψ (r1 , r2 ) = E ( 0 ) ψ (r1 , r2 ) .(11.3)r rВ уравнении (11.3) переменные легко разделяются, и волновая функция ψ (r1 , r2 ) представляется в виде произведения одноэлектронных функцийr rrrψ (r1 , r2 ) = ψ 1 (r1 )ψ 2 (r2 ) .(11.4)rrЗдесь функции ψ 1 (r1 ) и ψ 2 (r2 ) удовлетворяют одночастичному уравнению ШредингераrrHˆ ψ (r ) = E ψ (r ) ,i = 1,2 .[]ii1ii1Энергия системы в нулевом приближении есть сумма энергий каждого из электронов,т.е.139140⎛ 11 ⎞(11.5)E ( 0 ) = E1 + E 2 = − Z 2 Ry⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ .nn2 ⎠⎝ 1Здесь n1 и n 2 - главные квантовые числа каждого из электронов.
В частности, для основного состояния системы в нулевом приближении имеемE ( 0 ) = −2Z 2 Ry .Вспомним, однако, что для системы тождественных частиц волновая функциядолжна быть или симметрична, или антисимметрична относительно перестановки ихместами. Поэтому вместо волновых функций вида (11.4) мы должны рассматривать ихсимметризованные комбинации (см. Л_10):r r1(ψ1 (rr1 )ψ 2 (rr2 ) ± ψ1 (rr2 )ψ 2 (rr1 ) ) .ψ S ( A) (r1 , r2 ) =(11.6)2Казалось бы, электроны являются фермионами, поэтому мы должны выбрать антисимr rметричную функцию ψ A (r1 , r2 ) .
Однако, мы забыли про спиновую часть волновойфункции: полная волновая функция системы есть произведение пространственной испиновой волновых функцийr rΨ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ (r1 , r2 )χ(σ1 , σ 2 ) ,(11.7)где χ(σ1 , σ 2 ) - спиновая волновая функция системы из двух электронов. Антисимметричной относительно перестановки электронов местами должна быть полная волноваяфункция Ψ (ξ1 , ξ 2 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
