А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 31
Текст из файла (страница 31)
задачу (9.1)).Мюон ( mµ ≅ 207me ) находится в поле тяжелого атомного ядра ( Z = 92 , A = 238 ).Определить приближенный вид волновой функции основного состояния и оценить потенциал ионизации такой системы. Считать распределение заряда в пределах ядра равномерным. Радиус ядра связан с его массовым числом соотношением R ≅ 1.4 ⋅ 10 −13 ⋅ A1 / 3 см.Оценить величину энергетического сдвига основного состояния атома водородапри его помещении в постоянное однородное электрическое поле (эффект Штарка).В рамках модели Бора для круговой орбиты определить величину поправки к положению энергетического уровня в водородоподобном ионе с зарядом Z , обусловленной релятивистской связью энергии и импульса.
Полученный результатсравнить с квантовомеханическим расчетом.Используя формулу тонкой структуры найти отношение энергий тонкого расщепления 4p и 4f уровней атома водорода.Оценить отношение энергий тонкого расщепления 3p и 3d уровней атома лития(Z=3).Оценить величину тонкого расщепления дублета 2 p1 2,3 2 в водородоподобномионе урана ( Z = 92) .Определить число компонент сверхтонкой структуры основного состояния атомов дейтерия и трития. Спины ядер равны I = 1 и I = 1 2 соответственно.125126Лекция 10.Тождественность микрочастиц.Существенной особенностью квантовомеханического описания ансамбля одинаковых микрообъектов является принцип тождественности.
Суть этого принципа заключается в неразличимости двух одинаковых микрочастиц, например, электронов. В отличие от двух одинаковых классических объектов, например, биллиардных шаров, их невозможно перенумеровать, и в любой момент времени различать, который из электронов первый, а который – второй. В конечном счете, принципиальная неразличимость квантовых микрообъектов связана сотсутствием у них классической траекториидвижения.Чтобы пояснить смысл сказанногорассмотрим в качестве примера процесс рассеяния двух биллиардных шаров (рис.10.1) идвух электронов (рис.10.2) друг на друге.Пусть в системе центра инерции шар 1 рассеивается на угол θ и регистрируется некоторым детектором D.
Возможен и другойпроцесс: шар 1 рассеивается на угол π − θ ,при этом в тот же детектор попадает шар 2(см. рис.10.1). Это разные события. Именно наличие траектории позволяет проследить,хотя бы мысленно, за движением каждого из шаров. Полная вероятность регистрацииобъекта детектором в рассматриваемомслучае, есть просто сумма вероятностейрассеяния на угол θ и на угол π − θ :Pcl = P(θ) + P(π − θ) .(10.1)В квантовом случае каждый из электронов описывается волновым пакетом, делокализованным в некоторой области пространства. При сближении в какой-то момент времени волновые функции обоихэлектронов перекрываются, а, следовательно, утрачивается возможность их идентифицировать.
В результате, мы знаем, чтодетектор, расположенный под углом θ коси, вдоль которой движутся электроны,зарегистрировал попадание частицы, нооказывается принципиально невозможноопределить, какой из двух электронов былзарегистрирован. Оба события, представленные на рис.10.2, эквивалентны друг другу. В квантовой теории вероятность какоголибо события определяется как квадрат модуля амплитуды, а полная амплитуда вероятности регистрации электрона детектором естьF (θ) = f (θ) + f (π − θ) .126127Тогда для вероятности имеем222Pq = f (θ) + f (π − θ) = f (θ) + f (π − θ) + 2 Re f (θ) f * (π − θ) .2(10.2)Даже если P(θ) = f (θ) , классическая (10.1) и квантовомеханическая (10.2) вероятностиотличаются друг от друга.
В квантовомеханическом случае возникает интерференцияамплитуд, связанная с неразличимостью двух рассматриваемых событий. Какое из выражений (10.1) или (10.2) является правильным – вопрос, ответ на который должен датьэксперимент. В настоящее время имеется много свидетельств того (в том числе и данных по рассеянию тождественных частиц), что правильным является выражение (10.2).С математической точки зрения тождественность микрочастиц требует определенных свойств симметрии волновой функции системы частиц относительно перестановки их местами.
Пусть, например, имеется система из двух электронов, описываемаяволновой функцией ψ (ξ1 , ξ 2 ) (здесь ξ1 и ξ 2 - совокупности координат первого и второго электрона). Тождественность электронов означает, что ψ (ξ1 , ξ 2 ) и ψ (ξ 2 , ξ1 ) описывают одно и тоже состояние двухэлектронной системы.Введем оператор перестановки электронов местамиPˆ ψ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ (ξ 2 , ξ1 ) .(10.3)В силу тождественности частицψ (ξ1 , ξ 2 ) = λψ (ξ 2 , ξ1 ) .(10.4)Подействуем на (10.3) оператором перестановки. ТогдаPˆ 2 ψ (ξ1 , ξ 2 ) = λPˆ ψ (ξ1 , ξ 2 ) = λ2 ψ(ξ1 , ξ 2 ) .(10.5)С другой стороны двойная перестановка частиц местами не меняет исходное состояние,т.е.Pˆ 2 ψ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ(ξ1 , ξ 2 ) .(10.6)Сопоставляя (10.5) и (10.6), находим λ = ±1 , т.е.ψ (ξ1 , ξ 2 ) = ± ψ (ξ 2 , ξ1 ) .(10.7)Таким образом, принцип тожественности ведет к определенной симметрии волновойфункции двухчастичной системы: она должна быть симметрична ( λ = +1) , либо антисимметрична ( λ = −1 ) относительно перестановки частиц местами.Рассмотрим важный частный случай – систему двух невзаимодействующих электронов.
В этом случае, как было показано в Л_5, волновая функция системы ψ (ξ1 , ξ 2 )представима в виде произведения одночастичных функцийψ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ 1 (ξ1 )ψ 2 (ξ 2 ) .(10.8)Выражение (10.8) не удовлетворяет принципу тождественности. Перестановка частицместами ведет к другому состоянию ψ 1 (ξ 2 )ψ 2 (ξ1 ) . Однако, из двух введенных одночастичных функций ψ 1 (ξ) и ψ 2 (ξ) можно построить две комбинации, удовлетворяющихнеобходимым свойствам симметрии.
Одна из них является симметричной1(ψ1 (ξ1 )ψ 2 (ξ 2 ) + ψ1 (ξ 2 )ψ 2 (ξ1 ) ) ,ψ S (ξ1 , ξ 2 ) =(10.9)2а другая – антисимметричной относительно перестановки электронов местами1(ψ1 (ξ1 )ψ 2 (ξ 2 ) − ψ1 (ξ 2 )ψ 2 (ξ1 ) ) .ψ A (ξ 1 , ξ 2 ) =(10.10)2Наиболее важным свойством полученных состояний является то, что даже в отсутствиевзаимодействия в общем случае волновая функция системы тождественных частиц неможет быть представлена в виде произведения одночастичных функций, т.е.127128ψ S ( A) (ξ1 , ξ 2 ) ≠ φ1 (ξ1 )φ 2 (ξ 2 ) .(10.11)Состояния, для которых выполнено условие (10.11), называются перепутанными (отанглийского «entanglement» - перепутывание) и лежат в основе многих современныхприложений квантовой теории, включая квантовые компьютеры и квантовую телепортацию.До сих пор мы рассматривали лишь систему из двух частиц. Обобщение на случай N - частичной системы делается элементарно.
Волновая функция системы из Nчастиц должна быть симметрична или антисимметрична относительно перестановкилюбой пары частиц местами:ψ(ξ1 ,..., ξ i ,...ξ j ,...ξ N ) = ± ψ (ξ1 ,..., ξ j ,...ξ i ,...ξ N ) .(10.12)В частном случае невзаимодействующих частиц правильная (то есть удовлетворяющаяпринципу тождественности) антисимметричная волновая функция N - частичной системы может быть записана в видеψ 1 (ξ1 ) ψ 1 (ξ 2 ) .... ψ 1 (ξ N )ψ (ξ1 ,..., ξ N ) =1 ψ 2 (ξ1 ) ψ 2 (ξ 2 ) ....N ! .............(10.13)ψ N (ξ1 ) ψ N (ξ 2 ) .... ψ N (ξ N )Здесь ψ i (ξ i ) - «обычные» одночастичные волновые функции.
Многочастичная волноваяфункция, записанная в виде (10.13), называется детерминантом Слэтера1. Перестановкачастиц местами означает перестановку пары столбцов в определителе (10.13). Хорошоизвестно, что при такой перестановке определить меняет свой знак, то есть волноваяфункция (10.13) действительно является антисимметричной относительно перестановкилюбой пары частиц местами.Бозоны и фермионы. Принцип Паули.Итак, мы видели, что с математической точки зрения принцип тождественностичастиц означает свойство симметрии: волновая функция системы частиц должна бытьлибо симметрична, либо антисимметрична относительно перестановки частиц местами.А какой из этих случаев реализуется в природе? Оказывается - оба.
Причем симметричная волновая функция описывает совокупность частиц с целым спином ( s = 0,1,2,... ), аантисимметричная – совокупность частиц с полуцелым спином ( s = 1 2 , 3 2,... ). Такимобразом, спин оказывается важнейшей характеристикой, описывающей свойства симметрии частиц.Помимо электронов к числу частиц с полуцелым спином относятся протон и нейтрон, мюон (их спин - 1 2 ) и многие другие частицы. Целым спином характеризуются,например, фотон, нейтральный и заряженные пионы ( π 0 , π ± ), частицы – кванты переносчики слабого взаимодействия ( W ± , Z 0 - бозоны) и другие частицы. Понятие спинаможет быть введено и для составного объекта в случае, если энергия связи этого объектазначительно превышает его энергию взаимодействия с окружающим миром.
Например,энергия связи атомных ядер на много порядков превышает энергию взаимодействия ядра с электронной оболочкой атома. Это позволяет рассматривать ядро как единый объект и ввести понятие его спина. Аналогично, если в газе или жидкости энергия взаимо-1J.Slater (1900-1976) – американский физик – теоретик.128129действия атомов (молекул) мала по сравнению с их внутренней энергией (потенциаламиионизации и (или) диссоциации), то можно говорить о спине атома или молекулы.Из рассмотренных свойств симметрии волновой функции системы частиц с очевидностью следует принцип Паули. Две частицы с полуцелым спином не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Действительно, пусть ψ 1 (ξ) = ψ 2 (ξ) .Тогда1(ψ1 (ξ1 )ψ1 (ξ 2 ) − ψ1 (ξ 2 )ψ1 (ξ1 ) ) ≡ 0 ,ψ A (ξ 1 , ξ 2 ) =(10.14)2т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
