А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ПолучимδE n = ∫ ψ *nVˆψ n dτ + ∫ ψ *n Hˆ 0 − E n δψ n dτ .(8.36)()Покажем теперь, что второй интеграл в (8.36) обращается в нуль. Поскольку наборфункций {ψ n } образует полный базис, то возможно представление поправки δψ n кфункции в видеδψ n = ∑ c m ψ m .(8.37)m113114Тогда второе слагаемое в (8.36) преобразуется к виду**∫ ψ n Hˆ 0 − E n δψ n dτ = ∑ cm ∫ ψ n ( E m − En )ψ m dτ = 0()mи равно нулю в силу условия ортогональности собственных функций гамильтонианаĤ 0 . Таким образом, для поправки к уровням энергии окончательно получаемδE = ψ * Vˆψ dτ ,(8.38)n∫nnт.е.
дополнительная энергия может быть вычислена как среднее значение энергии возмущения, вычисленной на невозмущенных волновых функциях. Выражение (8.38) символически также записывают в виде:δE n = ψ n | Vˆ | ψ n ≡ n | Vˆ | n = Vnn .(8.39)Интеграл вида (8.38) называют матричным элементом оператора Vˆ . Как видно, в данном случае речь идет о диагональном элементе, а в общем случае вся совокупность элементов Vmn образует матрицу оператора возмущения Vˆ .Вычислим теперь поправки к волновым функциям стационарных состояний δψ n .Умножая (8.35) на ψ *k ( k ≠ n ) и интегрируя по всей области определения волновойфункции, получимψ k | Hˆ 0 | δψ n + Vkn = E n ψ k | δψ n .(8.40)Здесь Vkn = ∫ ψ *k Vˆψ n dτ - недиагональный матричный элемент оператора возмущения Vˆ ,построенный на волновых функциях невозмущенного состояния. Подставляя в (8.40)функцию δψ n в виде разложения (8.37), получимc k = Vkn ( E n − E k ) ,т.е.
поправка к волновой функции n -го стационарного состояния имеет вид:Vknδψ n = ∑ψk ,(8.41)k ≠n En − Ekа полная волновая функция n -го возмущенного стационарного состояния записываетсяв видеVkn~ =ψ +ψψ k + ...(8.42)∑nnk ≠n En − EkПро выражение (8.42) иногда говорят, что возмущение «подмешивает» к n -му стационарному состоянию другие стационарные состояния невозмущенного гамильтониана.Таким образом, выражения (8.38) (или (8.39)) и (8.42) дают решение поставленной нами задачи в первом порядке теории возмущений.Полученные нами выражения позволяют сформулировать условия применимостиполученных результатов.
Необходимо потребовать, чтобы поправки к положению энергетических уровней и волновым функциям были малыми. Это, очевидно, возможно привыполнении условийVnn << E n − E k , Vkn << E n − E k ,(8.44)т.е. матричные элементы оператора возмущения должны быть малы по сравнению с разностью невозмущенных энергий данного уровня и любого другого уровня системы.
Неравенства (8.44), фактически, можно рассматривать как условия малости оператора возмущения Vˆ по сравнению с невозмущенным гамильтонианом Ĥ 0 .114115Может так оказаться, что поправка к положению энергетического уровня в первом порядке теории возмущений оказывается равной нулю. Тогда необходимо рассматривать влияние возмущения во втором порядке малости.
Проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, нетрудно получить2δE n( 2) = ∑ Vkn ( E n − E k ) .(8.44)k ≠nМы пришли к выводу, что поправки к уровням энергии и волновым функциям зависятне только от величины возмущения, но и от структуры энергетического спектра. В частности, если спектр оказывается вырожденным, то наши поправки оказываются бесконечно велики даже при сколь угодно малой величине оператора возмущения. Поэтомуфактически рассмотренная схема может быть использована лишь для систем с невырожденным энергетическим спектром. Мы не будем рассматривать вариант теории возмущений для вырожденных состояний. Из сказанного выше ясно, что «перемешивание»группы вырожденных состояний оказывается существенным при любой величине возмущения.
Однако, оказывается, что в случае, если оператор возмущения имеет совпадающий набор собственных функций с невозмущенным гамильтонианом (в этом случаематрица оператора возмущения является диагональной в базисе гамильтониана Ĥ 0 ) результаты, полученные нами, оказываются справедливыми и при наличии в системе вырождения.8.1.8.2.8.3.8.4.8.5.8.6.8.7.Задачи.)Найти собственные состояния операторов S x и Ŝ y .Определить средние значения проекции спина электрона на оси x , y и z в со⎛α⎞22стоянии ⎜⎜ ⎟⎟ , α + β = 1 .⎝β ⎠Каковы могут быть суммарные значения спинового момента трех электронов?Чему могут быть равны суммарные значения орбитального момента трех электронов, каждый из которых находится в p , d и f состояниях соответственно.Совокупность атомных электронов характеризуется суммарным орбитальныммоментом L = 2 и суммарным спиновым моментом S = 3 2 .
Определить возможные значения полного механического момента электронной оболочки атома.Определить уровни энергии одномерного ангармонического осциллятораU = mω2 x 2 2 + αx 4 . Ангармоническую добавку считать малой.В рамках теории возмущений определить энергетический спектр и волновыефункции стационарных состояний системы связанных линейных гармонических)))осцилляторовсгамильтонианомH = H 1 + H 2 + α( x1 − x 2 ) 2 ,где))2 2H i = Ti + mω0 xi / 2 - гамильтониан гармонического осциллятора с частотой ω0 ,α - константа связи.
Сравнить с точным решением задачи (см. задачу (6.8)).115116Лекция 9.Изотопическое смещение атомных уровней, связанное с конечным размероматомного ядра.В качестве примера использования теории возмущений рассмотрим вопрос овлиянии конечного размера атомного ядра на положение энергетических уровней в водородоподобном ионе с зарядом Z . Действительно, при определении энергетическогоспектра водородоподобных ионов с зарядом Z (см. Л_7) мы исходили из предположения, что ядро является точечным.
На самом деле ядро имеет конечный размер (порядка10-13 см для легких ядер и ~10-12 см - для тяжелых). В результате потенциальная энергиявзаимодействия электрона с ядром описывается формулойZe 2V (r ) = −(9.1)rлишь приближенно. Точное выражение для энергии взаимодействия может быть записано в видеr~ rV (r ) = −eϕ(r ) ,(9.2)rгде ϕ(r ) - электростатический потенциал, создаваемый ядром в пространстве. Распредеrление ϕ(r ) удовлетворяет уравнению Пуассонаr∇ 2 ϕ = −4πρ(r ) ,(9.3)rгде функция ρ(r ) определяется распределением заряда в атомном ядре. Вследствие малости размера ядра R N по сравнению с размером области локализации электроннойволновой функции можно ожидать, что (9.1) и (9.2) дают близкие распределения.
В такой ситуации истинное положение энергетических уровней будет приблизительно описываться формулойZ2E nl = − Ry 2 ,(9.4)nа смещение уровней, обусловленное конечным размером ядра, можно рассчитать по теории возмущений. Рассматривая в качестве невозмущенного атомного гамильтонианаоператорZe 2Hˆ 0 = Tˆ −,rзапишем полный гамильтониан водородоподобного иона в видеrHˆ = Tˆ − eϕ(r ) = Hˆ 0 + δVˆ .Здесь в качестве оператора возмущения выступает разность между потенциальной энергией взаимодействия электрона с реальным и точечным ядром:r~ rδV = V (r ) − V (r ) = −eϕ(r ) + Ze 2 r ,запишем выражение для поправки к энергетическому уровню в видеr 2rδE nl = ∫ ψ nl (r ) δV (r )d 3 r .(9.5)Мы будем считать, что распределение заряда в атомном ядре является сферически симrrметричным, то есть ρ(r ) = ρ( r ) .
Вид функций V (r ) и − eϕ(r ) для этого случая приведены на рис.9.1. Как видно, вне ядра выражения (9.1) и (9.2) совпадают и интеграл в (9.5)берется по объему атомного ядра, то есть смещение энергетического уровня обусловлено тем, что с некоторой вероятностью электрон может быть локализован внутри атомного ядра. При этом существенно, что неточечность ядра приводит к тому, что потенци-116117альная яма становится более мелкой по сравнению с моделью точечного ядра.
Следовательно, величина возмущения δV > 0 , и уровни должны сместиться вверх относительноположения, определяемого из (9.4).Заметим, что вследствие малости размера атомного ядра по сравнению с областью локализации электронной волновой функцииR N << a 0 / Z ,можно считать, что в области интегрирования значение электронной волновой функциипрактически постоянно и определяется величиной ψ nl (r = 0) . Поэтому перепишем (9.5)в виде2δE nl = −e ψ nl (0) ∫ (ϕ(r ) − Ze r )d 3 r .(9.6)VNПринимая во внимание поведение радиальных волновых функций вблизи точки r = 0Rnl (r ) ~ r l , ( l ≠ 0 ) и Rns (0) ≠ 0 ,находим, что в нашем приближениибудут смещены только s - состояния, все состояния с ненулевым значением орбитального момента останутся неподвижны, то естьδE nl ≠ 0 = 0 .Так получилось потому, что центробежный потенциальный барьеротжимает электрон от центра и делает вероятность обнаружить еговнутри атомного ядра исчезающеемалой.
Что касается s - состояний,то для них центробежный барьеротсутствует, и электрон с некоторойвероятностью может быть обнаружен внутри атомного ядра, что и приводит к смещению уровней с нулевым значениеморбитального момента.Для вычисления интеграла (9.6) воспользуемся следующим тождеством∇ 2 (r 2 ) ≡ 6 .(9.7)С учетом (9.7) перепишем (9.6) в виде12δE ns = − e ψ ns (0) ∫ ∇ 2 (r 2 )(ϕ(r ) − Ze r )d 3 r .(9.8)6VNИнтегрируя (9.8) по частям, получим12δE ns = − e ψ ns (0) ∫ r 2 ⋅ ∇ 2 (ϕ(r ) − Ze r )d 3 r .6VN(9.9)rr⎛1⎞Учтем теперь, что ∇ 2 ⎜ ⎟ = 4πδ(r ) , и r 2 δ(r ) = 0 . Тогда из выражения (9.9) с учетом (9.3)⎝r⎠найдем4π2π22δE ns =e ψ ns (0) ∫ r 2 ρ(r )d 3 r =e ψ ns (0) ZeR 2 ,(9.10)63VN1171181r 2 ρ(r )d 3 r - протонный среднеквадратичный радиус ядра.
Поскольку∫ZeZ32ψ ns (0) = 3 3 ,πa0 nдля поправки к уровню энергии ns окончательно находим4 4 R2 1δE ns = Z(9.11)Ry .3a 02 n 3Как видно, поправка быстро убывает с увеличением главного квантового числа, что связано с уменьшением вероятности обнаружить электрон внутри ядра по мере увеличенияn . Дальнейшее уточнение полученного результата зависит от конкретного вида функции, описывающей распределение плотности заряда внутри ядра. Например, в случаеравномерного распределения зарядаZeρ(r ) == const(4 3)πR N33имеем R 2 = R N25Итак, учет конечного размера ядра привел к смещению s - уровней вверх относительно их положения, рассчитанного в приближении точечного ядра. Уровни с ненулевым значением орбитального момента остались несмещенными. Таким образом, «случайное» вырождение по орбитальному моменту оказалось частично снятым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
