А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тройка (X, Σ, µ) называется пространством с мерой. Если X ∈ Σ и µ(X) = 1, томера µ называется вероятностной.Пусть Π = I1 × · · · × In — параллелепипед вQRn , Ik — промежутки с концами ak , bk . Мера Лебегаnпараллелепипеда Π задается равенством µ(Π) = k=1 |bk − ak |. Пусть A — ограниченное подмножество вnR . Верхней мерой множества A называется величинаXµ∗ (A) = infµ(Πm ),{Πm }mгде нижняя грань берется по всем не более чем счетным покрытиям {Πm } множества A параллелепипедами. Множество A называется измеримым по Лебегу, если для любого ε > 0 найдется конечное число параллелепипедов Πj , j = 1, . . .
, k, таких что µ∗ A △ ∪kj=1 Πj < ε. В этом случае мерой Лебегамножества A называется его верхняя мера. Если множество A ⊂ Rn неограниченно, то оно называетсяизмеримым по Лебегу тогда и только тогда, когда оно представимо в виде счетного числа ограниченныхизмеримых по Лебегу множеств Am ; его мера равна сумме мер Am (можно показать, что определениекорректно, то есть не зависит от выбора разбиения). Утверждается, что измеримые по Лебегу множестваобразуют σ-алгебру, а мера Лебега σ-аддитивна и σ-конечна и является продолжением меры µ, заданнойна параллелепипедах.
В частности, каждое борелевское множество измеримо по Лебегу.Пусть (X, Σ) — измеримое пространство. Функция f : X → R называется измеримой, если для любогоc ∈ R множество {x ∈ X : f (x) < c} измеримо. Это эквивалентно тому, что прообраз любого борелевскогомножества измерим. Измеримые функции образуют линейное пространство. Если X = Rn , а Σ — этоборелевские множества, то измеримые функции называются борелевскими. В частности, непрерывныефункции на Rn являются борелевскими.Функция f : X → R называется простой, если она измерима и принимает не более чем счетное числозначений.Пусть (X, Σ, µ) — пространство с конечной σ-аддитивноймерой.
Простая функция f , f |Xn ≡ yn ,PназываетсяинтегрируемойпоЛебегу,еслирядyµ(X)абсолютносходится. Интегралом Лебегаnn nRf(x)dµ(x)отфункцииfназываетсясуммаэтогоряда.Функцияg:X→ R называется интегрируXемой по Лебегу, если существует последовательность простых функций gn , равномерно сходящихся к g.Интегралом Лебега от функции g называется величинаZf (x) dµ(x) = lim gn (x) dµ(x).n→∞XВсякая интегрируемая по Лебегу функция измерима; всякая измеримая ограниченная функция интегрируема по Лебегу. Если f интегрируема, то |f | также интегрируема.Если мера σ-конечна, то рассматривается разбиение X на подмножестваP R Xn , на которых мера конечна.Функция f называется интегрируемой, если f |Xn интегрируема и ряд n Xn |f | dµ сходится; интеграломP Rфункции f называется n Xn f dµ.Аналогично определяется интеграл Лебега от комплекснозначной функции.Перечислим свойства интеграла Лебега:R1.
если f (x) > 0 и f интегрируема, то f (x) dµ(x) > 0;XR R2. X f (x) dµ(x) 6 X |f (x)| dµ(x);RR3. еслиR функции f и g интегрируемы и α, β ∈ R, то αf + βg интегрируема и (αf + βg) dµ = α f dµ +β g dµ;4. если X, тоR f интегрируема на X тогда и только тогда, когда f |Xn интегрируема на Xn ; приR = ⊔n XnPэтом X f dµ =Xn f dµ.nПусть (X1 , Σ1 , µ1 ) и (X2 , Σ2 , µ2 ) — пространства с мерой.
Рассмотрим тройку (X, S, µ), где X = X1 × X2 ,S = {A ∈ X : A = A1 × A2 }, µ(A1 × A2 ) = µ1 (A1 )µ2 (A2 ). Утверждается, что µ можно продолжить до95σ-аддитивной меры на некоторой σ-алгебре Σ, содержащей S (конструкция аналогична построению мерыЛебега в Rn ). Эта мера называется произведением мер µ1 и µ2 и обозначается µ1 ⊗ µ2 .Скажем, что некоторое свойство выполнено почти всюду, если множество, на котором оно не выполнено, имеет меру нуль.Теорема 10.1.
(Фубини). Пусть множество A ⊂ X1 × X2 измеримо относительно Σ. Тогда для почтивсех x1 ∈ X1 множество {x2 ∈ X2 : (x1 , x2 ) ∈ A} принадлежит Σ2 . Если f : X1 × X2 → R интегрируема,то для почти всех x1 ∈ X1 функция f (x1 , ·) интегрируема на X2 иZZZf (x) d(µ1 ⊗ µ2 )(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ) dµ2 (x2 ) dµ1 (x1 ).X1 ×X2X1X2Если функция f измерима иZX1то f интегрируема на X1 × X2 .ZX2|f (x1 , x2 )| dµ2 (x2 ) dµ1 (x1 ) < ∞,Пусть µ1 , µ2 — две меры на (X, Σ).
Скажем, что µ2 абсолютно непрерывна относительно µ1 , если длялюбого множества A ∈ Σ такого, что µ1 (A) = 0, выполнено µ2 (A) = 0.Теорема 10.2. (Радон–Никодим). Мера µ2 абсолютно непрерывна относительно µ1 тогдаR и толькотогда, когда существует неотрицательная интегрируемая функция g такая, что µ2 (A) = g(x) dµ1 (x)Aдля любого A ∈ Σ.Пусть µ — произвольная σ-аддитивная мера на борелевских подмножествах в R. Эта мера называется мерой Лебега–Стильтьеса, а интеграл по ней — интегралом Лебега–Стильтьеса. Мера называетсяточечной, если существует не болееP чем счетное число точек {xn } таких, что для любого борелевскогомножества A выполнено µ(A) = xn ∈A µ({xn }).
Мера µ называется абсолютно непрерывной, если она абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на R. Мера µ называется сингулярной, если существуетмножество A меры нуль Лебега такое, что µ(A) 6= 0 и µ(R\A) = 0.Теорема 10.3. Любая мера Лебега–Стильтьеса однозначно представляется в виде суммы точечной,абсолютно непрерывной и сингулярной мер.Функция f называется абсолютно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого ε > 0 найдется такоеnPδ > 0, что для любых непересекающихся отрезков [ak , bk ] ⊂ [a, b], k = 1, . . . , n, таких, что|bk − an | <δ, выполненоf (x) = f (a) +nPk=1Rk=1|f (bk ) − f (ak )| < ε. Функция f абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когдаg(t) dt, где g — интегрируемая функция. При этом f дифференцируема почти всюду и[a, x]f ′ (x) = g(x).10.3Линейные нормированные пространстваОпределение 10.3.
Пусть V — линейное пространство над R или C. Полунормой на V называетсяфункция k · k : V → R+ со следующими свойствами:1. kαxk = |α| · kxk для любого вектора x и числа α;2. kx + yk 6 kxk + kyk.Если kxk 6= 0 для любого x 6= 0, то k · k называется нормой. В этом случае пара (V, k · k) называетсялинейным нормированным пространством.Норма задает метрику в V равенством ρ(x, y) = kx − yk.
Если V полно относительно этой метрики, тооно называется банаховым пространством.Определение 10.4. Пусть V — линейное пространство над R или C. Скалярным произведением называется отображение h·, ·i : V → R (C) со следующими свойствами:1.
hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi для любых x, y, z ∈ V , α, β ∈ R (C);962. hx, yi = hy, xi∗ (∗ обозначает комплексное сопряжение);3. hx, xi > 0 для любого x 6= 0.Пара (V, h·, ·i) называется евклидовым пространством.Векторы x и y называютсяортогональными, если hx, yi = 0.pОбозначим kxk = hx, xi. Тогда выполнены неравенство Коши–Буняковского–Шварца |hx, yi| 6 kxk ·kyk и неравенство треугольника kx + yk 6 kxk + kyk. Таким образом, k · k задает норму на V .Если евклидово пространство полно относительно метрики, порожденной скалярным произведением,то оно называется гильбертовым.Пусть (X, Σ, µ) — пространство с мерой, p > 1. Скажем, что функция f : X → C принадлежитLp (X, Σ, µ), если |f |p интегрируема по Лебегу.
Нормой функции f называется величинаkf kp = ZX1/p|f (x)|p dµ(x).Назовем функции f и g эквивалентными, если они совпадают почти всюду. Утверждается, что множествоклассов эквивалентности функций из Lp (X, Σ, µ) с нормой k · kp образуют банахово пространство. Еслиp = 2, то норма порождается скалярным произведением1/2Zhf, gi = f ∗ (x)g(x) dµ(x) ,Xтак что L2 (X, Σ, µ) — это гильбертово пространство.Пример 1. Пусть X = N, Σ — все подмножества N, µ({n}) = 1.
Тогда Lp (X, Σ, µ) — это пространство∞Pplp всех последовательностей a = (an )∞|an |p < ∞.n=1 таких, что kak =n=1Пример 2. Пусть X = I — промежуток в R, Σ — измеримые по Лебегу подмножества, µ — мераЛебега. Пространство Lp (X, Σ, µ) обозначается через Lp (I).Приведем основные свойства сепарабельных гильбертовых пространств.1. Пусть H0 — замкнутое подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда для любого x ∈ Hсуществует единственный вектор P (x) ∈ H0 такой, что вектор x−P (x) ортогонален любому элементуH0 .
Вектор P (x) называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство H0 .2. Пусть l — линейный непрерывный функционал на пространстве H. Тогда существует единственныйвектор y ∈ H такой, что l(x) = hy, xi для любого x ∈ H.3. Каждое сепарабельное гильбертово пространство имеет не более чем счетный ортонормированныйбазис, то есть такую систему векторов (en ), что hek , en i = δkn и для любого x ∈ H существуетединственный набор коэффициентов xn , такой чтоx=∞Xxn en = limn→∞n=1nXxk ekk=1(предел в метрике пространства H).Пусть X, Y — два линейных нормированных пространства, A : X → Y — линейный оператор. ОператорA называется ограниченным, если образ единичного шара BX = {x ∈ X : kxkX 6 1} является ограниченYным множеством в Y . Нормой ограниченного оператора A называется величина kAk = supx∈BX kAxkkxkX .Линейный оператор ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.Множество ограниченных операторов с определенной выше нормой образует линейное нормированноепространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
