А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В частности, число частиц в ней предполагалось фиксированным. Вообще говоря,может происходить обмен частиц с термостатом. В этом случае полная система состоит из подсистем Li ,являющимися копиями системы L, которой соответствует гильбертово пространство H = ⊕∞n=0 Hn , оператор числа частиц N̂ , такой что N̂ |Hn = nI, и оператор Гамильтона Ĥ, сильно коммутирующий с N̂ .Тогда, если полная система эргодична и в ней происходит слабое взаимодействие между подсистемами,то в состоянии равновесия матрица плотности, записанная в базисе общих собственных векторов Ĥ и N̂ ,имеет видwnN = ae−αN −βEnN .Такое распределение называется большим каноническим распределением.9.4Принцип максимума энтропииПусть матрица плотности имеет диагональный вид (wn ) в энергетическом представлении.Определение 9.3.

Энтропией называется величинаS = −hln wn i = −Xwn ln wn .nПусть задано среднее значение энергии E (называемое внутренней энергией). Найдем распределениеwn , при котором энтропия максимальна, в предположении, что спектр оператора Ĥ ограничен снизу икратность каждого собственного значения конечна. Для этого нужно решить следующую экстремальнуюзадачу (см.

§10.5): Pwn ln wn → inf,nPwn = 1,n(9.9)PEw=E,nn nwn > 0.Докажем, что множество W последовательностей (wn ), 0 6 wn 6 1, для которых все ряды в (9.9) сходятся,выпукло. В самом деле, пусть (wn ) ∈ W и (w̃n ) ∈ W, t ∈ [0, 1]. Достаточно показать, что рядX(twn + (1 − t)w̃n ) ln(twn + (1 − t)w̃n )nсходится. Пусть wn < w̃n . Тогда из выпуклости функции w ln w и неравенства ln w̃n 6 0 следует, чтоwn − w̃n 6 (wn − w̃n ) ln w̃n + (wn − w̃n ) 6 (twn + (1 − t)w̃n ) ln(twn + (1 − t)w̃n ) 6 0.Значит, из критерия Коши следует сходимость подсуммы ряда по тем n, для которых wn < w̃n .

Аналогично рассматривается случай wn > w̃n .Таким образом, функционалы в задаче (9.9) определены на выпуклом множестве и сами являютсявыпуклыми, так что это задача выпуклого программирования. По теореме Куна–Таккера, если (wn0 ) —решение (9.9), то на этом наборе выполнено условие минимума функцииXXXL = λ0wn ln wn + λ1wn + λ2En wnnnnна множестве последовательностей (wn ) ∈ W, где (λ0 , λ1 , λ2 ) 6= (0, 0, 0).

Пусть wn0 > 0 для любого n ∈ N.Тогда для любого n выполненоλ0 (1 + ln wn0 ) + λ1 + λ2 En = 0.92Если λ0 = 0, то λ1 = λ2 = 0 (так как существуют различные Ek ), так что этот случай не годится. Значит,ln wn0 = α − βEn , то есть мы получаем распределение Гиббсаwn0 = eα−βEn .Пусть последовательность En такова, что wn0 ∈ W (для этого достаточно, чтобы En > cnγ , где γ > 0).Докажем, что (wn0 ) задает минимум функции L. В самом деле, если (wn ) ∈ W, то в силу выпуклостифункции fc (w) = λ0 w ln w + cw выполненоλ0 wn ln wn + λ1 wn + λ2 En wn > λ0 wn0 ln wn0 + λ1 wn0 + λ2 En wn0для любого n ∈ N.

Просуммировав по n, получаем искомое неравенство. Так как λ0 6= 0, то (wn0 ) являетсяточкой минимума в (9.9).Единственность решения (9.9) следует из того, что для любых двух различных последовательностей(wn ), (w̃n ) ∈ W и для любого t ∈ (0, 1) выполнено строгое неравенствоXXX(twn + (1 − t)w̃n ) ln(twn + (1 − t)w̃n ) < twn ln wn + (1 − t)w̃n ln w̃n .nnnТаким образом, равновесному состоянию соответствует такое распределение, при котором энтропиямаксимальна.Теперь предположим, что число частиц в системе не фиксировано. Найдем распределение, при которомэнтропия максимальна при заданном значении внутренней энергии и среднего числа частиц. Соответствующая экстремальная задача имеет вид PwnN ln wnN → inf,n,NPEnN wnN = hEi, n,PNN wnN = hN i,n,NPwnN = 1,n, NwnN > 0,Решая ее так же, как для распределения Гиббса, получаем, что wnN = eα−γN −βEnN , то есть максимумуэнтропии соответствует большое каноническое распределение.1010.1Дополнение 1: Основные понятия из функционального анализаОбщая топологияОпределение 10.1.

Топологическим пространством называется пара (X, τ ), где X — произвольноемножество, τ — система подмножеств в X со следующими свойствами:1. X ∈ τ , ∅ ∈ τ ;2. если Uα ∈ τ для любого α ∈ A, то ∪α∈A Uα ∈ A;3. если Uk ∈ τ для любого k = 1, . .

. , n, то ∩nk=1 Uk ∈ τ .Множества, принадлежащие τ , называются открытыми. Множество F ⊂ X называется замкнутым,если X\F открыто.Примеры.1. X = Rn , τ — система всех открытых множеств U в Rn (то есть таких, что окрестность любой точкиx ∈ U содержится в U );2. X — произвольное множество, τ = {∅, X};3. X — произвольное множество, τ — система всех подмножеств в X.Пусть τ и τ ′ — две топологии на X. Скажем, что топология τ сильнее, чем τ ′ , если любое множествоU ∈ τ ′ принадлежит τ .Система β подмножеств множества X называется базой топологии τ , если τ — это совокупность множеств вида U = ∪α Uα , где Uα ∈ β. Например, система открытых шаров в Rn задает базу его топологии.Пусть (X, τ ) — топологическое пространство, Y ⊂ X. Точка x ∈ X называется точкой прикосновениядля множества Y , если для любого открытого множества U ∋ x множество U ∩ Y непусто (в частности,93если x ∈ Y , то x является точкой прикосновения).

Замыканием множества Y называется объединение всехточек прикосновения множества Y . Множество Y называется всюду плотным в X, если его замыканиесовпадает с X. Пространство X называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотноеподмножество. Например, Rn сепарабельно, так как множество точек с рациональными координатамисчетно и всюду плотно.Пусть (X, τ ) и (X ′ , τ ′ ) — два топологических пространства. Отображение F : X → X ′ называетсянепрерывным, если прообраз любого открытого в X ′ множества является открытым множеством в X.Система множеств {Uα }α∈A называется покрытием множества Y , если для любого x ∈ Y найдетсятакое α ∈ A, что x ∈ Uα .

Подмножество Y топологического пространства X называется компактным,если из любого покрытия множества Y открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Например, отрезок в R компактен в силу леммы Гейне–Бореля. Любое замкнутое и ограниченноеподмножество в Rn также является компактным.Определение 10.2.

Метрическим пространством называется пара (X, ρ), где X — произвольное множество, а ρ : X × X → R+ обладает следующими свойствами:1. ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;2. ρ(x, y) = ρ(y, x);3. ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (неравенство треугольника).Открытым шаром в метрическом пространстве (X, ρ) называется множество{x ∈ X : ρ(x, x0 ) < r}для некоторых x0 ∈ X, r0 > 0. Система открытых шаров задает базу топологии в X, которая называетсятопологией, порожденной метрикой ρ.Подмножество Y в метрическом пространстве компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности (yn ) ⊂ Y можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Если Y компактно, то онозамкнуто и ограничено.

Обратное неверно. Рассмотрим произвольное бесконечное множество и введем нанем метрику0, если x = y,ρ(x, y) =1, если x 6= y.Тогда X является замкнутым ограниченным подмножеством в (X, ρ), но не является компактным.Пусть (X, τ ) — топологическое пространство. Скажем, что последовательность (xn ) сходится к x ∈ X,если для любого открытого множества U ∋ x найдется такое N ∈ N, что для любого n > N выполненоxn ∈ U . В метрическом пространстве предел единствен.Последовательность (xn ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если длялюбого ε > 0 найдется N ∈ N такое, что для любых n, m > N выполнено ρ(xn , xm ) < ε.

Метрическоепространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нем имеет предел.Например, Rn является полным метрическим пространством.Если (X, ρ) — полное метрическое пространство, Y ⊂ X, то (Y, ρ) полно тогда и только тогда, когдаY замкнуто в X.Метрическое пространство (X̃, ρ̃) называется пополнением (X, ρ), если существует инъективное отображение i : X → X̃ такое, что ρ̃(i(x), i(y)) = ρ(x, y) для любых x, y ∈ X и i(X) плотно в X̃. Известно, чтолюбое метрическое пространство имеет пополнение.10.2Теория меры и интегралаПусть X — произвольное множество, Σ — некоторая система его подмножеств, обладающая следующимисвойствами:1. если A, B ∈ Σ, то A\B ∈ Σ;2.

если {An }n — не более чем счетная система подмножеств из Σ, то ∪n An ∈ Σ.Тогда Σ называется σ-алгеброй, элементы Σ называются измеримыми множествами, а (X, σ) называетсяизмеримым пространством. Из свойств теоретико-множественных операций следует, что симметрическаяразность A △ B = (A\B) ∪ (B\A) двух измеримых множеств A и B является измеримым множеством ичто пересечение не более чем счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством.Пусть S — некоторая система подмножеств множества X.

Тогда σ-алгеброй, порожденной системойS, называется наименьшая σ-алгебра, содержащая S. Например, σ-алгебра, порожденная системой всех94открытых подмножеств в Rn , называется σ-алгеброй борелевских множеств. Она же порождается системой всех замкнутых множеств и системой всех параллелепипедов {(x1 , . . . , xn ) : xk ∈ Ik , k = 1, . . . , n},где Ik ⊂ R — промежутки.Пусть (X, Σ) — измеримое пространство. Тогда (σ-аддитивной) мерой на (X, Σ) называется функцияµ : Σ → [0, +∞] такая, Pчто для любого не более чем счетного числа непересекающихся множеств An ∈ Σвыполнено µ(⊔n An ) = n µ(An ) (символ ⊔ обозначает объединение непересекающихся множеств). Мераназывается конечной, если µ(A) < +∞ для любого A ∈ Σ; мера называется σ-конечной, если существуетразбиение X на счетное число непересекающихся множеств Xn ∈ Σ таких, что µ(A ∩ Xn ) < +∞ длялюбого A ∈ Σ и n ∈ N.

Характеристики

Список файлов лекций