А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Так как V центральносимметричен, то уравнение не меняется при повороте вокруг оси z, а значит, решение не зависит от углаϕ. Кроме того, ψ — непрерывная функция. Поэтому ψ имеет разложение по сферическим гармоникамψ=∞X(6.31)Al Pl (cos θ)Rkl (r),l=0где Rkl — непрерывные функции, удовлетворяющие уравнению 1 dl(l + 1) 2µ2 dRkl2r+ k −− 2 V (r) Rkl = 0.r2 drdrr2~Коэффициенты Al должны быть выбраны так, чтобы функция (6.31) имела на больших расстояниях вид(6.29).Разложение плоской волны имеет видeikz =∞ r l 1 d l sin krX(−i)l (2l + 1)Pl (cos θ)kr drkrl=0∼∼r→∞∞∞1 X llπ1 Xi (2l + 1)Pl (cos θ) sin kr −=(2l + 1)Pl (cos θ)[(−1)l+1 e−ikr + eikr ].kr22ikrl=0l=03 Ограниченный оператор A называется нормальным, если AA+ = A+ A. Если оператор нормальный и компактный, тоон имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.72Согласно теореме 6.9, существуют константы cl такие, что функции Rkl имеют асимптотикиclπlcl + δl =(−i)l ei(kr+δl ) − il e−i(kr+δl ) .Rkl ∼ sin kr −r22irОтсюда видно, что если положить Al =ψ∼1cl k (2l+ 1)il eiδl , то∞1 X(2l + 1)Pl (cos θ) (−1)l+1 e−ikr + e2iδl eikr2ikrl=0ikrи в разности ψ − eikz все члены, содержащие e−ikr , выпадают.

Вычислив коэффициент при e r , сноваполучаем (6.30).Проинтегрировав dσ по всем углам, получаем полное сечение рассеяния σ. Подставляя (6.30) в интегралZπσ = 2π |f (θ)|2 sin θ dθ0и учитывая, что система {Pl } ортогональна иZπPl2 (cos θ) sin θ dθ =2,2l + 10получим выражение для полного сечения рассеянияσ=∞4π X(2l + 1) sin2 δl .k2(6.32)l=0Каждое слагаемое представляет собой парциальное сечение σl для частиц с заданным орбитальным моментом l.6.10Состояния непрерывного спектра в случае кулоновского поляДля нахождения радиальных функций при E > 0 надо в (6.11) изменить знак перед последним слагаемым,l ikrполагая k 2 = 2µEΦ(y)~2 . Комплексная замена переменной y = −2ikr и радиальной функции R = N (2kr) eснова приводит к уравнению Куммера со значениями параметровγ =l+1+i, β = 2(l + 1).krBРешением снова является вырожденный гипергеометрический ряд. Но теперь радиальная функция остается ограниченной при всех вещественных k, то есть условие на бесконечности не накладывает дополнительных ограничений на параметры.

Таким образом, искомая радиальная функция естьiRkl = Nkl (2kr)l eikr Φ l + 1 +, 2l + 2, −2ikr .krBВычислим фазы рассеяния в кулоновском поле, представив асимптотику радиальной функции при больших r в виде Rkl ∼ 2r sin(kr − πl2 + δl ). Для этого воспользуемся асимптотической формулой, справедливойпри |x| ≫ β, |x| ≫ γ, −β ∈/ Z+ :Φ(γ, β, x) =Γ(β)e−iπγ −γ Γ(β) x γ−βx +e x.Γ(β − γ)Γ(γ)Отсюда находимR(r) ∼2πl1isin kr −−ln(2kr) + arg Γ l + 1 +.r2krBkrBПереход к свободному движению осуществляется при rB → ∞. При конечных rB фазы рассеяния оказываются логарифмическими функциями, то есть δl → ∞.

Следовательно, полное сечение и амплитударассеяния вперед будут бесконечны (см. (6.32)). Более того, оказывается, что в случае кулонова потенциала волновые операторы Ω± не существуют. В [3, т. 3, §XI.9] описана модификация теории рассеяния для73itĤэтого случая. Пусть Ĥ0 = ∆, Ĥ = −∆ − λr−1 . Тогда вместо Ω± рассматриваются ΩDUD (t),± = s- lim et→∓∞гдеZtUD (t) = exp −i ĤD (s) ds ,0ĤD (t) = Ĥ0 −λθ(|4tĤ0 | − 1),2p|t|θ(·) — функция Хевисайда (выражение для ĤD задается в импульсном представлении). Утверждается,что тогда ΩD± существуют и полны и что σac (Ĥ) = [0, +∞).При θ 6= 0 амплитуда конечна и может быть вычислена следующим образом. В выражении (6.30) приθ 6= 0 можно опустить единицу в разности e2iδl − 1, так как имеет место формула∞1X(2l + 1)Pl (cos θ) = δ(1 − cos θ).4l=0Если δl заменить на δl − δ0 , то f (θ) умножится на фазовый множитель, то есть |f (θ)| не изменится.

Имеем1i1iδl − δ0 = −ln(2kr) + arg Γ l + 1 ++ln(2kr) − arg Γ 1 +.krBkrBkrBkrBТак как второе слагаемое не зависит от l, то его также можно опустить. Следовательно, для некоторогоξ ∈ R выполнено∞1 Xf (θ) =(2l + 1)(e2iδl − 1)Pl (cos θ) =2ikl=0∞Γ l + 1 + kriBeiξ X Pl (cos θ) ==(2l + 1) 2ikΓ l + 1 − kriBl=0Γ 1+ iiξkrB2iθeexp −ln sin=− 2krB2 Γ 1− i2k rB sin2 θ2krB(здесь использовались формулы для суммирования полиномов Лежандра). Соответственно дифференциальное сечение рассеяния равноdσ1α2 µ2== 4 2dΩ4k rB sin4 θ24p4 sin4 2θ(где p = ~k — асимптотическое значение импульса). Это выражение совпадает с классической формулойРезерфорда.77.1Квантование по Бору–ЗоммерфельдуОсновные понятияРассмотрим квантовую систему, классическим аналогом которой является гамильтонова система в фазоp2вом пространстве R2n = Rnp ⊕ Rnx с гамильтонианом H(p, x), p ∈ Rnp , x ∈ Rnx .

Если H(p, x) = 2m+ V (x), то2~Ĥ = − 2m∆ + V (x); в общем случае Ĥ — это некоторый псевдодифференциальный оператор (см., напр.,[11]). Пусть Ĥ на некотором интервале (E ′ , E ′′ ) имеет чисто дискретный спектр для любого ~. Требуетсянайти асимптотическое распределение собственных значений оператора Ĥ на этом интервале при ~ → 0.Напомним, что если задана гамильтонова система, то в фазовом пространстве задана кососимметрическая форма, которая в канонических координатах имеет видω=nXj=1dxj ∧ dpj .Определение 7.1.

Многообразие Λ в фазовом пространстве называется лагранжевым, если оно имеетразмерность n и ограничение формы ω на любое его касательное пространство равно 0 (то есть вкаждой точке касательное пространство является лагранжевым).74Многообразие Λ является лагранжевым тогда и только тогда, когда для любой точки ~r ∈ Λ существуетRтакая ее окрестность U ⊂ Λ, что для любой кривой γ ⊂ U , начинающейся в точке ~r, величина S = p dxγзависит только от конечной точки γ. Кроме того, если Λ задается в виде pj = fj (x), j = 1, .

. . , n, то Λявляется лагранжевым тогда и только тогда, когда fj (x) = ∂S(x)∂xj (см. [11, §4] и [18, §35]).Определение 7.2. Пусть Λ — лагранжево многообразие. Точка r ∈ Λ называется неособой, если некоторая ее окрестность диффеоморфно проектируется на Rnx , и особой в обратном случае.Множество всех особых точек обозначим Σ(Λ). Оказывается, что сколь угодно малым поворотом многообразия Λ можно добиться того, чтобы множество Σ(Λ) состояло из открытого n − 1-мерного многообразия Σ′ (Λ), на котором ранг производной проектирования на Rnx уменьшается на 1, и границы, имеющейразмерность не больше, чем n − 3 [11, стр.

148].В окрестности точки M ∈ Σ′ (Λ) можно выбрать положительную и отрицательную стороны Σ(Λ).Обозначим k̂ = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n. Утверждается, что в окрестности точки M многообразие Λзадается n уравнениямиxk = xk (pk , xk̂ ), pk̂ = pk̂ (pk , xk̂ ),′kΣ(Λ) задается уравнением ∂x∂pk = 0 и при переходе через Σ (Λ) величинаkную сторону принимается та, где ∂x∂pk > 0.∂xk∂pkменяет знак. За положитель-Определение 7.3. Пусть ориентированная кривая γ ⊂ Λ с неособыми концами пересекает Σ′ (Λ) вконечном числе точек. Обозначим через ν+ число переходов с отрицательной стороны на положительную, а через ν− — число переходов с положительной стороны на отрицательную.

Индексом Масловакривой γ называется величинаind γ = ν+ − ν− .Пример. Рассмотрим кривую в R2 , заданную уравнением x = sin t, p = cos t, t ∈ [0, 2π], и пусть Λ∂xсовпадает с ее следом. В левой полуокрестности t = π/2 выполнено ∂x∂p < 0, а в правой — ∂p > 0. Значит,t = π/2 является точкой перехода с отрицательной стороны на положительную. Такой же является точкаt = 3π/2. Поэтому ν+ = 2, ν− = 0 и ind γ = 2.7.2Условно-периодическое движениеДвижение называется условно-периодическим, если существуют канонические координаты(I, ϕ) = (I1 , .

. . , In , ϕ1 , . . . , ϕn ) ∈ Rn × T n(называемые переменными действие–угол) такие, что в них уравнения Гамильтона имеют видϕ̇j = ωj , I˙j = 0, j = 1, . . . , n.Здесь T n обозначает n-мерный тор.Достаточное условие того, что движение является условно-периодическим, дает теорема Лиувилля.Теорема 7.1. [2, гл. 10] Пусть существуют n интегралов движения F1 , . .

. , Fn таких, что {Fi , Fj } = 0({·, ·} — скобка Пуассона). ПоложимΛα = {(p, x) : Fi (p, x) = αi , i = 1, . . . , n}.Пусть для почти всех α функции Fj независимы, то есть dFj , j = 1, . . . , n, линейно независимы вкаждой точке множества Λα , и что множество Λα связно и компактно. Тогда1. для почти всех α множество Λα является лагранжевым многообразием, инвариантным относительно действия фазового потока и диффеоморфным T n ;2. движение на Λα является условно-периодическим.Значение переменных действия при фиксированном α задается формулойI1Ik (α) =p~ d~x,2π(7.1)γkгде γk — базисные циклы T n (точнее, соответствующие им кривые на Λα ).В широком классе задач множества Λα почти всюду диффеоморфно проектируются на x-пространствои поэтому почти всюду локально задаются уравнением p~ = ▽S(~x). Так как H является первым интегралом, а функции Fj независимы, то dH является линейной комбинацией dFj в каждой точке (иначе бы75▽H и ▽Fj порождали подпространство размерности n + 1 в фазовом пространстве, на котором бы кососимметрическая форма ω обращалась в 0).

Значит, на Λα значение H постоянно. Положив E = H|Λα ,получаем, что функция S удовлетворяет уравнению Гамильтона–ЯкобиH(▽S(~x), ~x) = E.В качестве γk часто можно взять связную компоненту пересечения Λα с плоскостью {(~p, ~x) : xi = xj0 , j 6=jk}, где x0 — некоторые константы.7.3Правила квантования Бора–ЗоммерфельдаПусть U ⊂ Rn — открытое множество и при α ∈ U выполнены условия теоремы Лиувилля. Тогда Λα —гладкие компактные многообразия без края, не пересекающиеся при различных α, гладко зависящие от αи инвариантные относительно сдвигов вдоль траекторий данной гамильтоновой системы. Предположим,что размерность Σ(Λα ) не превосходит n − 1 и Σ(Λα ) гладко зависит от α.Пусть γk (α) — базисные циклы на Λα . Утверждается, что тогда lk = ind γk (α) не зависят от α.

Характеристики

Список файлов лекций