А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 16
Текст из файла (страница 16)
III], приведен многомерный аналог теоремы 5.1:nТеорема 6.1. Пусть V ∈ Lloc∞ (R ), V (x) > −Q(x), где Q — неубывающая положительная непрерывнаяфункция,Z∞drp= ∞.Q(2r)0Тогда Ĥ существенно самосопряжен наC0∞ (Rn ).В некоторых случаях существенную самосопряженность можно доказать с помощью теоремы 1.3. Вчастности, из нее вытекает следующий результат [3, т. 2, теорема X.15]:Теорема 6.2. Пусть V = V1 + V2 , где V1 ∈ L2 (R3 ), V2 ∈ L∞ (R3 ).
Тогда оператор −∆ + V существенносамосопряжен на C0∞ (R3 ).Например, если V (r) = ±cr−α , где α < 23 , то оператор Шредингера будет существенно самосопряжен.Однако из физики известно, что потенциалы вида V (r) = ±cr−α при α < 2 также задают квантовуюдинамику.
Для доказательства существенной самосопряженности таких операторов используется теорияквадратичных форм: доказывается, что V ≺ −∆, и затем используется теорема 1.8. Следующее утверждение [3, т.2, теорема X.19] дает достаточное условие для этого.54Теорема 6.3.
Если V = V1 + V2 , где V1 ∈ L∞ (R3 ) иZ|V2 (x)| |V2 (y)| 3 3d x d y < ∞,|x − y|2R6то V ≺ −∆.Условию последней теоремы удовлетворяет, в частности, V (r) = r−α при α < 2.В некоторых случаях оператор Ĥ может быть существенно самосопряженным на C0∞ (R) за счет того,что потенциал V неотрицательный.nТеорема 6.4. [3, теорема X.29] Пусть V = V1 + V2 , где V1 ∈ Lloc2 (R ), V1 > 0 поточечно и существуюттакие константы a < 1 и b > 0, чтоkV2 ϕk 6 ak∆ϕk + bkϕkдля любого ϕ ∈ C0∞ (R3 ).
Тогда оператор −∆ + V существенно самосопряжен на C0∞ (Rn ).~ B~ со скалярным поРассмотрим движение нерелятивистского заряда e в электромагнитном поле E,~1 ∂A~~~~тенциалом ϕ и векторным потенциалом A (B = rotA, E = − ▽ ϕ − c ∂t ). Тогда функция Гамильтонаимеет вид1 e ~ 2H=p~ − A+ eϕ,2µcгде p~ — обобщенный импульс, c — скорость света. Соответствующий оператор в координатном представлении записывается в видеi~e ~e2 212~−~ ∆ +(2A ▽ +divA) + 2 A + eϕ.(6.1)Ĥ =2µccСледующие теоремы дают достаточное условие существенной самосопряженности оператора Ĥ на C0∞ (R3 ).Обозначим через Lp (R3 ) + Lq (R3 ) множество функций f1 + f2 таких, что f1 ∈ Lp (R3 ), f2 ∈ Lq (R3 ).~ — вещественнозначная функция из L4 (R3 )+Теорема 6.5. [3, теорема X.22] Пусть каждая компонента A333~ ∈ L2 (R ) + L∞ (R ) (в смысле обобщенных функций) и ϕ — вещественнозначная функцияL∞ (R ), divAиз L2 (R3 ) + L∞ (R3 ).
Тогда оператор Ĥ вида (6.1) существенно самосопряжен на C0∞ (R3 ).3Теорема 6.6. [3, теорема X.34] Пусть Ak ∈ C 1 (R3 ), ϕ = ϕ1 + ϕ2 , где ϕ1 > 0, ϕ1 ∈ Lloc2 (R ), ϕ2 ∈33∞3L2 (R ) + L∞ (R ). Тогда оператор (6.1) существенно самосопряжен на C0 (R ).6.2Разделение переменныхСначала дадим определение тензорного произведения гильбертовых пространств ([3] или [12]). ПустьH1 , . . . , Hn — гильбертовы пространства. Выберем в каждом из них ортонормированный базис (ejk )∞k=1 ,j = 1, . . .
, n. Рассмотрим множество формальных конечных линейных комбинацийXαj1 , ..., jn e1j1 ⊗ · · · ⊗ enjnj1 , ..., jnс естественной структурой линейного пространства. Зададим в этом пространстве скалярное произведение, положивhe1j1 ⊗ · · · ⊗ enjn , e1k1 ⊗ · · · ⊗ enkn i = δj1 k1 . . . δjn kn .Пополнив пространство по этому скалярному произведению, получаем гильбертово пространство, котороеобозначим H1 ⊗ · · · ⊗ Hn и назовем тензорным произведением пространств H1 , . . . , Hn .∞PПусть ψj =αjk ejk ∈ Hj , j = 1, . . .
, n. Положимk=1ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn =Xk1 , ..., knαk1 . . . αkn e1k1 ⊗ · · · ⊗ enkn .Утверждается, что ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn ∈ H1 ⊗ · · · ⊗ Hn и чтоhϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕn , ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn i = hϕ1 , ψ1 iH1 . . . hϕn ψn iHn .Если Hj = L2 (Mj , µj ), то пространство H1 ⊗· · ·⊗Hn представляется в виде L2 (M1 ×· · ·×Mn , µ1 ⊗· · ·⊗µn ),при этомψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn (x1 , . . . , xn ) = ψ1 (x1 ) . . .
ψn (xn ).55Пусть Hk — гильбертовы пространства, Ĥk — самосопряженные операторы на плотных подпространnPствах Dk ⊂ Hk . Рассмотрим оператор Ĥ =Ĥk в H = H1 ⊗ · · · ⊗ Hn . В качестве области определенияk=1D оператора Ĥ возьмем конечные линейные комбинации элементов h1 ⊗ · · · ⊗ hn , где hk ∈ Dk , и положимĤ(h1 ⊗ · · · ⊗ hn ) = (Ĥ1 h1 ) ⊗ · · · ⊗ hn + · · · + h1 ⊗ · · · ⊗ (Ĥn hn ).N (λ)kkkПусть для каждого k задано оснащение Гильберта–Шмидта H+⊂ Hk ⊂ H−и {ej,k (λk )}j=1— полнаяортонормированная система обобщенных собственных векторов Ĥk . Построим оператор U следующимkобразом. Если ϕk ∈ H+, то(U (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕn ))(λ1 , .
. . , λn ) =N (λ )N (λ1 )...Nn (λn )= {hej1 ,1 (λ1 ), ϕ1 i . . . hejn ,n (λn ), ϕn i}jkk=1,kk=1,...,n ∈ l2 1,N (λ)kзатем U продолжаем по линейности. Из того, что {ej,k (λk )}j=1является полной ортонормированнойсистемой обобщенных собственных векторов Ĥk , следует, что U изометрично отображает плотное подмножество H на плотное подмножество прямого интеграла гильбертовых пространствZN (λ )...Nn (λn )Ĥ(λ1 , . . . , λn ) dµ1 (λ1 ) . .
. dµn (λn ), где Ĥ(λ1 , . . . , λn ) = l2 1 1,и переводит оператор Ĥ в оператор умножения на λ1 + · · · + λn . Продолжаем U на все пространство H понепрерывности и получаем, что {ej1 ,1 (λ1 ) ⊗ · · · ⊗ ejn ,n (λn )} образует полную ортонормированную системуобобщенных собственных векторов оператора Ĥ (более подробно это написано в [7]).Пусть Ĥ = −∆+V1 (x1 , . . . , xk )+V2 (xk+1 , . . . , xn ) в L2 (Rn ), где операторы Ĥ1 = −∆+V1 и Ĥ2 = −∆+V2самосопряжены на D1 ⊂ L2 (Rk ) и D2 ⊂ L2 (Rn−k ). Тогда L2 (Rn ) = L2 (Rk ) ⊗ L2 (Rn−k ) и(ϕ1 ⊗ ϕ2 )(x1 , . .
. , xn ) = ϕ1 (x1 , . . . , xk )ϕ2 (xk+1 , . . . , xn ).Если обобщенные собственные векторы e1 (λ1 ) и e2 (λ2 ) операторов Ĥ1 и Ĥ2 являются регулярными функциями, то обобщенные собственные векторы e1 (λ1 ) ⊗ e2 (λ2 ) оператора Ĥ также являются регулярнымифункциями и имеют видe1 (λ1 )(x1 , . . . , xk )e2 (λ2 )(xk+1 , . . . , xn ).Таким образом, исследование спектра Ĥ сводится к исследованию спектров операторов Ĥ1 и Ĥ2 , которыедействуют в пространстве функций меньшего числа переменных.Пример 1. Пусть Ĥ = −∆. Тогда обобщенные собственные функции имеют вид eik1 x1 .
. . eikn xn иоператор U — это обычное преобразование Фурье.Пример 2. Рассмотрим оператор Шредингера для гармонического осциллятора: Ĥ = −∆+x21 +· · ·+x2n ,d22ψk — k-я собственная функция оператора − dx2 + x . Тогда функции ψk1 (x1 ) . . . ψkn (xn ) образуют полнуюортонормированную систему собственных функций оператора Ĥ с собственными значениями k1 + · · · + kn .Замечание.
Отсюда следует, что Ĥ −m для некоторого m является оператором Гильберта–Шмидта.Значит, если Â — самосопряженный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, то оснащение H+ ⊂ L2 (Rn ) ⊂ H− можно построить с помощью оператора Ĥ m , и тогда S(Rn ) ⊂ H+ и H− ⊂S ′ (Rn ). Последнее дает ограничение на рост обобщенных собственных векторов оператора Â.6.3Орбитальный момент количества движенияВ классической механике момент импульса материальной точки определяется как векторное произведе~ = ~r × ~p. Соответствующее произведение операторов координат и импульса дают симметрическийние L~ˆ~оператор L̂ = ~i ~r̂ × ▽= (L̂x , L̂y , L̂z ), где L̂x = ~i (y∂z − z∂y ), L̂y = ~i (z∂x − x∂z ), L̂z = ~i (x∂y − y∂x ). Этиоператоры удовлетворяют коммутационным соотношениям[L̂i , L̂j ] = i~εijk L̂k ,(6.2)~где εijk — символ Леви-Чивита. Оператор L̂ называется орбитальным моментом количества движения(есть еще спиновый момент, о котором будет говориться позже).Каждому оператору U ∈ SO(3) сопоставим оператор Û в L2 (R3 ) по формуле Û f (~r) = f (U~r).
Легкопроверить, что это соответствие является гомоморфизмом и оператор Û унитарный, то есть отображениеT : U 7→ Û является унитарным представлением группы SO(3) в L2 (R3 ). Пусть U (t) — однопараметрическая подгруппа в SO(3) и пусть ω~ — угловая скорость вращения (которая однозначно задает генератор56группы U (t)). Найдем генератор соответствующей однапараметрической группы Û(t), то естьДля любой гладкой функции f имеемd d Û (t)f (~r) = ▽f,U (t)~r = (▽f, ~ω × ~r) =dt t=0dt t=0i~= ωx (y∂z − z∂y )f (~r) + ωy (z∂x − x∂z )f (~r) + ωz (x∂y − y∂x )f (~r) = ω~ , L̂ f (~r).~ddt |t=0Û (t).В частности, генераторам вращения вокруг оси xj соответствует оператор ~i L̂xj , и в полярных координатах∂. Из коммутационных соотношений в алгебре so(3) и из (6.2) следует, что отображение ω~ 7→L̂z = ~i ∂ϕ~i3− ~ (~ω , L̂) задает представление алгебры so(3) в L2 (R ).defРассмотрим оператор L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z .
Прямым вычислением доказывается, что в полярных координатах112L̂2 = −~2∂θ (sin θ∂θ ) +∂ϕ ,sin θsin2 θто есть − ~12 L̂2 совпадает с оператором Лапласа на единичной сфере. Кроме того, из коммутационныхсоотношений (6.2) следует, что L̂z и L̂2 коммутируют на множестве гладких функций.Докажем, что существует полная ортонормированная система бесконечно гладких функций g(θ, ϕ) надвумерной сфере S 2 таких, что112−~2∂θ sin θ∂θ +∂(6.3)ϕ g(θ, ϕ) = ag(θ, ϕ)sin θsin2 θи~∂ϕ g(θ, ϕ) = bg(θ, ϕ)i(6.4)для некоторых a, b ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
