А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 18
Текст из файла (страница 18)
V1 ∈ Lloc1 (R+ ) и существуют такие константы c1 ∈ (0, 1/4) и c2 > 0, что в окрестности нуля V1 (r) >−c1 r−2 , а в окрестности бесконечности V2 (r) > −c2 r2 ;2. V2 = W ′ , где W ∈ L2 (R+ ) и supp W ⊂ [a, b] (0 < a < b < +∞).Положим f [1] = f ′ − W f . Определим оператор Ĥ на множестве D0Ĥ функций f , таких что1. f и f [1] абсолютно непрерывны на каждом отрезке в (0, +∞);2. Ĥf ∈ L2 (R+ );3.
f имеет компактный носитель в (0, +∞).На этом множестве Ĥ является симметрическим. В силу условия на V1 , выполнено условие предельнойточки на бесконечности. Если выполнено условие предельной точки в нуле, то оператор Ĥ существенносамосопряжен. Это доказывается методом расщеплений [15, теорема 5]. Если в нуле выполнено условиепредельной окружности, то индексы дефекта Ĥ равны (1, 1) и самосопряженное расширение строитсяd2следующим образом.
Пусть при r < r0 выполнено V (r) > −c1 r−2 . Рассмотрим оператор Ĥ1 = − dr2 + V (r)ĤĤна множестве функций из D0 с носителем в (0, r0 ) (на ортогональное дополнение к D0 его продолжаемнулем). В силу утверждения 6.1, оператор Ĥ1 ограничен снизу в смысле квадратичных форм. Значит,можно построить его расширение по Фридрихсу с областью определения D1Ĥ .
ПустьD2Ĥ = {f ∈ D1Ĥ : supp f ⊂ [0, r0 ], f (r0 ) = 0, f [1] (r0 ) = 0},D(Ĥ) = D0Ĥ + D2Ĥ . Оператор Ĥ на D(Ĥ) является симметрическим. В самом деле, пусть ϕ0 , ψ0 ∈ D0Ĥ ,ϕ2 , ψ2 ∈ D2Ĥ . Ясно, что hψj , Ĥϕj i = hĤψj , ϕj i, j = 0, 2. Равенства hψ0 , Ĥϕ2 i = hĤψ0 , ϕ2 i и hψ2 , Ĥϕ0 i =hĤψ2 , ϕ0 i доказываются интегрированием по частям. Значит,hψ0 + ψ2 , Ĥ(ϕ0 + ϕ2 )i = hĤ(ψ0 + ψ2 ), ϕ0 + ϕ2 i.Самосопряженность Ĥ доказывается методом расщеплений.Заметим, что D1Ĥ ⊂ W̊21 [0, r0 ], так какq(ϕ) > (1 − ε)hϕ′ , ϕ′ i − c1 hr−1 ϕ, ϕi + εhϕ′ , ϕ′ i > εkϕ′ k2 ,еслиc11−ε< 14 .2dНайдем обобщенные собственные векторы оператора Ĥ.
Пусть K = − dr2 + Ṽ (r), гдеV (r) + c, r 6 r0 ,Ṽ (r) =V (r) − U (r) + c + c(r − r0 )2 , r > r0 ,60(6.8)Rгде U (r) > 0 — гладкая функция, такая что V (r) − U (r) > −c3 и |V − U | dx 6 c4 для некоторыхc3 , c4 > 0. Сначала K определяется на функциях с компактным носителем, а затем продолжается спомощью расширения по Фридрихсу. С помощью принципа минимакса (см. лемму 5.1) доказывается,что K −1 является положительно определенным оператором Гильберта–Шмидта при достаточно большихc > 0.
Оснащение L2 (R+ ) строится с помощью K.Так же, как и для оператора Штурма–Лиувилля в L2 (R), доказывается, что если F — обобщенныйсобственный вектор, соответствующий точке спектра E, и ϕ ∈ H+ имеет компактный носитель в (0, +∞),тоZ∞hF, ϕi = gϕ dx,0где g — регулярное решение уравнения Ĥg = Eg, и так же оценивается рост функции g на бесконечности.Исследуем поведение функции g в окрестности нуля.Лемма 6.1. Для любого E ∈ R уравнение Ĥf P имеет решение fE такое, что если η ∈ C ∞ (R+ ), supp η ⊂[0, r0 ), η(r) = 1 в окрестности 0, то ηfE ∈ D(Ĥ).Доказательство. Достаточно показать, что для любого E найдется потенциал VE , совпадающий с V наd2[0, r0 ], такой что E является собственным значением оператора A = − dr2 +VE (r) (его область определенияAстроится так же, как область определения Ĥ, при этом множества D2 и D2Ĥ совпадают).
Тогда соответствующая собственная функция f удовлетворяет уравнению −f ′′ + V f = Ef на [0, r0 ], а ηf ∈ D(Ĥ). Всамом деле, существует последовательность функций fn = ϕn + gn , таких что ϕn имеет компактный носитель в (0, +∞), gn ∈ D2A , fn → f , Afn → Af в L2 . Тогда ηfn → ηf и A(ηfn ) → A(ηf ) в L2 . Действительно,A(ηfn − ηf ) = η(Afn − Af ) + η ′′ (fn − f ) − 2(η ′ (fn − f ))′ .Ясно, что первые два слагаемые стремятся к 0 в L2 . Так как ψn := η ′ (fn − f ) ∈ W21 [0, r0 ] и имееткомпактный носитель в (0, r0 ), то в силу (6.8) достаточно доказать, чтоZr00ψn (x)(Aψn )(x) dx → 0n→∞(можно считать, что функции вещественнозначные, иначе рассматриваем их вещественную и мнимуючасти).
Это следует из того, чтоAψn = η ′ A(fn − f ) − η ′′′ (fn − f ) − 2η ′′ (fn′ − f ′ ),при этом первые два слагаемые сходятся к 0 в L2 иZr0′ ′′2η η(fn′0Zr0− f )(fn − f ) dx = − (η ′ η ′′ )′ (fn − f )2 dx → 0.′n→∞0С другой стороны, ηfn = ηgn + ηϕn , ηgn = gn − (1 − η)gn ∈ D2A , ηϕn ∈ D2A , поэтому ηfn ∈ D2A . Значит,ηf ∈ D1A , а так как ηf = 0 в окрестности r0 , то ηf ∈ D2A = D2Ĥ .Пусть U0 совпадает с V на [0, r0 ] и U0 → +∞ при r → +∞. Тогда, применяя принцип минимакса, можноd2∞показать, что оператор − dr2 +U0 имеет чисто дискретный спектр {µn }n=1 , µn < µn+1 и µn → +∞ при n →∞. Пусть r0 < a < b < ∞.
Положим UM (r) = U0 (r) − M χ[a, b] (r), где χ[a, b] — характеристическая функцияd2Mотрезка [a, b]. Пусть µMN — N -е собственное значение оператора AM = − dr 2 + UM (r). Докажем, что µN →M−∞ при M → +∞. Для этого достаточно доказать, что µN + M ограничены сверху. Рассмотрим операторd2B = − dr2 + U0 в L2 [a, b] с граничными условиями Дирихле. Его спектр является чисто дискретным (см.,напр., [15]). Пусть νN — N -е собственное значение B.
Докажем, что µN + M 6 νN . В самом деле, согласнопринципу минимакса,µMN +M =6supϕ1 , ..., ϕN −1supϕ1 , ..., ϕN −1inf{hψ, (AM + M )ψi : ψ ∈ Q(AM ) ∩ S1 (0), ψ ∈ [ϕ1 , . . . , ϕN −1 ]⊥ } 6inf{hψ, (AM + M )ψi : ψ ∈ Q(AM ) ∩ S1 (0), ψ ∈ [ϕ1 , . . . , ϕN −1 ]⊥ ,supp ψ ⊂ (a, b)} =supϕ1 , ..., ϕN −1 :inf{hψ, (AM + M )ψi : ψ ∈ Q(AM ) ∩ S1 (0),supp ϕj ⊂[a, b]61ψ ∈ [ϕ1 , . . . , ϕN −1 ]⊥ , supp ψ ⊂ (a, b)} ==supϕ1 , ..., ϕN −1 ∈L2 [a, b]inf{hψ, Bψi : ψ ∈ Q(B) ∩ S1 (0), ψ ∈ [ϕ1 , . . .
, ϕN −1 ]⊥ } = νN(S1 (0) обозначает множество единичных векторов). Предпоследнее равенство следует из того, что еслиsupp ψ ⊂ (a, b) и ψ⊥ϕj , то ψ⊥(χ[a, b] ϕj ); последнее равенство следует из того, что оператор B получаетсяс помощью замыкания формы hψ, Bψi, определенной на функциях с компактным носителем в (a, b).Применяя принцип минимакса, можно доказать, что µMN непрерывно зависит от M , так что для любого′E ∈ [µM,µ]найдетсяMтакое,чтоEявляетсясобственнымзначением AM ′ . Так как µMNNN → −∞ приM → +∞ и µN → +∞ при N → ∞, то в качестве E можно брать любое число.Лемма 6.2.
Пусть V (r) > − rc2 при r ∈ (0, r0 ], где c < 41 . Тогда уравнение −ψ ′′ + V ψ = Eψ имеетрешение, не принадлежащее множеству {f : f |[0, r0 ] ∈ W21 , f (0) = 0}.Доказательство. Пусть c < c̃ < 41 . Тогда для любых ϕ ∈ C0∞ (0, r0 ) выполненоZr0 c̃′ 22|ϕ | − 2 |ϕ|dr > 0.r0Выберем b ∈ (0, r0 ) таким, чтобы выполнялось − rc̃2 + E − V (r) < 0 при r ∈ (0, b). Пусть ψ0 (r) = rα , где√α = 1− 21−4c̃ . Тогда ψ0 является решением уравнения −ψ0′′ − rc̃2 ψ0 = 0.
Пусть ψ — решение уравнения −ψ ′′ +V ψ = Eψ с начальными условиями ψ(b) = ψ0 (b), ψ ′ (b) < ψ0′ (b). Тогда в некоторой левой полуокрестноститочки b выполнено ψ(r) > ψ0 (r). Пусть существует точка a ∈ (0, b) такая, что ψ(a) = ψ0 (a) и ψ(r) > ψ0 (r)при a < r < b. Положим ϕ(r) = ψ(r) − ψ0 (r). Тогда ϕ ∈ W̊21 [a, b] и для любого r ∈ (a, b) выполненоc̃c̃c̃−ϕ′′ − 2 ϕ = −ψ ′′ + (V (r) − E)ψ + − 2 + E − V (r) ψ + ψ0′′ + 2 ψ0 =rrrc̃= − 2 + E − V (r) ψ(r) < 0.rЗначит,Zb c̃′′−ϕ − 2 ϕ ϕ dr < 0.raС другой стороны, левая часть равнаZb c̃ 2′2q(ϕ) =ϕ − 2ϕdr > 0,raтак как ϕ приближается в метрике W21 [a, b] функциями из C0∞ (a, b), а q непрерывна в этой метрике.Полученное противоречие доказывает, что ψ(r) > √ψ0 (r) при 0 < r < b.Если ψ|[0, r0 ] ∈ W21 и ψ(0) = 0, то ψ(r) = O( r) в окрестности нуля, что противоречит тому, чтоψ(r) > ψ0 (r) = rα , а α < 21 .Теперь докажем, что обобщенный собственный вектор оператора Ĥ совпадает с решением уравненияĤg = Eg таким, что ηg ∈ D(Ĥ), где η — срезающая функция из леммы 6.1.
Из леммы 6.2 следует, что эторешение единственно с точностью до пропорциональности, так что спектр является однократным. Пустьϕ имеет компактный носитель в (0, r0 ), ϕ и ϕ′ абсолютно непрерывны, Kϕ ∈ L2 , f — решение уравнения(Ĥ − E)f = ϕ с начальными условиями f (r0 ) = 0, f ′ (r0 ) = 0. Тогда в окрестности нуля Ĥf = Ef . ИмеемZr00=Zr0εТаким образом,нуля.Rr0ϕ(r)g(r) dr =Zr0ϕ(r)g(r) dr =εZr0(Ĥ − E)f g dr =εf (Ĥ − E)g dr − f ′ (ε)g(ε) + f (ε)g ′ (ε) = −f ′ (ε)g(ε) + f (ε)g ′ (ε).ϕ(r)g(r) dr = 0 тогда и только тогда, когда W (f, g) = 0, то есть f = cg в окрестности062Функция ϕ принадлежит H+ . ЕслиRr00gϕ dr = 0, то f = cg в окрестности нуля, и Ĥf P + ϕ ∈ L2 ,так что f ∈ D(Ĥ).
Аналогично f ∈ D(K), то есть f ∈ H+ . Наконец, Ĥf P + ϕ ∈ H+ , поэтому hF, ϕi =hF, (Ĥ − E)f i = 0.Rr0Пусть ϕ1 имеет компактный носитель в (0, r0 ), ϕ1 и ϕ′1 абсолютно непрерывны, Kϕ1 ∈ L2 и gϕ1 dr =1. Тогда ϕ = ϕ1Rr00gϕ dr + ϕ̃, гдеRr00g ϕ̃ dr = 0. Значит, hF, ϕi = hF, ϕ1 iнуля, где c0 — некоторая константа.6.6Rr00gϕ dr, то есть F = c0 g в окрестности0Движение в центральном полеПусть Ĥ = −∆ + V , где V зависит только от радиальной координаты r. Предположим сначала, что V ∈32Lloc∞ (R ) и существуют такие константы c1 > 0, c2 > 0, что V (r) > −c1 −c2 r . Тогда оператор Ĥ существенно самосопряжен на C0∞ (R3 ). Рассмотрим подпространства Hlm = {f (r)Ylm (θ, ϕ) : f ∈ L2 (R+ , r2 dr)}. Приl > 0 положимDlm = {f (r)Ylm (θ, ϕ) : f ∈ C0∞ (0, +∞)}, D00 = {f ∈ C ∞ (R+ ) : supp f ограничен}.Тогда Dlm ⊂ D(Ĥ) и Ĥ|Dlm отображает Dlm в Hlm , аĤ|Dlm = −∂22 ∂l(l + 1)−++ V (r).∂r2r ∂rr2Докажем, что Ĥ|Dlm существенно самосопряжен как оператор в Hlm .
Для этого построим изоморфизмпространств Hlm и L2 (R+ ) по формуле f (r)Ylm (θ, ϕ) 7→ rf (r). При этом Dlm переходит в C0∞ (0, +∞) приl 6= 0, а D00 переходит в множество бесконечно гладких функций с ограниченным носителем и обращаюl(l+1)d2щихся в 0 при r = 0. Оператор Ĥ|Dlm переходит в Ĥlm = − dr+ V (r). При l > 0 оператор Ĥlm2 +r2существенно самосопряжен на C0∞ (0, +∞) в силу критерия Вейля. При l = 0 оператор Ĥ00 удовлетворяетусловию предельной точки на бесконечности, а в 0 определяется граничным условием Дирихле. Отсюда следует, что Ĥ00 существенно самосопряжен (это доказывается методом расщеплений).
Заметим, чтограничное условие Дирихле в 0 соответствует продолжению по Фридрихсу с C0∞ (0, +∞).Теперь рассмотрим случай центрально-симметричных потенциалов более общего вида. Пусть V =−2V1 +V2 , где функция V1 ∈ Lloc, где c < 14 , в окрестности бесконечности1 (R+ ), в окрестности нуля V1 > −crV1 (r) > −c1 −c2 r2 , а V2 имеет компактный носитель в (0, +∞) и имеет вид V2 = W ′ , где W ∈ L2 . Определимd2оператор Ĥ = −∆ + V (r) на каждом из подпространств Hlm . Для этого построим оператор Ĥlm = − dr2 +l(l+1)+V(r)вL(R)так,какэтобылоописановпредыдущемпараграфе.ПустьизоморфизмU:H2+lm →r2−1L2 (R+ , dr) определен по формуле ψ(r)Ylm (θ, ϕ) 7→ rψ(r).
Тогда полагаем Ĥ|Hlm = U Ĥlm U . Он задается2l(l+1)дифференциальным выражением l(f ) = − ∂∂rf2 − 2r ∂f∂r + r 2 f + V f .2p+V (r), где VИтак, пусть задан оператор Шредингера Ĥ, соответствующий гамильтониану H(p, ~r) = 2µудовлетворяет указанным выше условиям, а µ обозначает массу. Тогда спектр и обобщенные собственныевекторы оператора Ĥ находятся следующим образом.Шаг 1. Рассматриваем ограничение Ĥ на Hlm и исследуем спектр на этом подпространстве.Шаг 2. Переходим от Hlm к L2 (R+ , dr) с помощью изоморфизма U . При этом Ĥ|Hlm переходит в~2 l(l+1)~2 d 2оператор Ĥlm = − 2µdr 2 + Vэфф , где Vэфф =2µr 2 + V .Шаг 3. Ищем обобщенные собственные векторы fE оператора Ĥlm . Для этого строим оснащение с помощью оператора K, который был определен в предыдущем параграфе. Как было доказано, fE — абсолютно~2 ′′непрерывные вместе с квазипроизводными функции, удовлетворяющие уравнению − 2µf + Vэфф f P , приэтом fE η ∈ D(Ĥlm ), где η — гладкая функция с ограниченным носителем, равная 1 в окрестности нуля.Такое решение уравнения единственно с точностью до коэффициента пропорциональности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
