А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Собственные значения ĵ±равнысоответственно j± (j± + 1), где j± может быть либо целым, либо полуцелым неотрицательным числом.Имеют место равенства2ˆ = ~uˆ~ˆl = 0, ~ˆˆ2 = −1 − µα .~ˆl~ul2 + ~u2E~2Отсюда1µα22ĵ±=−1+= j± (j± + 1),42E~2E=−µα2.2~2 (2j± + 1)2672Ранее было показано, что E = − 2~µα2 n2 , где n — любое натуральное число, и что кратность вырожденияравна n2 . Значит, j± = n−1принимаетвсе целые и полуцелые неотрицательные значения и при фик2сированном E вектор из HE с заданными собственными значениями ĵ±z ровно один (так как если нанего действовать лестничными операторами, то получится (2j+ + 1)(2j− + 1) = n2 линейно независимыхвекторов). Таким образом, на HE задано неприводимое представление алгебры su(2) ⊕ su(2).
Так как HEконечномерно, то это представление единственным образом интегрируется до представления односвязнойгруппы SU (2) × SU (2).Докажем, что это представление является однозначным представлением группы SO(4). Так как SO(4) =(SU (2) × SU (2))/{±1} [18, стр.
105], то достаточно показать, что (−1, −1) ∈ SU (2) × SU (2) при данномпредставлении переходит в единичный оператор.Пусть в Cn задано неприводимое представление группы SU (2), и ej , j = 1, . . . , n — собственные век2торы одного из генераторов X3 алгебры su(2). Тогда в Cn ⊗ Cn = Cn задано неприводимое представлениеSU (2) × SU (2): (g1 , g2 )(e1k ⊗ e2l ) = (g1 e1k ) ⊗ (g2 e2l ). При этом e1k ⊗ e2l являются собственными векторами дляαX31 + βX32 ∈ su(2) ⊕ su(2), то есть это представление совпадает с построенным представлением на HE .Остается заметить, что (−1, −1)(e1k ⊗ e2l ) = (−e1k ) ⊗ (−e2l ) = e1k ⊗ e2l .Замечание. Можно показать, что дополнительное вырождение уровней с различными значениями2 2момента l имеют место и для движения в центрально-симметричном поле U = mω2 r (пространственныйосциллятор).
Специфике кулонова и осцилляторного полей в квантовой механике отвечает в классическоймеханике специфика, состоящая в том, что существуют замкнутые траектории частиц в этих (и толькоэтих) полях.6.9РассеяниеВ главе 4 было получено уравнение Липпмана–Швингера для функций ψ± = Ω± ψ 0 :−1ψ± = ψ 0 + E ± i0 − Ĥ0V ψ± .Запишем его для случая, когда Ĥ0 = −∆, Ĥ = −∆ + V в L2 (R3 ). ПустьZ1~f˜(k) =e−ik~y f (~y ) d3 ~y.(2π)3/2Тогда для z ∈ C\R выполненогде(Ĥ0 − z)−1 f (~x) =1(2π)3/2Z~eik~xZf˜(~k) 3~dk=G(~x, ~y ; z)f (~y) d3 ~y,k2 − z√G(~x, ~y; z) =~√1 ei|~x−~y| z, Im z > 04π |~x − ~y|(доказательство см.
в [12]). Если ψ 0 = eik~x , E = k 2 , то уравнение Липпмана–Швингера приобретает вид~ψ± (~x) = eik~x −14πZe±ik|~x−~y|V (~y)ψ± (~y ) d3 ~y.|~x − ~y|(6.15)Достаточное условие разрешимости уравнений (6.15) дает следующая теорема [12, гл. IV, §3]:Теорема 6.7. Пусть потенциал V удовлетворяет условию|V (x)| 6 C (1 + |x|)−5−δ, δ > 0.(6.16)Тогда уравнения (6.15) имеют единственное решение в пространстве Cb (R3 ) непрерывных ограниченныхфункций.Другое достаточное условие разрешимости приведено в [3, т.
3, теорема XI.41]: если V ∈ L1 (R3 ) иZ|V (~x)||V (~y )| 3 3kV k2R =d ~x d ~y < ∞,|~x − ~y |2R6то уравнения (6.15) разрешимы при k 2 ∈ R+ \E, где E — замкнутое множество меры нуль Лебега. Эторешение единственно в классе функций {ϕ : |V |1/2 ϕ ∈ L2 }.68Теорема 6.8. [12, гл. IV, §3] Пусть потенциал V удовлетворяет условию (6.16). Тогда решение ψ+ (~r, ~k)уравнения Липпмана–Швингера имеет асимптотикуeikr1~ψ+ (~r, ~k) = eik~r − 2π 2 T (~k ′ , ~k)+O,(6.17)rr1+εгде ε =12+ δ, ~k ′ = k ~rr .При этомT (~k ′ , ~k) =1(2π)3Z~′e−ik ~r V (~r)ψ+ (~r, ~k) d3 r.(6.18)Эта функция называется T -матрицей.
Через нее выражается оператор рассеяния Ŝ [3, т. 3, теорема XI.42]:для почти всех ~k = k~n выполнено равенствоZ~~(Ŝϕ)(k) = ϕ(k) − πki T (k~n, k~n′ )ϕ(k~n′ ) dΩ′ ,(6.19)S2где dΩ′ — элемент площади единичной сферы. Так какδ(k 2 − k ′2 ) d3~k ′ = δ(k ′2 − k 2 )k ′2 dk ′ dΩ′ =k′δ(k ′2 − k 2 ) dk ′2 dΩ′ ,2то (6.19) переписывается в видеS(~k, ~k ′ ) = δ(~k − ~k ′ ) − 2πiT (~k, ~k ′ )δ(k 2 − k ′2 ),где S(~k, ~k ′ ) — интегральное ядро оператора Ŝ.По теореме 4.2, оператор Ŝ разлагается в прямой интеграл операторов S(k) : L2 (S 2 ) → L2 (S 2 ), такихчто в импульсном представлении (Ŝϕ)(k, ~n) = (S(k)ϕ(k, ·))(~n). Зафиксируем k и положим F (~n) = ϕ(k, ~n),S̃ = S(k), f (~n′ , ~n) = −2π 2 T (k~n, k~n′ ).
Тогда (6.19) переписывается в видеZikS̃F (~n) = F (~n) +f (~n′ , ~n)F (~n′ ) dΩ′ = (1 + 2ik fˆ)F (~n),(6.20)2πS2где fˆF (~ν ) =14πRf (~n, ~ν )F (~n) dΩ. Заметим, что (6.17) переписывается в видеS2~ψ+ (~r) = eik~r + f (~n, ~n′ )eikr+ O(r−1−ε ).r(6.21)В физической литературе (см., напр., [1]) матрица рассеяния задается по определению формулой (6.20).При этом проводятся следующие рассуждения.
Рассматриваются решения ψ~n уравнения Шредингерас асимптотикой (6.21), являющееся суперпозицией плоской падающей и сферической рассеянной волн.Здесь k — волновое число, ~n — единичный вектор вдоль исходного направления движения частицы (соответствующего падающей волне), ~n′ — единичный вектор вдоль направления рассеянной частицы (соответствующего рассеянной волне). Волновой вектор определяется как ~k = k~n, пространственный вектор —как ~r = r~n′ .~2, тоЗамечание.
Так как в уравнении Шредингера перед оператором Лапласа стоит коэффициент 2µq2µ2µEв соответствующем уравнении Липпмана–Швингера вместо V пишется ~2 V , а k =~2 .Функции видаZψ = ψ~n F (~n) dΩ(6.22)S2также являются решением стационарного уравнения Шредингера и описывают некоторый возможныйпроцесс рассеяния. Предположим, что F достаточно гладкая и найдем асимптотическое значение выраженияZZeikrikr~n~n′F (~n)edΩ +F (~n)f (~n, ~n′ ) dΩ(6.23)rS2S269при r → ∞. Введем полярные координаты, положив в качестве θ угол между направлениями ~n и ~n′ , тоесть ~n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). ПустьΦ(cos θ) =Z2πF (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) dϕ,0λ = kr.
Функция Φ гладко зависит от cos θ всюду, кроме, может быть, cos θ = ±1; в окрестности этихточек!1Φ′ (cos θ) = O p.1 − | cos θ|Тогда (6.23) имеет видZπeikrrΦ(cos θ)eiλ cos θ sin θ dθ +0ZF (~n)f (~n, ~n′ ) dΩ =S2=Z1Φ(ξ)eiλξ dξ +−1eikrrZF (~n)f (~n, ~n′ ) dΩ.S2Проинтегрировав первое слагаемое по частям и воспользовавшись тем, что Φ(±1) = 2πF (±~n′ ), получаем2π1(F (~n′ )eiλ − F (−~n′ )e−iλ ) −iλiλZ1Φ′ (ξ)eiλξ dξ +eikrr−1ZF (~n)f (~n, ~n′ ) dΩ.S2√√Докажем, что второе слагаемое равно o( λ1 ) при λ → ∞. В самом деле, Φ′ (ξ) 1 + ξ и Φ′ (ξ) 1 − ξ ограничены при ξ ∈ [−1, 0] и ξ ∈ [0, 1] соответственно и поэтому 1 Z0 −1+1/λZZiλξiλξee′iλξ Φ (ξ)e dξ 6 C √√dξ+dξ+1+ξ1+ξ−1−1−1+1/λ 1−1/λ Z1 Zeiλξeiλξ1 √√+dξ + dξ = O √1−ξ 1+ξ λ 0 1−1/λпри больших значениях λ (для доказательства второе и третье слагаемое снова интегрируем по частям).В итоге получаем, что (6.23) равно Ze−ikreikreikr12πiF (−~n′ )− 2πiF (~n′ )+F (~n)f (~n, ~n′ ) dΩ + o, r → ∞.krkrrrS2Перепишем это в виде2πike−ikreikr′′F (−~n ) −ŜF (~n ) ,rr(6.24)гдеˆŜ = 1 + 2ik f,(6.25)а fˆ — интегральный оператор1fˆF (~n′ ) =4πZf (~n, ~n′ )F (~n) dΩ.(6.26)S2Первое слагаемое в (6.24) — это сходящаяся к центру волна, второе слагаемое — расходящаяся от центраволна.Унитарность Ŝ доказывается следующим образом.
Пусть~j = ~ (ψ ∗ ▽ ψ − ψ ▽ ψ ∗ ),2µi70(6.27)где ψ задается формулой (6.22). Так как ψ является решением стационарного уравнения Шредингера, тоdiv~j = 0 и поэтомуZ~ =0~j dSSr2(где Sr2 — сфера радиуса r). Поскольку проекция вектора градиента функции на вектор нормали к сфереравна производной функции по радиальной координате, выполнено равенствоZ ∂ψ∂ψ ∗ψ∗−ψdS = 0.∂r∂rSr2∗∂ψЯвно вычислив ψ ∗ ∂ψ∂r − ψ ∂r , получим, чтоZZ′ 2|F (−~n )| dΩ = |ŜF (~n′ )|2 dΩ,S2S2то есть оператор рассеяния унитарный: Ŝ Ŝ + = 1. Подставим это в (6.25):1 = Ŝ Ŝ + = (1 + 2ik fˆ)(1 − 2ik fˆ+ ) = 1 + 2ik fˆ − 2ik fˆ+ + 4k 2 fˆfˆ+ ,откудаfˆ − fˆ+ = 2ik fˆfˆ+ .Учитывая (6.26), перепишем условие унитарности для рассеяния в видеZikf (~n, ~n′ ) − f ∗ (~n′ , ~n) =f (~n, ~n′′ )f ∗ (~n′ , ~n′′ ) dΩ′′ .2π(6.28)S2Введем понятие дифференциального сечения рассеяния.
Пусть волновая функция имеет вид (6.21),ikr~~r = r~n′ , ~k = k~n. Положим ψ1 (~r) = f (~n, ~n′ ) e r (рассеянная волна), ψ2 (~r) = eik~r (падающая волна), а jlзадается формулой (6.27) с ψ := ψl , l = 1, 2. Тогда поток вероятности рассеянной волны через площадкуr2 dΩ~n′ равен −ikrikr−ikr2eeikr∗′ ∂ e′′ ∂ e∗′~j1~n′ r2 dΩ~n′ = ~rf (~n, ~n )f (~n, ~n ) −f (~n, ~n )f (~n, ~n ) dΩ~n′ =2µir∂r rr∂r r=~k|f (~n, ~n′ )|2 dΩ~n′ .µПоток вероятности падающей волны через единичную площадку с вектором нормали ~n равен~j2~n = ~ e−i~k~r ▽ ei~k~r − ei~k~r ▽ e−i~k~r ~n = ~ ~k~n = ~k .2µiµµНазовем дифференциальным сечением рассеяния отношениеdefdσ =~j1~nr2 dΩ~n′= |f (~n, ~n′ )|2 dΩ~n′ .~j2 ~nТогда полное сечение рассеяния равноσ=ZS2dσ =Z|f (~n, ~n′ )|2 dΩ~n′ .S2Значит, при ~n = ~n′ интеграл в правой части (6.28) равен полному сечению рассеяния.
Разность в левойчасти равенства сводится к мнимой части амплитуды f (~n, ~n). Таким образом, получаемIm f (~n, ~n) =kσ.4πЭто равенство называется оптической теоремой рассеяния. Приведенные формулы справедливы в любомпотенциальном поле, для которого полное сечение рассеяния конечно.Теперь рассмотрим случай центрально-симметричного поля. Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси z, описывается плоской волной, которую мы напишем в виде ψ = eikz .71ikrРассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида f (θ) e r , где θ— угол рассеяния; f (θ) называется амплитудой рассеяния. Таким образом, решение уравнения Липпмана–Швингера имеет асимптотикуψ ∼ eikz + f (θ)eikr.r(6.29)Дифференциальное сечение рассеяния в интервал углов равно dσ = 2π sin θ|f (θ)|2 dθ.Матрица рассеяния S(k) в L2 (S 2 ) имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.
Всамом деле, оператор S(k)−I является оператором Гильберта–Шмидта [3, т. 3, теорема XI.49] и нормален3в силу унитарности S(k). Так как V центрально-симметричен, то Ŝ коммутирует с любым элементомгруппы SO(3), а значит, S(k) также коммутируетс каждым )элементом SO(3). По лемме Шура, S(k)(lPоставляет каждое подпространство Hl =cm Ylm : cm ∈ C инвариантным и S(k)|Hl = sl (k)I|Hl , гдеm=−lsl (k) — некоторые числа.1Назовем величины fl (k) = 2ik(sl (k) − 1) парциальными амплитудами рассеяния. Они являются собˆственными числами оператора f (k) на подпространствах Hl .
Отсюда выводится равенствоf (θ) =∞X(6.30)(2l + 1)fl (k)Pl (cos θ),l=0где Pl — полиномы Лежандра [3, теорема XI.51].Из унитарности S(k) следует, что |sl (k)| = 1, так что sl (k) = e2iδl (k) . Величины δl (k) называютсяфазовыми сдвигами.Теорема 6.9. [3, теорема XI.53] Пусть V — центрально-симметричный кусочно-непрерывный потенR1R∞циал, такой что r|V (r)| dr < ∞ и |V (r)| dr < ∞. Тогда для любого k > 0 и l ∈ Z+ существует10единственное C 1 -гладкое решение ψl, k уравненияl(l + 1)′′−ψ + V (r) +ψ = k2 ψr2такое, что ψl, k (r) → 0 и r−l−1 ψl, k (r) → 1 при r → 0. Это решение удовлетворяет соотношениюπllim cψl, k (r) − sin kr −+ δl (k)= 0.r→∞2Пусть ψ — решение уравнения Липпмана–Швингера с асимптотикой (6.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
