А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654)
Текст из файла
Математические дополнения к курсуквантовой механикиА. А. ВасильеваД. В. ГальцовАннотацияВ этом тексте собраны основные математические утверждения, используемые в квантовой механике, которые необходимы для более глубокого понимания ее математического аппарата. В нем можнонайти сведения из теории неограниченных операторов в гильбертовом пространстве, строгие решениянекоторых стандартных задач, а также ссылки на математическую литературу для дальнейшего изучения. Изложение следует курсу, читаемому одним из авторов на механико-математическом факультетеМГУ (Д. В. Гальцов, Теоретическая физика для студентов-математиков, ч.
2; М.:МГУ, 2003).c А. А. Васильеваc Д. В. ГальцовМосква, 2006Содержание1 Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве и связьникой.1.1 Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве . . . . . . . .1.2 Проекторнозначные меры и спектральная теорема . . .
. . . . . . . . . .1.3 Основные принципы квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Спектральная теорема фон Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Определение операторов с помощью квадратичныхформ . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Принцип минимакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Оснащение гильбертова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Представления . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .с квантовой меха................................................44689................................................101212152 Одновременная измеримость и соотношениенеопределенностей173 Картины Гейзенберга и Шредингера194 Теория рассеяния225 Одномерное движение5.1 Достаточные условия самосопряженности оператора Шредингера . . . .
. . . . . . . . .5.2 Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Решение спектральной задачи для одномерного оператора Шредингера (общая схема)5.4 Свободная частица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .5.5 Движение на полупрямой и на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6 Потенциальная стенка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7 Способы задания операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами . . . .5.8 Регулярность обобщенных собственных функцийоператора Штурма–Лиувилля .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.9 Общий вид собственных функций одномерного уравнения Шредингера . . . . . . . . .5.10 Решения Йоста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .5.11 Отсутствие сингулярного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.12 Задание волновых операторов в случае быстро убывающих потенциалов . . . . . . . . .5.13 Периодический потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.14 Когерентные состояния для гармонического осциллятора . . . . . . . .
. . . . . . . . . ......................2323252727283034.....................373942434548506 Трехмерные задачи6.1 Достаточные условия самосопряженности оператора Шредингера . . . . . .6.2 Разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .6.3 Орбитальный момент количества движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 Представления SU (2) и спиновый момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Вспомогательные утверждения об операторе Штурма–Лиувилля в L2 (R+ ) .6.6 Движение в центральном поле .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.7 Кулоново поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.8 Симметрия SO(4) для кулонова поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.9 Рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.10 Состояния непрерывного спектра в случае кулоновского поля . . . . . . . .....................................................................................................54545556595963656768737 Квантование по Бору–Зоммерфельду7.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . .
.7.2 Условно-периодическое движение . . . . . .7.3 Правила квантования Бора–Зоммерфельда7.4 Схема доказательства правил квантования7.5 Квантование орбит в атоме водорода . . . ..................................................................................................................................................7474757676788 Теория возмущений8.1 Регулярная теория возмущений .
. . .8.2 Асимптотическая теория возмущений8.3 Концентрация спектра . . . . . . . . .8.4 Квантовые переходы . . . . . . . . . .8.5 Рассеяние в борновском приближении.................................................................................................................................................797981828486...............29 Квантовая статистика9.1 Операторы со следом .
. . . . . . . . . . . . . . . .9.2 Матрица плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Равновесные состояния для эргодических систем,близких к неэргодическим . . . . . . . . . . . . . .9.4 Принцип максимума энтропии . . . . . . . . . . . .87. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210 Дополнение 1: Основные понятия из функционального анализа10.1 Общая топология . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 Теория меры и интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Линейные нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4 Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.5 Задачи выпуклого программирования. . . .
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................93939496989911 Дополнение 2: Группы и алгебры Ли11.1 Непрерывные группы . . . . . . . . . .11.2 Алгебры Ли . . . . . . . . . .
. . . . .11.3 Классификация алгебр и групп Ли . .11.4 Представления . . . . . . . . . . . . . .........................................................100100101103104................12 Список литературы.........................................................10731Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве исвязь с квантовой механикой.В этой главе вводится понятие самосопряженного оператора, приводятся условия самосопряженности,способы построения самосопряженных операторов и две формы спектральной теоремы: в терминах проекторнозначной меры и в терминах обобщенного преобразования Фурье. Формулируются основные принципы квантовой механики (в соответствии с [23]).
Вводится понятие обобщенных собственных векторов,с помощью которых осуществляется обобщенное преобразование Фурье.1.1Неограниченные операторы в гильбертовом пространствеВсюду через H обозначается сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство над полем C соскалярным произведением h·, ·i, линейным по правому аргументу.1Определение 1.1. Пусть D(T ) ⊂ H — всюду плотное линейное подмногообразие. Оператором на гильбертовом пространстве H называется линейное отображение T : D(T ) → H.
Множество D(T ) называется областью определения оператора T .Пример. Пусть H = L2 (I), где I ⊂ R — промежуток. Рассмотрим оператор T f (x) = f ′ (x) с областьюопределения D(T ) = C0∞ (I). Тогда оператор T является неограниченным. В самом деле, пусть [a, b] ⊂ I,a < ã < b̃ < b. Пусть η — бесконечно гладкая функция, η|I\[a, b] ≡ 0, η|[ã, b̃] ≡ 1. Положим ϕn (x) =η(x) sin nx. Тогда последовательность {kϕn kL2 (I) } ограничена, а {kϕ′n kL2 (I) } неограничена.Если оператор ограничен, то его можно однозначно продолжить по непрерывности на все гильбертовопространство. Если оператор неограниченный, то область определения выбирается, вообще говоря, неоднозначно.
В частности, в предыдущем примере в качестве D(T ) можно также взять W21 (I) или W̊21 (I). Всвязи с этим возникают понятия расширения и замыкания оператора.Определение 1.2. Пусть T1 и T — операторы в H. Оператор T1 называется расширением оператораT , если D(T1 ) ⊃ D(T ) и T1 |D(T ) = T .Графиком Γ(T ) линейного оператора T называется множество пар{(ϕ, T ϕ)| ϕ ∈ D(T )} ⊂ H × H.В качестве скалярного произведения в H × H беретсяh(ϕ1 , ψ1 ), (ϕ2 , ψ2 )i = hϕ1 , ϕ2 i + hψ1 , ψ2 i.Оператор T называется замкнутым, если Γ(T ) — замкнутое подмножество в H × H. Оператор T замыкаем, если он имеет замкнутое расширение. Каждый замыкаемый оператор имеет наименьшее замкнутоерасширение, называемое замыканием и обозначаемое T .Заметим, что если оператор ограничен, то его замыкание совпадает с продолжением по непрерывностина все гильбертово пространство.Найдем замыкание оператора дифференцирования в H = L2 [a, b], с областью определения D(T ) =C0∞ (a, b).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
