А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Как было показано, этот операторсущественно самосопряжен на C0∞ (R). Кроме того, можно показать [3, §IX.7], что область определенияего замыкания состоит из функций ϕ ∈ L2 (R) таких, что ϕ′′ ∈ L2 (R) (производная в смысле обобщенныхфункций).Рассмотрим оператор F преобразования Фурье:Z1(F ϕ)(k) = √eikx ϕ(x) dx.2π2 2kЭто унитарный оператор из L2 (R) на L2 (R), переводящий Ĥ в оператор умножения на ~2m. Значит, Ĥikxимеет двукратный лебегов спектр, совпадающий с R+ . Функции e , k ∈ R\{0}, являются обобщенными собственными векторами Ĥ, построенными по оснащению S(R) ⊂ L2 (R) ⊂ S ′ (R), с собственными2 2kзначениями Ek = ~2m. Из формулы обращения для преобразования ФурьеZZ′dx eikx dk ′ e−ik x ϕ(k ′ ) = ϕ(k)27получаем условие ортогональностиZ′ei(k−k )x dx = δ(k − k ′ ).dв оператор умножения наЗаметим также, что преобразование Фурье переводит оператор импульса ~i dx~k.Найдем общее решение уравнения Шредингера для свободной частицы:i~∂ψ~2 ∂ 2 ψ=−.∂t2m ∂x2Сделаем преобразование Фурье:1ψ(x, t) = √2πZeikx1ψ̃(k, t) dk, ψ̃(k, t) = √2πZe−ikx ψ(x, t) dk.Отсюда получаем уравнение∂i~k 2ψ̃(k, t) = −ψ̃(k, t).∂t2mЕго решение, принадлежащее L2 (R), имеет видψ̃(k, t) = C(k)e−i~k22mt,где C(·) ∈ L2 (R).
Значит,1ψ(x, t) = √2πZC(k)e−i~k22mt ikxe1dk = √2πZC(k)ei(kx−ωk t) dk,2Ekгде ωk = ~k2m = ~ . Тогда ψ ∈ L2 (R) и kψk = kψ̃k. Выберем C(·) так, чтобы kψk = 1. Тогда C(k) являетсяамплитудой вероятности обнаружить частицу имеющей импульс p = ~k. Функция ψ(x, t) называетсяволновым пакетом.Найдем изменение во времени для средних значений и дисперсии волнового пакета. Уравнения дляp̂(t) и x̂(t) имеют видdp̂ii ~2 2= [Ĥ, p̂] =p̂ , p̂ = 0,dt~~ 2mii ~2 2p̂dx̂= [Ĥ, x̂] =p̂ , x̂ = ,dt~~ 2mmоткуда p̂(t) = p̂(0), x̂(t) = x̂(0) +p̂(0)m t.Усредняя по начальному состоянию, получаемhxit = hxi0 +hpi0t, hpit = hpi0 .mДисперсии имеют вид(δt p)2 = (p − hpi)2 t = (δ0 p)2 ,t2t(δt x)2 = (x − hxi)2 t = (δ0 x)2 + (δ0 p)2 2 + (hxp + pxi0 − 2hxi0 hpi0 ) ,mmто есть происходит расплывание волнового пакета.5.5Движение на полупрямой и на отрезке22~ dКак было показано, для задания оператора Ĥ = − 2mdx2 в L2 (R+ ) нужно граничное условие в 0.
Мыбудем рассматривать только условия Дирихле и Неймана.Найдем обобщенные собственные векторы Ĥ. Для этого сначала построим оснащение L2 (R+ ). В обоd22на функциях ϕ ∈ S(R) таких,их случаях оно будет задаваться с помощью оператора K = − dx2 + x′что ϕ(0) = 0 (если Ĥ задается граничным условием Дирихле) или ϕ (0) = 0 (если Ĥ задается граничным условием Неймана). Тогда K −1 является оператором Гильберта–Шмидта. Это следует из того, чтоd22собственные функции оператора − dxв L2 (R) являются либо четными, либо нечетными. Нечет2 + xные собственные функции образуют базис в подпространстве всех нечетных функций из L2 (R), а значит,их ограничение на R+ образует базис в пространстве L2 (R+ ), состоящий из функций, удовлетворяющихграничному условию Дирихле.
Аналогично ограничение четных собственных функций на R+ образует базис из функций, удовлетворяющих граничному условию Неймана. Так как в обоих случаях собственныезначения образуют арифметическую прогрессию, то K −1 является оператором Гильберта–Шмидта.28Найдем обобщенные собственные функции для Ĥ. Рассмотрим случай граничных условий Дирихле.Положим k 2 = 2mE~2 , соответствующую обобщенную собственную функцию обозначим ψk . Пусть ϕ —гладкая функция с носителем в [0, R) и ϕ(0) = 0.
Тогда ϕ ∈ H+ . Рассмотрим уравнение −η ′′ − k 2 η = ϕ сначальными условиями ϕ(R) = ϕ′ (R) = 0. Тогда η — гладкая функция с носителем в [0, R). Если η(0) = 0,то η ∈ H+ . Тогда из условий η ∈ H+ и Ĥη ∈ H+ получаем, что hψk , (Ĥ − E)ηi = 0.R∞Докажем, что η(0) = 0 тогда и только тогда, когда sin kx ϕ(x) dx = 0. В самом деле,0Z∞sin kx ϕ(x) dx =0= − sin kx η′ZR0(x)|R0+cos kx η(x)|R0sin kx(−η ′′ (x) − k 2 η(x)) dx =ZR+ (−(sin kx)′′ − k 2 sin kx)η(x) dx = η(0).0Пусть ϕ1 ∈ C0∞ ([0, +∞)), ϕ1 (0) = 0 иR∞0sin kx ϕ1 (x) dx = 1. Тогда любая функция ϕ ∈ C0∞ ([0, +∞)),удовлетворяющая условию ϕ(0) = 0, имеет видϕ = ϕ0 + ϕ1Z∞ϕ(x) sin kx dx,0где ϕ0 (0) = 0 иZ∞ϕ0 (x) sin kx dx = 0.0Значит, ϕ0 = −η ′′ − k 2 η для некоторого η ∈ H+ , иhψk , ϕi = hψk , −η ′′ − k 2 ηi + hψk , ϕ1 iZ∞sin kx ϕ(x) dx = ck0Z∞sin kx ϕ(x) dx,0то есть ψk (x) = ck sin kx.Аналогично доказывается, что для граничных условий Неймана ψk (x) = c̃k cos kx.Замечание.
Точно так же доказывается, что если V — гладкая функция на R+ , то оператор Ĥ =~2 d 2− 2mdx2 + V имеет полную систему обобщенных собственных функций, каждая из которых является~2 ′′f + V f = Ef с начальным условием f (0) = 0 (f ′ (0) = 0) в случаерегулярным решением уравнения − 2mграничных условий Дирихле (соответственно Неймана).
В главе 6 это утверждение будет обобщено наслучай, когда V имеет особенности (в том числе и в нуле).Из утверждения 1.2 следует, что R+ совпадает со спектром Ĥ. Так как при каждом k > 0 обобщенныесобственные векторы образуют одномерное пространство, то спектр всюду однократный.Выберем обобщенные собственные векторы так, чтобы они удовлетворяли условию ортогональности.Рассмотрим случай условий Дирихле. Докажем, что для любой функции ϕ ∈ C0∞ (0, ∞) и для любогоp > 0 выполнено равенство∞Z∞Z2sin px sin p′ x ϕ(p′ ) dp′ dx = ϕ(p).(5.4)π00Доказательство аналогично доказательству формулы обращения для преобразования Фурье.
Так какфункция ϕ имеет компактный носитель, то по теореме Фубини для любого R > 0∞ RZRZZ∞Z22sin px sin p′ x ϕ(p′ ) dp′ dx =ϕ(p′ ) sin px sin p′ x dx dp′ =ππ002=π0Z∞0sin R(p − p′ ) ′ 2ϕ(p )dp −2(p − p′ )π′290Z∞0ϕ(p′ )sin R(p + p′ ) ′dp .2(p + p′ )Так как p > 0 и ϕ имеет компактный носитель, то по теореме Римана–Лебега второе слагаемое стремитсяк 0 при R → ∞. Выберем P > p так, чтобы supp ϕ ⊂ [0, P ]. Тогда1πZ∞01=πZP0sin R(p′ − p) ′1ϕ(p )dp =p′ − pπ′ZP0ϕ(p′ )sin R(p′ − p) ′dp =p′ − pϕ(p′ ) − ϕ(p)1sin R(p′ − p) dp + ϕ(p)p′ − pπZP0sin R(p′ − p) ′dp .p′ − pТак как функция ϕ гладкая, то первое слагаемое стремится к 0 в силу теоремы Римана–Лебега.
Во второмслагаемом делаем замену переменной y = R(p′ − p) и получаем1ϕ(p)πR(PZ −p)sin ydy → ϕ(p),R→∞y−Rpпо формуле для интеграла Дирихле.Из этой формулы выводится равенство Парсеваля (так же, как для преобразования Фурье). Таким обq R∞разом, отображение ϕ(p) 7→ π2 ϕ(p) sin px dp продолжается до изометрического отображения из L2 (R+ )в L2 (R+ ).0Аналогично доказывается, что в случае граничных условий Неймананормированной системой обобщенных собственных векторов.Докажем, что продолжения отображенийϕ(p) 7→r2πϕ(p) 7→r2πZ∞nq2πcos px : p > 0oявляетсяϕ(p) sin px dp(5.5)ϕ(p) cos px dp(5.6)0иZ∞0на L2 (R+ ) сюръективны.
Для этого достаточно показать, что образы отображений, заданных на подпространстве нечетных (четных) функций из C0∞ (R) по формуле (5.5) (соответственно (5.6)), будет плотен вподпространстве нечетных (соответственно четных) функций в L2 (R). Это вытекает из следующих утверждений:1. Пространства четных и нечетных функций взаимно ортогональны.2.
Преобразование Фурье сюръективно.3. Подпространство четных (нечетных) функций инвариантно относительно преобразования Фурье.22~ d∞Теперь рассмотрим действие Ĥ = − 2mdx2 на {ψ ∈ C [−a/2, a/2] : ψ(±a/2) = 0} (граничные условияДирихле). Было показано, что на этой области определения Ĥ существенно самосопряжен. Найдем егоспектр.Сначала найдем дискретный спектр и собственные векторы.
Можно показать, что замыканием Ĥ~2 d 22является оператор − 2mdx2 (дифференцирование почти всюду) на {ψ ∈ W2 [−a/2, a/2] : ψ(±a/2) = 0}.′′Значит, если ψ — собственная функция с собственным значением E, то ψ + 2mE~2 ψ = 0 и ψ(±a/2) = 0.2πnnРешив эту краевую задачу, получаем ψn (x) = c sin a (x + a/2), где n ∈ N, c ∈ C.
Отсюда 2mE= πn~2a2 2 2~ nи En = π2ma2 . Так как система {ψn } полна в L2 (−a/2, a/2), то спектр Ĥ чисто дискретный и равен∞{En }n=1 .5.6Потенциальная стенка22~ dРассмотрим в L2 (R) оператор Ĥ = − 2mdx2 + U0 θ(x), где U0 > 0, θ(·) — функция Хевисайда. Так какпотенциал ограничен, то по теореме 1.3 оператор Ĥ существенно самосопряжен на C0∞ (R) и самосопряженна множестве Dmax функций из L2 (R), вторая обобщенная производная которых также принадлежитL2 (R). Найдем его спектр и обобщенные собственные векторы.30Так как Ĥ является неотрицательным, то его спектр содержится в R+ .d22Оснащение H = L2 (R) строим с помощью оператора K = − dx2 + x + U0 θ(x).
Позже будет доказано,что если потенциал V является локально ограниченной функцией, то обобщенные собственные векторы~2 ′′ψ + V ψ = Eψ.абсолютно непрерывны вместе со своими производными и удовлетворяют уравнению − 2mВ частности, в данном примере получаем условие склейки в 0: ψ(+0) = ψ(−0), ψ ′ (+0) = ψ ′ (−0). Крометого, из вида оператора K следует, что функции из H− не могут экспоненциально возрастать.Пусть E > U0 .
Тогдаc1 eikx + c2 e−ikx , x < 0,ψ(x) =c3 eiqx + c4 e−iqx , x > 0,qq2m(E−U0 )где k = 2mE, а c3 и c4 однозначно определяются по c1 и c2 из условий гладкости.~2 , q =~2Докажем, что при E > U0 спектр является двукратным. Для этого явно построим унитарный операториз L2 (R) на некоторое подпространство H, переводящий оператор умножения в ограничение Ĥ на этоподпространство.Положимc2 (q) cos qx, x > 0,c1 (q) sin qx, x > 0,ψ(x,q)=(5.7)ψ1 (x, q) =2c2 (q) cos kx, x < 0,c1 (q) kq sin kx, x < 0,где k =qq2 +2mU0~2 ,1c1 (q) = q2(1 +|q|k )Пусть ϕ ∈ C0∞ (0, +∞). Докажем, чтоZ∞ Z∞1, c2 (q) = q2(1 +k|q| ).ψj (x, q)ψj (x, q ′ )ϕ(q ′ ) dq ′ dx = ϕ(q),(5.8)−∞ −∞где ϕ ∈ C0∞ (R\{0}) — нечетная (четная) функция в случае j = 1 (соответственно 2). Рассмотрим случайj = 1 и нечетной функции ϕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
