А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Положим B = U + U + , C = i(U − U + ). Тогда D — общая плотная инвариантная область определения существенно самосопряженных операторов A, B и C. Докажем, что AU + = U + A наD. Действительно, пусть ψ ∈ D, ϕ = U −1 ψ. Тогда U −1 AU ϕ = U −1 U Aϕ = Aϕ, то есть U + Aψ = U −1 Aψ =AU −1 ψ = AU + ψ. Отсюда следует, что операторы A, B и C попарно коммутируют, при этом B и C ограничены.
В силу следствия 2.1, операторы A, B и C сильно коммутируют. По теореме 2.2, существуетунитарное отображение F пространства H на Ĥ, задаваемое формулой (2.2) и удовлетворяющее равенствам F AF −1 g(λ) = a(λ)g(λ), F BF −1 g(λ) = b(λ)g(λ) и F CF −1 g(λ) = c(λ)g(λ). Так как U = 12 (B − iC), тоF U F −1 g(λ) = 12 (b(λ)−ic(λ))g(λ). Пусть ϕ ∈ H+ и Aϕ ∈ H+ . Тогда hek (λ), Aψiψ = a(λ)F ψ = a(λ)hek (λ), ψi.Утверждение для U доказывается аналогично.Введем понятие полного набора наблюдаемых (см. [6], [12]). Определим функцию от сильно коммутирующих операторов.
Пусть Pλj — разложение единицы для Aj . Определим для каждого ψ ∈ H в Rnмеруµ(∆1 × · · · × ∆n ) = hP 1 (∆1 ) . . . P n (∆n )ψ, ψiи продолжим ее по Лебегу. Пусть для любого ψ ∈ H функция ϕ(λ1 , . . . , λn ) измерима и почти всюду конечна. Так как Aj сильно коммутируют, то H можно изоморфно отобразить на пространство L2 (M, µ) так,чтобы Aj перешли в операторы умножения на функции aj (m). При этом утверждается, что пространство(M, µ) можно выбрать так, чтобы ϕ(a1 (m), . . . , an (m)) была почти всюду конечной.Определение 2.2.
Оператор ϕ(A1 , . . . , An ) в пространстве H — это оператор, который при описанной выше реализации H в виде L2 (M, µ) переходит в оператор умножения на функцию ϕ(a1 (m), . . .. . . , an (m)).Обозначим через Rzj j резольвенты Aj .Определение 2.3. Вектор ψ ∈ H называется циклическим вектором для системы операторов {Aj }nj=1 ,если наименьшее замкнутое подпространство в H, содержащее ψ и инвариантное относительно всехоператоров Rzj j , j = 1, . . .
, n, совпадает с H.Определение 2.4. Сильно коммутирующие операторы A1 , . . . , An имеют простой совместный спектр,если существует циклический вектор для этой системы операторов.Следующая теорема дает критерий того, что сильно коммутирующие операторы имеют простой совместный спектр.Теорема 2.3. Пусть A1 , . . . , An — сильно коммутирующие самосопряженные операторы. Тогда длятого, чтобы они имели простой совместный спектр, необходимо и достаточно, чтобы для любогосамосопряженного оператора B, сильно коммутирующего с Aj , существовала функция ϕ такая, чтоB = ϕ(A1 , . .
. , An ).Скажем, что наблюдаемые A1 , . . . , An образуют полный набор, если они одновременно измеримы ивсякая наблюдаемая, измеримая одновременно с A1 , . . . , An , является функцией от этих величин.Теорема 2.4. Если A1 , . . . , An — полный набор наблюдаемых, то существует изоморфизм пространства состояний на L2 (Rn , µ) такой, что Ai соответствует оператору умножения на λi . Если Ai :L2 (Rn , µ) → L2 (Rn , µ), (Ai f )(λ1 , . .
. , λn ) = λi f (λ1 , . . . , λn ), то A1 , . . . , An имеют совместный простой спектр.18Таким образом, если задано координатное представление некоторой системы, то операторы x̂i образуют полный набор и поэтому любая наблюдаемая, одновременно измеримая с координатами, являетсяфункцией от них.В качестве полного набора наблюдаемых можно также взять набор импульсов p̂i . Если гамильтониансистемы с тремя степенями свободы имеет центрально-симметричный потенциал, то в качестве полного~ = ~r × ~набора удобно взять Ĥ, L̂2 и L̂i для некоторого i, где Lp, L2 = L2x + L2y + L2z (потом об этом будетсказано подробнее).Пусть имеется классическая система с n степенями свободы и наблюдаемые fj (~p, ~x), j = 1, .
. . , m,которые функционально независимы (то есть векторы ej = ▽fj линейно независимы в каждой точке).Пусть fˆj — соответствующие наблюдаемые в квантовой системе. Предположим, что fˆj образуют полныйнабор. Тогда [fˆk , fˆj ] = 0. Значит, по принципу соответствия, {fk , fj } = 0. Скобка Пуассона имеет вид{fk , fj } = Ωst esi etj , где Ω — невырожденная кососимметрическая (2n) × (2n)-матрица. Так как изотропноеподпространство для невырожденной билинейной кососимметрической формы на 2n-мерном пространствеимеет размерность не больше n, то число векторов ej должно быть не больше n. Значит, если наблюдаемые образуют полный набор и их классические аналоги функционально независимы, то их число непревосходит числа степеней свободы.Замечание.
Мы предполагали, что скобка Пуассона имеет стандартный вид. Есть более общие гамильтоновы системы, в которых скобка Пуассона задается кососимметрической матрицей Ω, зависящейот точки и вообще говоря вырожденной.Пусть A+ = A, B + = B, [A, B] = iC, C + = C. Определим дисперсии(δA)2 = h(A − hAi)2 i, (δB)2 = h(B − hBi)2 i, (δC)2 = h(C − hCi)2 i,где усреднение берется по состоянию ψ. Построим однопараметрическое семейство векторовϕ = (A − hAi − iξ(B − hBi))ψ, ξ ∈ R.Тогда0 6 hϕ, ϕi = (δA)2 + ξ 2 (δB)2 + ξhCi.Так как ξ ∈ R произвольно, то дискриминант не может быть положительным, то естьδA · δB >|hCi|.2(2.3)Это соотношение называется соотношением неопределенностей.
Для операторов координаты и импульса,входящих в канонически сопряженную пару, C = ~ и (2.3) имеет видδx̂ · δ p̂ >~.2Для компонент момента импульса [L̂x , L̂y ] = i~L̂z , поэтому (2.3) записывается в видеδ L̂x · δ L̂y > ~3|hL̂z i|.2Картины Гейзенберга и ШредингераВ классической механике Гамильтона зависимость от времени наблюдаемой F (~p, ~q) определяется ее скобкой Пуассона с гамильтонианом:dF∂H ∂F∂F ∂H= {H, F } =−.dt∂~p ∂~q∂~p ∂~qНа основании принципа соответствия получаем для операторовdF̂ (t)i= [Ĥ, F̂ (t)],dt~(3.1)где F̂ (t) — оператор физической величины F в момент времени t. Положим F̂ = F̂ (0).Предположим, что Ĥ не зависит от времени явно.
Если бы все операторы в (3.1) были ограниченными,itĤitĤто можно было бы проверить, что решение имеет вид F̂ (t) = e ~ F̂ e− ~ . При этом уравнение (3.1)рассматривалось бы в равномерной операторной топологии.В следующей теореме [3, т. 1, §VIII.4] приводятся свойства семейства операторов eitA , t ∈ R, где A —самосопряженный оператор (возможно, неограниченный).19Теорема 3.1. Пусть A — самосопряженный оператор, U (t) = eitA . Тогда(a) для любого t ∈ R оператор U (t) унитарен и U (t + s) = U (t)U (s) для любых t, s ∈ R;(b) если ψ ∈ H и t → t0 , то U (t)ψ → U (t0 )ψ;(c) для любого ψ ∈ D(A) имеем U(t)ψ−ψ→ iAψ (t → 0);t(d) если ∃ limt→0 U(t)ψ−ψ,тоψ∈D(A).tОператорнозначная функция U (t), удовлетворяющая (a) и (b), называется сильно непрерывной однопараметрической унитарной группой.Теорема 3.2. (теорема Стоуна).
Пусть U (t) — сильно непрерывная однопараметрическая унитарнойгруппа. Тогда существует самосопряженный оператор A такой, что U (t) = eitA .Оператор A называется инфинитезимальным генератором группы U (t).−itĤПоложим U (t) = e ~ (он называется оператором эволюции),F̂ (t) = U (t)+ F̂ U (t).Это самосопряженный оператор, определенный на U (t)+ D(F̂ ) и имеющий те же спектральные свойства,что и F̂ .В [6] уравнению (3.1) придается следующий смысл. Рассмотрим два вектора ψ1 и ψ2 .
ПоложимF (t) = hF̂ U (t)ψ1 , U (t)ψ2 i.defПредположим, что ψ1 (t) = U (t)ψ1 ∈ D(F̂ ), F̂ ψ2 (t) ∈ D(Ĥ) непрерывно зависит от t. Докажем, что тогдаF (t) дифференцируема. В самом деле,F (s + t) − F (s)h(F̂ U (t) − U (t)F̂ )ψ1 (s), U (t)ψ2 (s)i==tt U (t) − IU (t) − I= F̂ψ1 (s), U (t)ψ2 (s) −F̂ ψ1 (s), U (t)ψ2 (s) .ttТак как limt→0U(t)−Iϕt= − ~i Ĥϕ для любого ϕ ∈ D(Ĥ), тоU (t) − IiF̂ ψ1 (s) → − Ĥ F̂ ψ1 (s) (t → 0)t~и, значит,limt→0U (t) − IiF̂ ψ1 (s), U (t)ψ2 (s) = − hĤ F̂ ψ1 (s), ψ2 (s)i.t~Так как оператор F̂ , вообще говоря, является неограниченным, то limt→0 F̂ U(t)−Iψ1 (s) может не сущеtствовать.
Воспользовавшись самосопряженностью F̂ , получаем U (t) − IU (t) − Iψ1 (s), U (t)ψ2 (s) =ψ1 (s), F̂ U (t)ψ2 (s) .F̂ttПо предположению, F̂ U (t)ψ2 (s) = F̂ ψ2 (t + s) непрерывно зависит от t и, значит,U (t) − Iilim F̂ψ1 (s), U (t)ψ2 (s) = − hF̂ Ĥψ1 (s), ψ2 (s)i.t→0t~Следовательно, dF (t) iii=(Ĥ F̂ − F̂ Ĥ)ψ1 (s), ψ2 (s) =(Ĥ F̂ (s) − F̂ (s)Ĥ)ψ1 , ψ2 = [Ĥ, F̂ ].dt t=s~~~В частности, если Ĥ имеет полную систему собственных векторов {ψn }, при этом ψn (t) ∈ D(F̂ ) и F̂ ψn (t) ∈D(Ĥ) непрерывно зависят от t для любого n, то уравнение (3.1) можно рассматривать как уравнение дляматричных элементов F̂ (t).Описанная картина эволюции называется гейзенберговской. В ней вектор состояния не меняется, аменяется наблюдаемая.
Математическое ожидание величины F определяется формулойhF (t)i = hψ, F (t)ψi = hψ, U (t)+ F U (t)ψi = hψ(t), F (0)ψ(t)i,20где ψ(t) = U (t)ψ. Для ψ(t) получаем уравнение Шредингераi~dψ(t) = Ĥψ(t)dt(3.2)с начальным условием ψ(t)|t=0 = ψ. Такое представление зависимости физических величин от времениназывается представлением Шредингера. Операторы наблюдаемых остаются неизменными, а вектор состояния эволюционирует. Выбирая координатное представление, получаем уравнение Шредингера дляточечной частицы, движущейся в поле с потенциалом U (~r):i~∂ψ(~r, t)~2=−∆ψ(~r, t) + U (~r)ψ(~r, t).∂t2m(3.3)Уравнение (3.3) называется полным уравнением Шредингера. Если вектор состояния при t = 0 являетсясобственным вектором оператора ГамильтонаĤψE = EψE ,то зависимость от времени в соответствии с (3.2) имеет видψ(t) = e−iEt~ψE .В этом случае среднее значение любой наблюдаемой F не зависит от t:hF i = hψ(t), F (0)ψ(t)i = hψE , F (0)ψE i.Такое состояние называется стационарным.Для определения изменения математических ожиданий наблюдаемых удобнее использовать картинуГейзенберга.
Для операторов импульса и координаты точечной частицы уравнение (3.1) принимает видi~˙ = [H(t), p~(t)] ,p~i~r˙ = [H(t), ~r(t)] .~Пусть H(~p, ~r) =p22m+ V (~r). Тогда~[Ĥ, p~ˆ] = [V (~r), p~ˆ] = V (~r), ▽ = i~ ▽ V (~r),i 2 p ˆp~[Ĥ, ~rˆ] =, ~r = −i~ .2mmЗначит,ii[H(t), ~p(t))] = U (t)+ [H, p~]U (t) = −U (t)+ ▽ V (~r)U (t) = − ▽ V (~r(t)).~~Докажем последнее равенство. Если A1 , . . . , An в некотором представлении имеют вид операторов умножения на λ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
