А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда hψ, (P − Pn )ψi → 0, n → ∞. Из свойства (d) следует,n=1k=1что P 2 = P , Pn2 = P Pn = Pn P = Pn . Значит,h(P − Pn )ψ, (P − Pn )ψi = hψ, (P − Pn )2 ψi = hψ, (P 2 − P Pn − Pn P + Pn2 )ψi == hψ, (P − Pn )ψi → 0,n→∞то есть Pn сильно сходится к P .Определим интеграл по мере {PΩ }. Пусть f : R → R — локально ограниченная борелевская функция.Рассмотрим квадратичную формуZq(ψ) = f (λ) dpψ (λ),где ψ ∈ PΩ H для некоторого конечного интервала Ω (тогда интеграл в правой части существует). Пусть b— билинейная форма и b(ψ, ψ) = q(ψ).
Тогда можно показать, что для любого конечного интервала Ω найдется такая константа C, что для любых функций ϕ, ψ ∈ PΩ H выполнено неравенство b(ϕ, ψ) 6 Ckϕkkψk.Значит, на PΩ H определен ограниченный эрмитов оператор BΩ такой, что hϕ, BΩ ψi = b(ϕ, ψ). Определимоператор B равенством B|PΩ H = BΩ . Из следствия 1.1 получаем, что B существенно самосопряжен.
Егозамыкание обозначим символомZ +∞f (λ) dPλ .−∞Если f ≡ 1, то q(ψ) = hψ, ψi, так что выполнено равенствоI=+∞ZdPλ .(1.1)−∞Теперь сформулируем спектральную теорему.Теорема 1.4. [3, §VIII.3] Существует взаимно-однозначное соответствие между самосопряженнымиоператорами A и проекторнозначными мерами {PΩA } на H, задаваемое равенством+∞ZA=λ dPλA .−∞7(1.2)При этом+∞ZA =λn dPλA .n−∞Проекторнозначная мера, удовлетворяющая (1.2), называется разложением единицы для оператора A.С помощью этой теоремы можно определить функцию от оператора формулой+∞Zf (A) =f (λ) dPλA .−∞itAВ частности, так определяется экспонента e .Пример. Пусть H = L2 (R).
Обозначим через χΩ характеристическую функцию множества Ω. Тогдаоператоры (PΩ ψ)(λ) = χΩ (λ)ψ(λ) задают проекторнозначную меру (это следует из утверждения 1.1). ТаккакZpψ (Ω) = hψ, PΩ ψi = |ψ(λ)|2 dλ,ΩтоВ частности, оператор A =1.3ZRf (λ) dpψ (λ) =Zf (λ)|ψ(λ)|2 dλ = hψ(·), f (·)ψ(·)i.λ dPλ имеет вид (Aψ)(λ) = λψ(λ).Основные принципы квантовой механикиПринципы квантовой механики формулируются следующим образом.• Состояние задается единичным вектором в бесконечномерном сепарабельном пространстве.Изначально состояния задавались волновыми функциями ψ(x), которым придавалась следующаявероятностная интерпретация: |ψ(x)|2 — плотность вероятности обнаружить частицу в точке x.
Позже был сформулирован принцип суперпозиции (см., напр., [13]), откуда следовало, что состояния —это векторы в гильбертовом пространстве.• Каждой наблюдаемой A соответствует самосопряженный оператор Â, при этом для любого борелевского подмножества Ω ⊂ R и для любого состояния ψ ∈ H вероятность того, что значение наблюдаемой A принадлежит Ω, равнаP (A ∈ Ω) = hψ, P̂Ω ψi,(1.3)где {P̂Ω } — проекторнозначная мера из разложения оператора Â.Замечание 1. Соотношения (1.1) и (1.2) в дираковских обозначениях для наблюдаемой fˆ имеютвид соответственноXX1=|f ihf | и fˆ =f |f ihf |.ffЗамечание 2. В некоторой литературе (например, в [16]), сначала постулируются свойства наблюдаемых, а затем из них выводится, что каждой наблюдаемой соответствует проекторнозначнаямера. В [13] дается определение наблюдаемых с чисто точечным спектром, из которого выводится,что для них существует полная ортонормированная система собственных состояний, так что им соответствует самосопряженный оператор. Если предположить, что для любой наблюдаемой A такимсвойством будет обладать PΩ = χΩ ◦ A для любого борелевского множества Ω, то оператор P̂Ω является ортогональным проектором (так как он самосопряжен и его собственные значения равны 0и 1) и выполнено (1.3).
Из утверждения 1.1 следует, что {P̂Ω } — проекторнозначная мера. В [17]дается общее определение наблюдаемых (не только для квантовомеханических систем) с помощьюнекоторого набора аксиом (см. также [3, т. 1, стр. 339]), а для квантовой механики задается еще однааксиома, переформулировка которой дает соответствие между наблюдаемыми и проекторнозначными мерами.Из формулы (1.3) следует, что среднее значение наблюдаемой A в состоянии ψ равноZhÂi = λhψ, dPλ ψi = hψ, Âψi,Rа квадрат дисперсии равен(δ Â)2 = hÂ2 i − hÂi2 = hψ, Â2 ψi − hψ, Âψi2 .8• Если наблюдаемая имеет классический аналог, то построение соответствующего оператора основанона принципе соответствия. Классические наблюдаемые задаются как функции на фазовом пространстве. На их множестве задается скобка Пуассона{F1 , F2 } =∂F1 ∂F2∂F1 ∂F2−.∂~p ∂~q∂~q ∂~pВ частности, для координат и импульсов выполнено соотношение {pi , q j } = δij . Для операторов p̂i иq̂ j постулируется равенство~[p̂k , q̂ j ] = δkj .iДальше требуется, чтобы в классическом пределе алгебра операторов с умножением {A, B}~ :=i~ [A, B] переходила в алгебру функций со скобкой Пуассона.
Если наблюдаемая имеет вид f1 (p) +f2 (q), то ей сопоставляется оператор f1 (p̂) + f2 (q̂). Если f (p, q) содержит произведения p и q, то ихсимметризуют, а затем p и q заменяют соответственно на p̂ и q̂. Подробнее о построении операторапо функции написано, например, в [12].В квантовой механике рассматриваются также системы, не имеющие классических аналогов; дляних операторы наблюдаемых должны быть построены на основании физических соображений непосредственно. Примером таких наблюдаемых является спин.1.4Спектральная теорема фон НейманаВведем понятие прямого интеграла гильбертовых пространств [5]. Пусть (Λ, Σ, µ) — пространство с положительной мерой µ.
Предположим, что задано разбиение множества Λ на непересекающиеся измеримыеподмножества Λn , n = 1, 2, . . . , ∞. Для каждого λ ∈ Λ рассмотрим гильбертово пространство видаH(λ) = l2n , если λ ∈ Λn (l2n = Cn при n < ∞, l2∞ := l2 ). Пусть N (λ) — размерность пространства H(λ).СимволомZH(λ) dµ(λ)Λобозначим множество векторнозначных функцийN (λ)Λ ∋ λ 7→ u(λ) = (uk (λ))k=1 ,для которыхdefkuk2 =Z NX(λ)k=1ΛТогдаRΛ|uk (λ)|2 dµ(λ) < ∞.H(λ) dµ(λ) является гильбертовым пространством со скалярным произведениемdefhu, vi =Z NX(λ)Λu∗k (λ)vk (λ) dµ(λ).k=1При этом две функции считаются эквивалентными, если они совпадают почти всюду.RОпределение 1.10. Пространство H(λ) dµ(λ) называется прямым интегралом пространств H(λ),λ ∈ Λ.ΛПример 1.
Пусть Λ = N, µ({λ}) = 1, λ ∈ N. ТогдаRΛH(λ) dµ(λ) =L∞k=1пространств.RПример 2. Пусть H(λ) = C, λ ∈ Λ. Тогда H(λ) dµ(λ) = L2 (Λ, Σ, µ).ΛHk — обычная прямая суммаТак же, как для пространства L2 (Λ, Σ, µ), доказывается, что если мера µ сепарабельна, то прямойинтеграл пространств H(λ) является сепарабельным гильбертовым пространством. Напомним, что мераназывается сепарабельной, если существует не более чем счетная система подмножеств Cn ∈ Σ такая, чтодля любого C ∈ Σ и для любого ε > 0 найдется Cn такое, что µ(C △ Cn ) < ε. Например, если Λ = Rd смерой Лебега, то в качестве множеств Cn можно взять параллелепипеды, у которых все вершины имеютрациональные координаты.9Теорема 1.5.
Пусть A — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H.Тогда существует унитарный операторZнаF : H → Ĥ = H(λ) dµ(λ)Λтакой, что для любой борелевской функции ϕ выполнено(F ϕ(A)F −1 u)(λ) = ϕ(λ)u(λ),где Λ ⊂ R — спектр оператора A, µ —некоторая мера на нем.Число N (λ) называется кратностью спектра.Мера µ имеет единственное разложение в сумму чисто точечной, абсолютно непрерывной и сингулярной мер (теорема 10.3): µ = µpp + µac + µsing . ПоэтомуL2 (R, dµ) = L2 (R, dµpp ) ⊕ L2 (R, dµac ) ⊕ L2 (R, dµsing )и такое же разложение имеет место для прямого интеграла гильбертовых пространств:Ĥ = Ĥpp ⊕ Ĥac ⊕ Ĥsing .Положим Hpp = F −1 Ĥpp , Hac = F −1 Ĥac и Hsing = F −1 Ĥsing , σac (A) = σ(A|Hac ) и σsing (A) = σ(A|Hsing ).d2Пример 1. Пусть A = − dx2 на S(R). С помощью преобразования Фурье он переводится в оператор2умножения на x в S(R).
Сделав подходящую замену переменной, получаем, что Ĥ = L2 (R+ , dλ; C2 ) (тоесть N (λ) = 2 для всех λ > 0). Так как мера µ совпадает с лебеговской, то H = Hac .d2Пример 2. В главе 5 будет рассмотрен класс операторов Штурма–Лиувилля Ĥ = − dx2 + V (x), гдеV (x) → a (x → −∞) и V (x) → b (x → +∞) и выполнены некоторые условия на регулярность V искорость сходимости к a и b. Пусть для определенности a < b. Будет показано, что при λ < a спектроднократный и дискретный (то есть он является точечным и собственные значения изолированы), приa < λ < b оператор Ĥ имеет однократный лебегов спектр, а при λ > b — двукратный лебегов спектр.Таким образом, σac = [a, +∞), σsing = ∅, Λ = {λj }kj=1 ∪ [a, +∞), где λj < a, N (λ) = 1 при λ < b и N (λ) = 2при λ > b.Мера µ может быть выбрана с точностью до эквивалентности.
Точнее, имеет местоТеорема 1.6. [12, Добавление 1] Операторы A1 и A2 умножения на λ в пространствах L2 (R, dµ1 ) иL2 (R, dµ2 ) унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда меры dµ1 и dµ2 абсолютно непрерывныдруг относительно друга.Из теоремы 1.5 следует, что существуют пространство с мерой (M, σ) и унитарный оператор U : H →L2 (M, σ) такие, что U AU −1 является оператором умножения на некоторую функцию. В самом деле,пусть Λn = {λ ∈ Λ : N (λ) = n}, (Mn , σn ) = ⊔ni=1 (Λin , Rµ) — множество из n экземпляров Λn . В качестве(M, σ) берется ⊔n (Mn , σn ), и каждому ϕ = (ϕi (λ)) ∈ H(λ) dµ(λ) сопоставляется функция ϕ̃ такая, чтоΛϕ̃(λ) = ϕi (λ), если λ ∈ Λin .1.5Определение операторов с помощью квадратичныхформВ некоторых случаях для операторов, описывающих физические системы, не удается подобрать “естественным образом” их область определения так, чтобы они были существенно самосопряженными. Приd2мерами таких операторов являются − dxr ) в L2 (R3 ), где V (~r) ∼ r−α при2 + αδ(x) в L2 (R) или −∆ + V (~3r → 0 для α 6 2 .
Иногда удается определить оператор и доказать его самосопряженность с помощьютеории квадратичных форм.Пусть A — самосопряженный оператор. Перейдем к его спектральному представлению, так чтобы Aстал оператором умножения на x в пространствеNLL2 (R, dµn ). Положимn=1Q(A) ={ψn }Nn=1 :N Z∞Xn=1−∞10|x| |ψn (x)|2 dµn < ∞и для всех ϕ, ψ ∈ Q(A)qA (ϕ, ψ) =N Z∞Xxϕn (x)ψn (x) dµn .n=1−∞В общем случае квадратичной формой называется отображение q : Q(q) × Q(q) → C (где Q(q) — плотноелинейное подмножество в H), такое что q(·, ψ) сопряженно-линейно, а q(ϕ, ·) линейно. Если q(ϕ, ψ) =q(ψ, ϕ), то форма q называется симметрической.
Если существует такое число M , что q(ϕ, ϕ) > −M kϕk2для любого ϕ ∈ Q(q), то q называется полуограниченной; если при этом M = 0, то q называется положительной. Полуограниченная форма q называется замкнутой, если пространство Q(q) полно относительнонормы1/2kψk+1 = q(ψ, ψ) + (M + 1)kψk2.Можно показать, что форма, порожденная полуограниченным самосопряженным оператором, замкнута.Оказывается, верно и обратное.Теорема 1.7. [3, т. I, §VIII.6] Всякая замкнутая полуограниченная квадратичная форма порождаетсянекоторым однозначно определенным самосопряженным оператором.При этом область определения оператора задается как множество тех ψ ∈ H+1 , для которых существует вектор g ∈ H, такой чтоq(ϕ, ψ) + (M + 1)hϕ, ψi = hϕ, giдля любого ϕ ∈ Q(q).Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
