А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Утверждается, что T — это оператор дифференцирования на множестве D(T ) = W̊21 ([a, b]). Всамом деле, если fn → f и fn′ → g(n → ∞) в метрике пространства L2 [a, b], то последовательность {fn }фундаментальна в метрике пространства W21 ([a, b]). В силу полноты пространства Соболева fn → f вметрике W21 ([a, b]) при n → ∞. Так как W̊21 ([a, b]) — это замыкание C0∞ (a, b) в пространстве W21 ([a, b]), тоf ∈ W̊21 ([a, b]). Обратно, если f ∈ W̊21 ([a, b]), то существует последовательность fn ∈ C0∞ (a, b), сходящаясяк f в W21 ([a, b]), то есть fn → f и fn′ → f ′ в L2 ([a, b]) и, значит, (f, f ′ ) принадлежит замыканию графикаоператора T .Определение 1.3.
Пусть T — оператор в гильбертовом пространстве H. Областью определения оператора T + , сопряженного к T , называется множество D(T + ), состоящее из таких векторов ϕ ∈ H,для которых функционал lϕ (ψ) = hϕ, T ψi, ψ ∈ D(T ), является ограниченным. Оператор T + , называемыйсопряженным к T , определяется с помощью равенстваhT + ϕ, ψi = lϕ (ψ) = hϕ, T ψi,где ϕ ∈ D(T + ), ψ ∈ D(T ).1 Иногдабудут использоваться дираковские обозначения.4Так как каждый линейный непрерывный функционал l(·) в гильбертовом пространстве имеет видl(·) = hη, ·i, где η ∈ H, то для каждого ϕ ∈ D(T + ) найдется вектор ηϕ такой, что hϕ, T ψi = hηϕ , ψi,ψ ∈ D(T ).
Значит, T + ϕ = ηϕ .Пример. Пусть H = L2 [a, b], D(T ) = C0∞ ([a, b]), T f (x) = if ′ (x). Докажем, что D(T + ) = W21 ([a, b]) и+T f = if ′ . Действительно, пусть функция g ∈ L2 [a, b] такова, что существует функция η ∈ L2 [a, b] такая,что для любого f ∈ C0∞ ([a, b]) выполнено hg, if ′ i = hη, f i. Значит, hig, f ′ i = −hη, f i. По определениюпространства Соболева, g ∈ W21 ([a, b]) и η = ig ′ (производная в обобщенном смысле). Так как на отрезкевсе функции из W21 абсолютно непрерывны и обобщенная производная совпадает с производной, взятойпочти всюду, то T + g = η = ig ′ почти всюду.dЕсли в качестве области определения оператора i dxвзять W̊21 ([a, b]), то область определения сопря1женного оператора содержится в W2 ([a, b]). Интегрируя по частям, можно показать, что она в точностисовпадает с W21 ([a, b]).В общем случае область определения сопряженного оператора может быть не всюду плотной и дажеможет состоять из единственного нулевого вектора (см.
[3], гл. VIII).Введем понятие спектра оператора.Определение 1.4. Пусть T — замкнутый оператор. Комплексное число λ принадлежит резольвентному множеству ρ(T ), если оператор T − λI является биекцией D(T ) на H с ограниченным обратным.Оператор (T − λI)−1 называется резольвентой оператора T .Так же, как для случая ограниченных операторов, показывается, что ρ(T ) открыто в C. Дополнениек резольвентному множеству называется спектром и обозначается σ(T ).Определение 1.5. Оператор T называется симметрическим (или эрмитовым), если T ⊂ T + . Равносильное условие: T симметричен тогда и только тогда, когдаhT ϕ, ψi = hϕ, T ψiдля всех ϕ, ψ ∈ D(T ).Известно, что если оператор является симметрическим и ограниченным, то его спектр содержится ввещественной прямой.
Оказывается, что в случае неограниченных операторов условия симметричностидля этого недостаточно.Определение 1.6. Оператор T называется самосопряженным, если T = T + , то есть T симметрический и D(T ) = D(T + ). Оператор T называется существенно самосопряженным, если его замыканиеявляется самосопряженным.dна W̊21 ([a, b]) является симметрическим, но не самоКак видно из предыдущего примера, оператор i dx∞сопряженным, а тот же оператор на C0 ([a, b]), следовательно, не является существенно самосопряженным.Теорема 1.1. [3, т. 2, §X.1] Пусть T — замкнутый симметрический оператор. Тогда для того, чтобыT был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы σ(T ) ⊂ R.Можно показать, что если T существенно самосопряжен, то его единственным самосопряженным расширением является его замыкание.
Отсюда видно, что вместо самосопряженных операторов достаточнорассматривать существенно самосопряженные, у которых область определения обычно легче задать.Следующая теорема [3, §X.1] дает критерий того, что симметрический оператор имеет самосопряженные расширения и того, что он является существенно самосопряженным. Сначала введем понятиеиндексов дефекта.Определение 1.7. Пусть T — симметрический оператор иK+ = ker(i − T + ) = ran(i + T )⊥ ,K− = ker(i + T + ) = ran(−i + T )⊥ ,где ran обозначает образ оператора.
Множества K± называются дефектными подпространствами оператора T . Числа n± = dim K± называются индексами дефекта оператора T .Теорема 1.2. Пусть T — симметрический оператор с индексами дефекта n+ и n− . Тогда1) T существенно самосопряжен тогда и только тогда, когда n+ = n− = 0.2) T обладает самосопряженными расширениями тогда и только тогда, когда n+ = n− . Существуетвзаимно однозначное соответствие между самосопряженными расширениями оператора T и унитарными отображениями из K+ на K− .5dПример.
Пусть H = L2 (I), где I ⊂ R — некоторый промежуток, D(T ) = C0∞ (I), T = i dx. Найдем⊥индексы дефекта оператора T . Пусть f ∈ ran(i + T ) . Тогда для любого g ∈ D(T ) выполнено hf, ig ′ + igi =0, то есть f ′ − f = 0 в смысле обобщенных функций. Решив это уравнение, получаем f (x) = cex . Еслипромежуток I ограничен сверху, то f ∈ L2 (I) и n+ = 1, в обратном случае f ∈/ L2 (I) и n+ = 0. Аналогичнонаходится n− . Применив теорему 1.2, получаем три случая:1. если I = R, то n+ = n− = 0 и T существенно самосопряжен;2. если I полуограничен, то n+ 6= n− и T не имеет самосопряженных расширений;3.
если I ограничен, то n+ = n− = 1, так что T не является существенно самосопряженным, но имеетсамосопряженные расширения.Из теоремы 1.2 вытекает следующее утверждение.Следствие 1.1. Пусть H = ⊕∞n=1 Hn , Tn : Hn → Hn — существенно самосопряженные операторы.Положим T |Hn = Tn и продолжим его по линейности. Тогда T — существенно самосопряженный оператор.Доказательство. Легко проверяется, что этот оператор симметрический. Пусть x ∈ ran(i + T )⊥ , xn— ортогональная проекция x на Hn . Тогда xn ∈ ran(i + Tn )⊥ , так что xn = 0 в силу существенной∞Pсамосопряженности Tn .
Значит, x =xn = 0, откуда получаем n+ = 0. Аналогично доказывается, чтоn=1n− = 0.Сумма двух существенно самосопряженных операторов, вообще говоря, не является существенно самосопряженным оператором (потом будут приведены примеры). Следующая теорема (см. [3], §X.2) показывает, что “достаточно малое” возмущение самосопряженного оператора будет существенно самосопряженным.Теорема 1.3. (теорема Вюста–Като–Реллиха). Пусть A самосопряжен, а B симметричен, причемD(B) ⊃ D(A). Предположим, что для некоторого b и всех ϕ ∈ D(A)kBϕk 6 λkAϕk + bkϕk,где λ 6 1.
Тогда A + B существенно самосопряжен на D(A) или любой области существенной самосопряженности оператора A. Если λ < 1, то A + B самосопряжен на D(A).В частности, если B ограничен, то A + B существенно самосопряжен.Определение 1.8. Пусть D1 , D2 ⊂ H — всюду плотные линейные подпространства, A : D1 → D2 ,B : D2 → D1 — линейные операторы. Коммутатором A и B называется оператор [A, B] = AB − BA собластью определения D1 ∩ D2 .Если A и B симметрические, то легко проверить, что i[A, B] тоже симметрический. Однако из того, что A, B являются существенно самосопряженными, не следует, что оператор i[A, B] существенносамосопряженный; он может даже не иметь самосопряженных расширений.d21Пример. Пусть D1 = D2 = C0∞ (0, +∞), A = x, B = − dx2 + x2 .
Тогда A и B являются существенносамосопряженными (для оператора B это доказывается с помощью критерия Вейля, который будет приdведен в главе 5). Однако оператор i[A, B] = 2i dxне имеет самосопряженных расширений на C0∞ (0, +∞).1.2Проекторнозначные меры и спектральная теоремаВ этом параграфе приводится обобщение следующего факта:самосопряженный оператор A в конечноPмерном евклидовом пространстве представим в виде A = λk Pk , где λk — собственные значения A, а Pkk— ортогональные проекторы на подпространство собственных векторов, соответствующих λk .Напомним, что оператор A является сильным пределом последовательности операторов {An } (этообозначается A = s- lim An ), если для любого ϕ ∈ H выполнено lim An ϕ = Aϕ.n→∞n→∞Определение 1.9.
Пусть каждому борелевскому подмножеству Ω вещественной прямой сопоставленоператор PΩ и семейство {PΩ } обладает следующими свойствами:(a) для любого Ω оператор PΩ является ортогональным проектором;(b) P∅ = 0, P(−∞, +∞) = I;NPPΩn ;(c) если Ω = ⊔∞n=1 Ωn , то PΩ = s- limN →∞ n=1(d) PΩ1 PΩ2 = PΩ1 ∩Ω2 .Тогда семейство {PΩ } называется проекторнозначной мерой.6Для каждого ψ ∈ H рассмотрим функцию множества pψ (Ω) = hψ, PΩ ψi.Утверждение 1.1. Пусть {PΩ } — семейство ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве, где Ω ⊂ R — борелевские множества.
Тогда для того, чтобы оно являлось проекторнозначноймерой, необходимо и достаточно, чтобы для любого ψ ∈ H функция pψ (Ω) являлась вероятностноймерой на R.Доказательство. Докажем необходимость. Из свойства (a) следует, что pψ (Ω) > 0 для любого Ω, изсвойства (b) — что pψ (∅) = 0 и pψ (R) = 1. Счетная аддитивность вытекает из свойства (c).Докажем достаточность. Свойство (a) выполняется автоматически.
Так как pψ (∅) = 0 и pψ (R) = 1 длялюбого ψ ∈ H, то выполнено свойство (b).Пусть Ω1 ∩ Ω2 = ∅. Докажем, что подпространства PΩ1 H и PΩ2 H ортогональны. В самом деле, пустьψ ∈ PΩ1 H. Тогда pψ (Ω1 ) = 1, и из свойств вероятностной меры следует, что pψ (Ω2 ) = 0, то есть hψ, PΩ2 ψi =0. Следовательно, вектор ψ ортогонален подпространству PΩ2 H.Докажем, что PΩ1 ⊔Ω2 = PΩ1 + PΩ2 . Из аддитивности вероятностной меры следует, что hψ, PΩ1 ⊔Ω2 ψi =hψ, PΩ1 ψi + hψ, PΩ2 ψi.
Поэтому если ψ ∈ PΩj H, то hψ, PΩ1 ⊔Ω2 ψi = 1, а если ψ ∈ (PΩ1 H + PΩ2 H)⊥ , тоhψ, PΩ1 ⊔Ω2 ψi = 0. Значит, PΩ1 ⊔Ω2 = PΩ1 + PΩ2 .Докажем свойство (d). Пусть Ω1 и Ω2 — произвольные борелевские множества. ТогдаPΩ1 PΩ2 = (PΩ1 ∩Ω2 + PΩ1 \Ω2 )(PΩ1 ∩Ω2 + PΩ2 \Ω1 ) == PΩ21 ∩Ω2 + PΩ1 ∩Ω2 PΩ2 \Ω1 + PΩ1 \Ω2 PΩ1 ∩Ω2 + PΩ1 \Ω2 PΩ2 \Ω1 = PΩ1 ∩Ω2 .∞PДокажем (c). Пусть Ω = ⊔∞n=1 Ωn . Из счетной аддитивности вероятности следует, что hψ, PΩ ψi =nPhψ, PΩn ψi. Пусть P = PΩ , Pn =PΩk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
