А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть q задана на W̊21 [a, b] по формуле q(ϕ, ψ) = hϕ′ , ψ ′ i. Эта форма замкнута и положительна. Тогда область определения соответствующего ей самосопряженного оператора — это функцииψ ∈ W̊21 [a, b], такие чтоZb′′∗ψ (x)ϕ (x) dx +aZb∗ψ(x)ϕ (x) dx =aZbg(x)ϕ∗ (x) dxaдля любого ϕ ∈ W̊21 [a, b]. Интегрируя по частям, получаемZbZxψ ′ (x) + (ψ(t) − g(t)) dt ϕ′∗ (x) dx = const.aaRxВ силу произвольности ϕ, получаем ψ ′ (x) = (g(t) − ψ(t)) dt + const, так что ψ ′ ∈ AC[a, b] и ψ ′′ ∈ L2 [a, b],aто есть ψ ∈ W22 [a, b].
Интегрируя по частям, получаемq(ψ, ϕ) = −Zbψ ′′ (x)ϕ(x) dx,a2dто есть q порождается оператором − dx2.С помощью теоремы 1.7 доказывается аналог теоремы Като–Реллиха для квадратичных форм [3, т. 2,§X.2].Теорема 1.8. (КЛМН-теорема). Пусть A — положительный самосопряженный оператор и β(ϕ, ψ) —такая симметрическая квадратичная форма на Q(A), что при некоторых a < 1, b ∈ R|β(ϕ, ϕ)| 6 ahϕ, Aϕi + bhϕ, ϕiдля всех ϕ ∈ D(A). Тогда существует единственный самосопряженный оператор C, для которогоQ(C) = Q(A) иhϕ, Cψi = qA (ϕ, ψ) + β(ϕ, ψ)для всех ϕ, ψ ∈ D(C).
Оператор C ограничен снизу числом −b.Пусть B — самосопряженный оператор, Q(B) ⊃ Q(A) и для любого a > 0 существует b > 0 такое,что |hϕ, Bϕi| 6 ahϕ, Aϕi + bhϕ, ϕi, ϕ ∈ Q(A). Тогда говорят, что B бесконечно мал по отношению к Aв смысле форм (B ≺ A). В этом случае для любого λ ∈ R форма h·, A·i + h·, λB·i однозначно задаетсамосопряженный оператор.11В случае, когда требуется определить оператор на L2 (I) (где I ⊂ R — некоторый промежуток), заданный дифференциальным выражением l(ψ) = −ψ ′′ + V (x)ψ с сингулярным потенциалом V , помимо методаквадратичных форм известны другие способы определения, в частности, аппроксимация гладкими потенциалами (см. [14], [15]). Об этих способах будет сказано в главе 5.Если A — полуограниченный симметрический оператор, то он обладает равными индексами дефекта[3, т.
2, стр. 158] и поэтому имеет самосопряженное расширение. Среди них есть расширение по Фридрихсу,которое получается из квадратичной формы, порождаемой оператором A.Теорема 1.9. [3, т. 2, §X.3] Пусть A — полуограниченный симметрический оператор и q(ϕ, ψ) = hϕ, Aψiдля ϕ, ψ ∈ D(A). Тогда q — замыкаемая квадратичная форма и ее замыкание q̃ является квадратичнойформой единственного самосопряженного оператора Ã. Нижняя граница спектра Ã совпадает с нижней гранью формы q.
Оператор Ã является единственным самосопряженным расширением A, областьопределения которого содержится в области определения формы q.2d∞Пример. Пусть A = − dx2 на C0 (a, b). Это положительный симметрический оператор, порождающийRbквадратичную форму q(ϕ, ψ) = ϕ′∗ (x)ψ ′ (x) dx. Замыкание q̃ формы q определено на W̊21 [a, b] и задаетсяa2d12той же формулой.
Как было показано, q̃ порождается оператором − dx2 на W̊2 [a, b] ∩ W2 [a, b].Расширение по Фридрихсу будет использоваться при построении оператора Шредингера −∆ + V (x) сцентрально-симметричным потенциалом, имеющим особенность в нуле.1.6Принцип минимаксаПусть Ĥ — ограниченный снизу самосопряженный оператор, Q(Ĥ) — область определения формы Ĥ ипусть λ ∈ σ(Ĥ). Скажем, что λ принадлежит дискретному спектру, если λ является изолированной точкойспектра и имеет конечную кратность. В остальных случаях λ принадлежит существенному спектру.Для каждого n ∈ N рассмотрим числаµn =supϕ1 , ..., ϕn−1inf{hψ, Ĥψi : ψ ∈ [ϕ1 , . .
. , ϕn−1 ]⊥ , kψk = 1, ψ ∈ Q(Ĥ)}.Рассмотрим множество Λ точек спектра, лежащих ниже края существенного спектра. Так как операторĤ ограничен снизу, то множество Λ ограничено снизу. Кроме того, каждая точка λ ∈ Λ является изолированной и кратность собственного значения λ конечна (по определению дискретного спектра).
Значит,собственные значения из Λ можно занумеровать в порядке возрастания с учетом их кратности.Теорема 1.10. [3, т.4, §XIII.1] Для каждого n ∈ N либо существуют n собственных значений (с учетомкратности), лежащих ниже края существенного спектра, и µn является n-м собственным значением,либо µn является точной нижней гранью существенного спектра и для любого m > n выполнено µm =µn .Из этой теоремы следует, что если µn → ∞ при n → ∞, то спектр оператора Ĥ является чистодискретным.1.7Оснащение гильбертова пространстваПусть H — гильбертово пространство.
Предположим, что задано некоторое вложенное в H банаховопространство H+ с нормой k · k+ . Обозначим через j оператор вложения j : H+ → H. Далее предполагаем,что j непрерывен. Введем пространство H− непрерывных антилинейных функционалов на пространствеH+ с операцией сложения и умножения(λh′− + µh′′− , h+ ) = λ(h′− , h+ ) + µ(h′′− , h+ )и с нормойkh− k− =supkh+ k+ =1|(h− , h+ )|.Имеется естественное линейное непрерывное отображение j ∗ : H → H− , заданное по правилу(j ∗ h, h+ ) = (h, jh+ ) = (h, h+ ), h+ ∈ H+ .Если H+ плотно в H, то ker j ∗ = 0, то есть j ∗ есть вложение. Таким образом, мы имеем тройку пространствH+ ⊂ H ⊂ H− .Определение 1.11. Тройка пространств (1.4) называется оснащением пространства H.12(1.4)Если H+ — гильбертово пространство, то H− — тоже гильбертово пространство.Приведем одну конструкцию оснащения с помощью некоторого оператора в пространстве H. ПустьT : H → H — непрерывный линейный оператор такой, что ker T = 0, ker T + = 0.
Положим H+ = T H. Таккак ker T + = 0, то T H плотно в H. Определим в H+ скалярное произведение(T h, T h)+ = hh, hi,то есть(h+ , h+ )+ = hT −1 h+ , T −1 h+ i.Из непрерывности T следует непрерывность оператора вложения j.Определение 1.12. Оператор T : H → H называетсяPоператором Гильберта–Шмидта, если для любого ортонормированного базиса {en } величина kT k22 = kT en k2 конечна.nМожно показать, что kT k не зависит от выбора базиса.Всякий оператор Гильберта–Шмидта компактен. Кроме того, в пространстве L2 (M, µ) он представимв виде интегрального оператора с ядром T (·, ·) ∈ L2 (M × M, µ ⊗ µ) (см. [12]).Оснащение (1.4) называется оснащением Гильберта–Шмидта, если оно построено по оператору Гильберта–Шмидта T : H → H.Следующая теорема (см.
[5], [7]) дает способ построения отображения F из теоремы 1.5 (называемогопреобразованием Фурье).Теорема 1.11. Пусть задано оснащение Гильберта–Шмидта гильбертова пространства H. Тогда преобразование Фурье из теоремы 1.5 задается формулойH+ ∋ ϕ 7→ ϕ̂k (λ) = (ϕ, ek (λ)), k = 1, . . . , dim H(λ),где ek (λ) — так называемые обобщенные собственные элементы, принадлежащие пространству H− .При этом если Aϕ ∈ H+ , то (Aϕ, ek (λ)) = (ϕ, λek (λ)).Замечание.
В [5] приводился более общий способ построения оснащения: рассматривалась последовательность Hn = Kn H, где Kn — операторы Гильберта–Шмидта, брался их индуктивный предел Φ, аэлементы ek (λ) принадлежали сопряженному пространству Φ∗ .Часто в качестве оператора A рассматривается линейный дифференциальный оператор в H = L2 (Ω).Во многих случаях удается подобрать оснащение так, чтобы поиск обобщенных собственных векторовсводился к решению дифференциального уравнения Aψ = λψ. Пусть H− ⊂ D′ (Ω), причем оператор вложения непрерывен. Предположим, что A — самосопряженный дифференциальный оператор с гладкимикоэффициентами.
Тогда в [5] доказывается, что ek (λ) является обобщенным решением дифференциального уравненияAek (λ) = λek (λ).(1.5)В [6] дается достаточное условие того, чтобы H− ⊂ D′ (Ω). Пусть L — линейный дифференциальныйоператор с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, имеющий самосопряженное расширение Kтакое, что K −1 существует и является оператором Гильберта– Шмидта. Тогда полагаем H+ = K −1 H.
Таккак L — дифференциальный оператор с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, то C0∞ (Ω) ⊂H+ . Поскольку для любого h+ ∈ H+(h+ , h+ )+ = hKh+ , Kh+ i,то для любого ϕ ∈ C0∞ (Ω)C0∞ (Ω)(ϕ, ϕ)+ = hLϕ, Lϕi,и топология воказывается сильнее топологии, индуцированной скалярным произведением в H+ .Значит, всякий элемент из H− является элементом D′ (Ω).Утверждается, что для любого интервала (α, β) ⊂ R (возможно, неограниченного), такой оператор Ld22в L2 (α, β) существует.
В частности, если (α, β) = (−∞, +∞), то в качестве L можно взять − dx2 + x .2Если ϕ ∈ S(R) (пространству Шварца), то L(ϕ) = − ddxϕ2 + x2 ϕ ∈ L2 (R), то есть S(R) ⊂ H+ . Кроме того,топология в S(R) сильнее, чем в H+ . Поэтому элементы H− являются элементами пространства S ′ (R).
Вчастности, они не могут экспоненциально возрастать на бесконечности.Существование решения уравнения (1.5), принадлежащего H− , является необходимым условием того,что λ ∈ σ(A). Если A = −∆ + V , то можно получить достаточное условие.13Утверждение 1.2. Пусть решение ψ = ek (λ) уравнения (1.5) с A = −∆ + V (~r) таково, что ψ, ▽ψ ∈mLloc2 (R ) и существует c > 0 такое, чтоZZ|ψ(~r)|2 dm~r 6 c|ψ(~r)|2 dm~r(1.6)n/26r6n06r6n/2для достаточно больших n и(1.7)| ▽ ψ(~r)| 6 c|ψ(~r)|для любого ~r ∈ R \BR (0). Тогда λ принадлежит спектру оператора A.mДоказательство.
Построим последовательность функций ψn ∈ L2 (R) таких, что kψn kL2 (Rm ) → ∞ (n →∞) и {k(A − λ)ψn k} ограничено. В самом деле, пусть η ∈ C ∞ (Rm ), η(~r) ∈ [0, 1], η|{r6 1 } ≡ 1, η|{r>1} ≡ 0.2Положим ηn (~r) = η n~r , ψn (~r) = ηn (~r)ψ(~r). Тогда(A − λ)ψn (~r) = −∆(ψ(~r)ηn (~r)) + V (~r)ηn (~r)ψ(~r) − ληn (~r)ψ(~r) == −2 ▽ ηn (~r) ▽ ψ(~r) − ∆ηn (~r)ψ(~r).Далее, при достаточно больших n выполнены неравенстваZ2kψn kL2 (Rm ) >|ψ(~r)|2 dm~r,r6n/2ZRm=Z| ▽ ηn (~r) ▽ ψ(~r)|2 dm~r 6| ▽ ηn (~r)|2 | ▽ ψ(~r)|2 dm~r =n/26r6n1const| ▽ η (~r/n) |2 | ▽ ψ(~r)|2 dm~r 62nn2Zn/26r6n(1.7)const|ψ(~r)| d ~r 6n2Z2mn/26r6nRm(1.6)| ▽ ψ(~r)|2 dm~r 6n/26r6nconst6n2ZZZ|ψ(~r)|2 dm~r,06r6n/2Z|∆ηn (~r)ψ(~r)|2 dm~r 6 const|∆ηn (~r)ψ(~r)|2 dm~r 6n/26r6nconst6n4Z|ψ(~r)|2 dm~r.06r6n/2Значит,k(A − λ)ψn kL2(Rm )const6n2Z|ψ(~r)|2 dm~r.06r6n/2Выберем последовательность αn ∈ R так, чтобыZα2n|ψ(~r)|2 dm~r ∈ [1, 2].n206r6n/2Тогда последовательность {k(A − λ)αn ψn kL2 (Rm ) } ограничена и kαn ψn k → ∞ при n → ∞.Следствие 1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
