А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Отсюда следует, чтоck Fk (x, λ) не равнаk=1k=1N (λ)тождественно 0 для любой ненулевой последовательности (ck )k=1 , а это возможно только при N (λ) 6 2,так как уравнение ĤF = λF имеет два линейно независимых решения.Следствие 5.3. Если функция V кусочно-непрерывна, то обобщенные собственные функции абсолютнонепрерывны вместе со своими производными. ЕслиV (x) = V0 (x) +nXk=1αn δ(x − xn ),где V0 — кусочно-непрерывная функция, то обобщенные собственные функции ψ непрерывны, а их производные непрерывны всюду, кроме точек xk , в которых ψ(xk + 0) − ψ(xk − 0) = αk ψ(xk ).Докажем, что если F — обобщенный собственный вектор, а оснащение построено так же, как в предыдущем утверждении, то F = Kg, где g и g [1] абсолютнонепрерывны на каждом отрезке и g ∈ L2 . В самомRделе, любой элемент H− задается в виде F (η) = g(x)(Kη(x)) dx, где g ∈ L2 . Значит,ZZg(x)(Kη(x)) dx = F (x)η(x) dx.RRПусть g̃ — решение уравнения K g̃ = F , такое что g̃ и g̃ [1] абсолютно непрерывны (его существованиевытекает из следствия 5.2).R Если η имеет компактный носитель и Kη ∈ H+ , то с помощью интегрированияпо частям получаем, что (g − g̃)(Kη) dx = 0.

Значит, g − g̃ является регулярным решением уравненияKf = 0 (см. доказательство регулярности F ), так что g и g [1] абсолютно непрерывны и Kg = F .Отсюда следует, что если функция V локально ограничена при достаточно больших x, то функцияRxJ 3 F (x) растет не быстрее некоторого полинома, где JF (x) = F (t)dt (см., напр., [6]).05.9Общий вид собственных функций одномерного уравнения ШредингераПриведем несколько теорем [12, гл. II, §3] о поведении решений уравнения Шредингера на бесконечности.Теорема 5.8.

Пусть V ∈ Lloc∞ (R) и V (x) > ε > 0 при достаточно больших x. Тогда для любого решенияуравнения−y ′′ + V (x)y = 0выполнено одно из соотношений:1. y(x)2. y(x)→∞,→0.x→+∞x→+∞39(5.22)При этом решение, удовлетворяющее условию 2), существует и однозначно определено с точностью допостоянного множителя.Утверждение 5.7. Если V ∈ Lloc∞ (R) и V (x) > 0 при x ∈ [a, b], то всякое ненулевое решение уравнения(5.22) имеет не более одного нуля на [a, b].Следующая теорема позволяет оценивать скорость возрастания или убывания решений уравнения(5.22).Теорема 5.9. Пусть потенциалы V1 (x), V2 (x) ∈ Lloc∞ удовлетворяют условию V1 (x) > V2 (x) > 0.

Рассмотрим два уравнения−y1′′ + V1 (x)y1 = 0, −y2′′ + V2 (x)y2 = 0.Тогда, если y1 , y2 → +∞ при x → +∞, то существует такая постоянная C > 0, чтоy2 (x) 6 Cy1 (x)для достаточно больших x. Если y1 , y2 → 0 при x → +∞, y1 , y2 > 0, то существует C > 0 такое, чтоy1 (x) 6 Cy2 (x)при достаточно больших x.В частности, если V (x) > ε > 0, то решение (5.22) возрастает или убывает экспоненциально (изутверждения 5.7 следует, что при достаточно больших x решение имеет постоянный знак).Пусть V = V1 + W ′ , где V1 ∈ Lloc1 (R), W ∈ L2 имеет компактный носитель.Следствие 5.4.

Пустьlim V (x) = E1 ,x→−∞lim V (x) = E2 . Тогда при E < min{E1 , E2 } (то есть наx→+∞уровнях энергии, соответствующих финитному классическому движению) спектр дискретный и однократный.Пусть теперь V1 ∈ Lloc∞ (R), V1 → +∞ при x → ∞. Исследуем спектр оператора Ĥ и свойства собственных функций.Теорема 5.10. В сделанных выше предположениях спектр оператора Ĥ дискретный, однократный иимеет вид {λk }∞k=0 , где λk < λk+1 и λk → +∞.Доказательство. То, что собственные значения однократны, следует из теоремы 5.8. Докажем, что длядостаточно большого c > 0 оператор Ĥ + cI положительно определен и (Ĥ + cI)−1 компактен.

Отсюдабудет следовать остальная часть теоремы.Если V ∈ Lloc∞ , то это доказано в [12, гл. II]. Рассмотрим общий случай. Из неравенства (5.19) следует,что Ĥ ограничен снизу и при достаточно большом c > 0 оператор Ĥ + cI обратим. Пусть Wn — гладкиеLd2′функции с общим компактным носителем и Wn →2 W при n → ∞. Положим Ĥn = − dx2 + V1 (x) + Wn (x).Тогда, в силу теоремы 5.7, Ĥn сходится к Ĥ в равномерном резольвентном смысле.

Значит, при достаточнобольших n операторы Ĥn + cI обратимы и k(Ĥn + cI)−1 − (Ĥ + cI)−1 k → 0 при n → ∞, где норма беретсяв равномерной операторной топологии [3, т. 1, теорема VIII.23]. По доказанному, операторы (Ĥn + cI)−1компактны. Значит, и их равномерный предел тоже компактен.Найдем число нулей для k-й собственной функции оператора Ĥ.′′Лемма 5.2. Пусть V ∈ Lloc∞ (R) и V (x) > ε > 0 при x > a.

Пусть ψ(x) — решение уравнения −ψ (x) +V (x)ψ(x) = 0. Тогда для того, чтобы выполнялось условие ψ(x) → +∞ (−∞) при x → +∞, необходимои достаточно, чтобы существовала точка x0 > a такая, что ψ(x0 ) > 0 и ψ ′ (x0 ) > 0 (соответственноψ(x0 ) < 0 и ψ ′ (x0 ) < 0).Это утверждение следует из доказательства теоремы 3.3 в [12, гл. II].Лемма 5.3. Пусть при x > a выполнено неравенство V (x) > E + ε0 , где ε0 > 0, и пусть En → E приn → ∞.

Рассмотрим функции ψ и ψn , являющиеся соответственно решениями уравнения−ψ ′′ + V ψ = Eψ(5.23)−ψn′′ + V ψn = En ψn(5.24)ис граничными условиями ψn (a) = 1, ψ(a) = 1,n → ∞.lim ψn (x) = 0 иx→+∞40lim ψ(x) = 0. Тогда ψn′ (a) → ψ ′ (a),x→+∞Доказательство. Возьмем произвольное ε ∈ (0, ε0 ). Докажем, что при достаточно больших n выполненоψn′ (a) ∈ [−ε, ε]. Пусть ψn±ε и ψ ±ε — решения уравнений (5.23) и (5.24) с начальными условиями ψn±ε (a) = 1,ψ ±ε (a) = 1, (ψn±ε )′ (a) = ψ ′ (a) ± ε и (ψ ±ε )′ (a) = ψ ′ (a) ± ε. Так как ψn±ε (a) = ψn (a), ψ ±ε (a) = ψ(a),V (x) − En > 0 и V (x) − E > 0 при x > a для достаточно больших n, то ψn±ε (x) 6= ψn (x) и ψ ±ε (x) 6= ψ(x)при x > a (в силу утверждения 5.7).

Так как решение каждого из уравнений (5.23), равное 1 при x = aи обращающееся в 0 на бесконечности, единственно, то ψ ±ε (x) → ±∞ при x → +∞. Значит, по лемме5.2, существует точка x0 > a такая, что ψ ε (x0 ) > 0, (ψ ε )′ (x0 ) > 0, ψ −ε (x0 ) < 0 и (ψ −ε )′ (x0 ) < 0. Тогда,в силу следствия 5.2, для достаточно больших n выполнено ψnε (x0 ) > 0, (ψnε )′ (x0 ) > 0, ψn−ε (x0 ) < 0 и(ψn−ε )′ (x0 ) < 0.

Из неотрицательности функции V (x) − En следует, что те же неравенства выполнены приx > x0 . Значит, в силу леммы 5.2, ψn±ε (x) → ±∞ при x → +∞.Пусть δ > ε. Тогда в некоторой правой полуокрестности точки a выполнены неравенстваψn−δ (x) < ψn−ε (x) и ψnδ (x) > ψnε (x).(5.25)В силу утверждения 5.7, при x > a ψn±δ (x) 6= ψn±ε (x), поэтому неравенства (5.25) выполнены для любогоx > a, так что ψn±δ (x) → ±∞ при x → ∞. Значит, ψn′ (a) ∈ [−ε, ε].L2 [−a, a]Утверждение 5.8. Пусть V1 ∈ Lloc→ W∞ (R) и V (x) > E при |x| > a, W ∈ L2 [−a, a]. Пусть Wnd2d2′′+V+W,Ĥ=−+V+W.Пустьψ—k-ясобственнаяфункцияпри n → ∞.

Положим Ĥ = − dx21n1kndx2оператора Ĥ с собственным значением Ek < E, Ek,n < E — k-е собственное значение Ĥn . Тогда k[1][1]ю собственную функцию ψn,k оператора Ĥn можно выбрать так, чтобы ψn,k → ψk и ψn,k → ψkравномерно на каждом отрезке (квазипроизводная определяется соответственно по функциям Wn иW ).Доказательство. Пусть b > a. Можно считать, что ψk (b) = 1. Выберем ψn,k так, чтобы ψn,k (b) = 1.

По′теореме 5.7, σ(Ĥn ) → σ(Ĥ), так что Ek,n → Ek , n → ∞. По лемме 5.3, ψk,n(b) → ψk′ (b), n → ∞. В силу[1][1]следствия 5.2, ψk,n → ψk и ψk,n → ψk равномерно на каждом отрезке.2d′locТеорема 5.11. Пусть Ĥ = − dx2 +V1 +W , где W ∈ L2 имеет компактный носитель, V1 ∈ L∞ (R) и V1 →+∞ при x → ∞.

Пусть nk — число нулей собственной функции, соответствующей k-му собственномузначению (k ∈ Z+ ). Тогда nk = k.Доказательство. Случай W ′ ∈ L∞ рассмотрен в [12, гл. II]. Рассмотрим общий случай. Сначала докажем, что если ψ — решение уравнения Штурма–Лиувилля, ψ(x0 ) = 0 и ψ [1] (x0 ) > 0, то ψ(x) > 0(< 0)в некоторой правой (левой) полуокрестности точки x0 .

В самом деле, из непрерывности функции ψ [1]следует, что ψ [1] (x) > c > 0 в некоторой окрестности O(x0 ). Значит, при x > x0 , x ∈ O(x0 )ψ(x) =Zxx0Zx ψ (t) dt =ψ [1] (t) + W (t)ψ(t) dt > c(x − x0 ) − kW kL2 [x0 , x] kψkL2 [x0 , x] .′x0Так как kW kL2 [x0 , x] → 0 при x → x0 , то достаточно доказать, чтоkψkL2 [x0 , x] 6 C|x − x0 |,где C не зависит от x. Положим f1 (t) =Rtψ [1] (τ ) dτ , f2 (t) =Rt(5.26)W (τ )ψ(τ ) dτ . Тогдаx0x0kψkL2 [x0 , x] 6 kf1 kL2 [x0 , x] + kf2 kL2 [x0 , x] .Так как функция ψ [1] абсолютно непрерывна, то первое слагаемое оценивается сверху величиной C1 |x−x0 |,где C1 не зависит от x.

Оценим второе слагаемое:kf2 kL2 [x0 , x] 2 1/2  x1/2Zx ZtZ6=  W (τ )ψ(τ ) dτ dt6  kW k2L2 [x0 , x] kψk2L2 [x0 , t] dtx0x0x06 kW kL2 [x0 , x] Zxx01/2C22 (t − x0 ) dt6 C2 kW kL2 [x0 , x] (x − x0 )(мы воспользовались тем, что функция ψ ограничена некоторой константой C2 ). Отсюда следует (5.26).Аналогично рассматривается случай x < x0 .41Пусть Wm — гладкие функции с общим компактным носителем, сходящиеся к W в L2 .

Характеристики

Список файлов лекций